资源简介

2.4.3 向量与夹角（1）
一、课程标准
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.
二、教学目标
1.能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；
2.通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；
三、学情与内容分析
在“立体几何初步”中已经学习了对线线、线面、二面角的概念和几何求法，但几何方法需要做辅助线找角，很多时候并不好找。而在上一节研究向量法判断平行垂直为求角提供了一个新思路。线与线、线与面、面与面之间的垂直关系就是夹角为的特殊情况，它们的平行关系就是夹角为0或的特殊情况。前面已把上述垂直和平行关系转化为了直线的方向向量和平面的法向量之间的关系。类似地，也可以将线与线、线与面、面与面的夹角问题转化为直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角问题，而两个向量的夹角问题主要用向量的数量积来解决。
四、教学重难点
重点：用向量法求空间角——线线角、线面角.
难点：将立体几何问题转化为向量问题.
五、教学过程
复习引入
开始语：立体几何中有哪些夹角问题？怎么定义这些角？怎么用几何方法求角？
问题1：立体几何中如何定义异面所成角和线面角？角范围？如何用几何方法求角？
问题2：如何用向量法证明线线、线面垂直和平行？
问题3：如何求直线的方向向量和平面的法向量？
问题4：已知向量坐标如何求角？
问题5：如何用向量求线线角和线面角？
新知探究
<一> 直线与直线的夹角
同一平面内两条直线的夹角可由平面向量的夹角公式求出，这里重点来解决不共面的两条直线（即异面直线）的夹角问题.
设两异面直线与所成角为，它们的方向向量分别为，设的夹角为.根据异面直线所成角的定义，思考与的关系：
<二> 直线与平面所成的角
问题1：当线面平行或线在面内时所成角为？
问题2：当线面垂直时所成角为？
问题3：当线面相交但不垂直时所成角为？
分析：几何方法需要找线在面内的投影，实际上投影有时候并不好找，可以借助向量来解决.设直线所成角为，直线的一个方法向量为，平面的法向量为，与的夹角为，则两者关系为
典例解析
已知正方体的棱长为1，点分别是棱和的中点，求所成角.
已知正方体的棱长为，求直线与平面所成角的正弦值.
变式：条件不变，求直线与平面所成角的余弦值.
练习巩固.
教材P98 练习1.2
补充练习1.
(1)已知异面直线a，b的方向向量分别为，，则a，b所成角的余弦值为________.
(2)已知是直线的方向向量和平面的法向量，若，则与所成的角为________.
练习2.
(1)正三棱柱中，与所成角的大小.
(2)如图，已知棱长为1的正方体中，分别是棱和，试求与平面所成角的正弦值.
（五）作业
教材P105 10.
（六）课程小结
本节课学习了用向量法求空间角——线线角、线面角的方法，同学们下去要及时复习，认真完成作业
（七）板书设计
（异面直线所成角公式） （线面角公式） 希沃课件投影区域 （向量法求角的步骤）
六、教学反思
22.4.3 向量与夹角（2）
一、课程标准
能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.
二、教学目标
1.能够运用空间向量解决一些简单的求角的问题.掌握向量解决角这类问题的思路.
2.通过鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合几何方法，体会综合法和向量法的优势，学会用代数语言把几何问题转化为代数问题；
3.运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.并从中抽出方程思想，归纳总结解方程的思路及方法。
三、学情与内容分析
本节课是高中数学高二下学期选修性必修第二册《第二章空间向量与立体几何》的第四节中的第三课，是继用向量方法证明有关直线、平面位置关系（平行垂直）的判定之后，求空间中的线线角，线面角及面面角.本节课是《向量与角》的第二课时，主要是让学生熟悉用法向量求二面角的方法和思路。课程标准对本节课内容提出具体要求，即能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.能用向量方法解决简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
四、教学重难点
重点：利用空间向量法求法向量，求二面角.
难点：用参数表示法向量及各种线面关系再求解.
五、教学过程
（一）复习引入：
问题1:上一节课我们已经学习了直线与直线的夹角，以及直线与平面的夹角，请大家写出这两条公式.
问题2:这两条公式都与哪个量有关？求平面与平面的夹角，是否也能利用这个量呢？
（二）新知探究
请同学们阅读课本92~93页回答问题并完成练习3.
什么是二面角的平面角？
二面角的平面角的范围是什么？
什么是两个平面所成角？
两个平面所成角的范围是什么？
二面角与两个法向量夹角之间的关系是什么？
用法向量求两个平面角的公式是什么？
用法向量求二面角的平面角公式又是什么？
练习课本93页例13，并总结求二面角的基本步骤.
<三> 两个平面所成的角
请同学们阅读课本92~93页回答问题并完成练习
什么是二面角的平面角？
二面角的平面角的范围是什么？
什么是两个平面所成角？
两个平面所成角的范围是什么？
二面角与两个法向量夹角之间的关系是什么？
用法向量求两个平面角的公式是什么？
用法向量求二面角的平面角公式又是什么？
练习课本93页例13，并总结求二面角的基本步骤.
典例解析
例2.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2,E , F分别为BC , BB1的中点,点D为线段AB上一点,. (1)求证:AC1//平面DEF. (2)若AC1 EF,求二面角F-DE-B的余弦值.
（四）练习巩固.
教材P98 练习3
（五）作业
教材P106 11
（六）课程小结
本节课学习了用向量法求空间角——线线角、线面角、面面角的方法，同学们下去要及时复习，认真完成作业
（七）板书设计
（二面角的定义） （平面与平面的夹角的定义） （用向量法解决二面角的基本步骤） 希沃课件投影区域 （完整展示典例中的法3的答题过程）
六、教学反思
2

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