资源简介

2.4.1空间直线的方向向量和平面的法向量
一、课程标准
能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量 .
二、教学目标
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量.
三、学情与内容分析
本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第4小节第一课时，是继学习空间向量及运算、空间向量基本定理及坐标表示以后，空间向量在立体几何中的运用第一课时，也是用空间向量解决立体几何问题的准备课. 学生在立体几何初步中已经学面间的平行垂直关系以及解决空间中线面之间的夹角距离问题，但是由于学生缺少直观想象，不能很好地理解这些几何问题，而向量作为既有大小又有方向的量，研究中不仅可以把它当做运算对象，还可以把它当做几何研究对象，比如，用一个点和一个空间向量就可以唯一表示过此点与向量平行的空间直线，同样也可以用一个点和一个空间向量唯一表示过此点与向量垂直的平面.
四、教学重难点
重点：直线的方向向量和平面的法向量．
难点：求平面的法向量.
五、 教学过程
（一）创设情境
1. 提问:如图所示的四面体A—BCD中，怎样借助空间向量来描述A,B,C在空间中的不同点？
2. 一般地，怎么借助空间向量来刻画空间中点的位置？
3. 点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量
【设计意图】1. 引导学生积极思考，有的学生说AB，有的学生说AC，有的学生说DC，老师趁机引导：注意是刻画某一个点的位置，而不是一个线段，有的学生发现没有一定的标准或者参照物很难描述一个点的位置. 2.引导学生思考，在空间直角坐标系中怎么刻画一个点的位置的，为什么能刻画？因为有坐标系，或者有坐标原点的参照。3. 问题1中A、B、C的位置就可以以D为基点，用向量表示.
（二）新知探究
新知讲解：
1.提问：对于平面上的直线，我们不仅可以用直线的倾斜角或斜率刻画直线的方向，而且还可以用平面向量刻画其方向，那么空间中直线能否用空间向量来表示其方向？
2.提问：如图所示的直线，可以用哪个向量表示其方向？
3.提问：反过来呢？
4.提问：方向向量唯一吗？
5.提问：方向向量之间有什么关系？
<一> 直线的方向向量：一般地，如果非零向量与与直线平行，就称为的方向向量.
6.一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？怎么才能用空间直线的方向向量确定一条直线呢？
问题引入：通过刚刚探究我们发现，直线上的一个点和直线的方向就可以确定一条直线的位置，能不能通过直线的方向来确定平面的方向呢？进而确定平面的位置呢？
实物演示:老师旋转一个圆盘陀螺，让学生观察：陀螺转动时，圆盘平面时而水平时而倾斜，在不断改变方向，陀螺的轴也随圆盘平面不断地改变方向，但陀螺平面与轴之间始终保持什么关系呢？
问题：能不能用直线的方向来表示平面的方向呢？用哪个直线的方向来刻画陀螺平面的方向呢？
<二> 平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作 ⊥，如果 ⊥，那么向量 叫做平面 的法向量.
给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.
课堂实练——巩固提高
例1.已知长方体的棱长，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.求下列直线的一个方向向量：
例2.如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,,,面,,=, 试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
（四）练习巩固
教材P87 练习1，2，3
（五）课程小结
（1）我们学到了哪些新的数学知识？
（2）如何求直线的方向向量和平面的法向量？
布置作业
教材P104习题2.4 1，2，3.
板书设计
（点的位置向量） (直线的方向向量） （面的法向量） （法向量的求解步骤） 希沃课件投影区域 （典例精解）
六、教学反思
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