资源简介

3.2.1离散型随机变量及其分布
（共1课时，第1课时）
一、课程标准
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列.
二、教学目标
1.了解离散型随机变量的含义，学会恰当地利用随机变量表示随机事件；
2.理解离散型随机变量的概率分布列，能准确写出分布列并利用其性质求解，培养数据分析、数学抽象、数学建模素养.
三、学情与内容分析
概率论是现代数学的一个重要分支，必修中已经认识了随机现象、古典概型等概率知识。随机变量的引入，大大的节省了符号的使用，也使问题的表达更加简单明确，从而使我们更好地借助数学工具对随机现象加以研究和处理. 离散型随机变量的概率分布反映了随机变量取各个值得可能性的大小，通过感悟离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好的刻画随机变量.
四、重难点
重点：离散型随机变量的概率分布列及其性质；
难点：准确的写出分布列并灵活运用其性质.
五、教学过程
（一）情境引入
1.射击选手每次射击时，命中的环数；
2.抛掷一枚之地均匀的骰子，朝上一面的点数；
3.在含有6件次品的100件产品中，任意抽取4件，其中含有的次品数；
问题1：说出上述随机事件的结果.
【设计意图】温故而知新，利用情境引发学生学习兴趣.
（二）深入探究——获得新知
新知讲解：问题2：以上三个随机事件的结果所对应的概率.
概念1：如果随机变量的所有取值都可以逐个列举出来，则称为离散型随机变量.
【设计意图】类比函数的表示方法来研究概率的表示，既生成离散型随机变量的概念，又为分布列做铺垫.
问题3：在抛掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，用表示骰子向上一面出现的点数，则是一个随机变量，请用不同的方法把结果和对应的概率表示出来.
概念2：离散型随机变量的分布列.
【设计意图】从特殊到一般，让学生经历“数学抽象”的概念生成过程，培养学生归纳概括的能力.
问题4：观察离散型随机变量分布列的特点，归纳其性质.结合具体案例，师生一起探究离散型随机变量分布列的性质，并且辨析概念.
性质：（1），
（2）
【设计意图】从形象到抽象，学生在辨析、合作、交流中解决问题，形成概念建构和理解.
（三）课堂实练——巩固提高
1.直接应用内化新知
例题1：全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下：
分数 0 1 2 3 4 5
人数 0 1 3 12 20 4
现从该班中任选一名学生，用表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量的分布列.
例题2：设随机变量的分布列为
，，其中为常数，求的值.
【设计意图】应用分布列性质解决实际问题，巩固概念，培养数学建模、数学运算、数据分析素养，提高分析问题、解决问题的能力.
（四）小结反思——拓展引申
（1）尝试表述这节课的研究思路；
（2）说一下本节课学习的相关概念；
（3）你还有什么困惑？
【板书设计】
【评价设计】
练习1：设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
求：（1）的分布列； （2）求的值.
【设计意图】加深理解，题型学生注意解题规范，必须有必要的文字说明. 在实际操作中让学生获得基本活动经验.
【作业设计】
1.课本练习3.2.1 3-4题
2.课本习题3.2 学而时习之 1-2题
六、教学反思
23.2.2几个常用的分布（1）——两点分布
（共3课时，第1课时）
一、课程标准要求
通过具体实例，了解两点分布的概念，认识两点分布在生活中的应用.
二、教学目标
通过具体实例，了解两点分布的概念，认识两点分布在生活中的应用. 渗透转化与化归思想方法.
三、学情与内容分析
本课时是在学习了离散型随机变量及其分布列基础上，理解随机变量与离散型随机变量的概念，认识了随机变量的作用. 学生还初步学会恰当地定义随机变量来表示随机事件，并且理解离散型随机变量分布列的概念，掌握分布列的性质，并能解决简单的分布列问题. 在此基础上，我们深入研究几类典型的离散型分布，本节课就是研究最简单的离散型随机变量----两点分布. 两点分布是概率统计中最重要的分布之一，它是二项分布的基础，也是后续学习二项分布的特例.
四、重难点
重点：了解两点分布的概念和应用；
难点：将非两点分布转化为两点分布，简化问题，将复杂问题简单化处理问题的意识.
五、教学过程
（一）知识回顾——启迪思维
复习1：离散型随机变量是最简单的随机变量.如何表示离散型随机变量X的概率分布列？
复习2：离散型随机变量的分布列具有哪些性质？
复习3：教材P128练习2，若随机变量的取值只有(3)、(4)，这样的分布合理？有什么特征？
[2]用X表示某人进行10次射击击中目标的次数，分布说明下列随机事件的含义.
(1){X=8}； (2){1【设计意图】1.回顾离散型随机变量及其分布列这一内容.
2.教师引导学生思考和观察，观察的随机试验的结果至少有两个.
（二）深入探究——获得新知
新知讲解：
问题1：我们学习了分布列的概念，那么最简单的随机试验的结果有几个呢？
问题2：在掷一枚图钉的随机试验中，令
如果针尖向上的概率为，试写出随机变量 X 的分布列.
追问1：若把针尖向上的概率改为 p，写出其分布列. 是否满足分布列的性质？
两点分布：如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是
，
则称随机变量X服从两点分布，记作. 两点分布又称0-1分布.
讨论1：生活中有哪些现象服从两点分布？
讨论2：下面的分布是否是两点分布？
讨论3：若2不是，如何通过恰当的处理，使其转化为两点分布？
（三）课堂实练——巩固提高
1．直接应用内化新知
例1：设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求P(X=0)的值．（要求：运用两点分布表示）
【设计意图】引导学生归纳总结，形成知识构架.
例2：以下X服从两点分布？为什么呢？
问题1． 从一箱苹果里随机选一苹果，测量苹果的重量.我们可以把苹果看作随机变量X，X的取值范围在[140，300],单位为g, 设[200,300]为1，[140,200)为0, 且
2．灵活应用提升能力
问题2. 掷一枚骰子出现的点数记为X.
追问：我们能不能把掷骰子的随机试验的分布列转化为两点分布呢？其分布列如何表示？
【设计意图】联系生活，问题1引导学生从概念着手，通过概念给出判断.问题2引导学生发现离散型随机变量以及两点分布之间的联系.
四．课堂小结
我们学到了哪些新的数学知识？
【板书设计】
【评价设计】
练习1. 练习1.P138 练习1
练习2.灯泡的使用寿命X(小时)是一个连续型随机变量，是否服从两点分布？
【作业设计】
课本习题3.2 学而时习之 3题 .
六、教学反思
23.2.2几个常用的分布（2）——二项分布
（共3课时，第2课时）
一、课程标准
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.
二、教学目标
1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布；
2.能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算；
三、学情与内容分析
在本节课之前学习了两点分布基础上，二项分布是一种典型的离散型分布，也是两点分布的推广.
四、重难点
重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题；
难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.
五、教学过程
（一）知识回顾——启迪思维
上一节课学习了两点分布，若把上节课抛掷图钉该试验改为抛掷n次，每一次可能针尖朝上也可能针尖朝下，针尖向上的概率相同，同时各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，如何求解想关的概率呢？
【设计意图】复习引入，既回顾所学的知识，又为新的知识埋下伏笔。
（二）深入探究——获得新知
新知讲解：
1．n重伯努利试验
我们把只包含两个可能结果的试验叫作 试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重 试验．
思考．下列说法正确的是　　
A．重伯努利试验的每次试验结果可以多于两种
B．重伯努利试验的各次试验结果可以不独立
C．重伯努利试验中，每次试验“成功”的概率可以不同
D．一次伯努利试验中，事件发生的次数服从两点分布
问题2：10个零件中有3个次品，从中每次抽检一个，验后放回，连续抽检3次，求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率.
2.若设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率为其中的取值为此时随机就是X服从二项分布，记为　　　 　　　，并称P为成功概率.
其概率分布表如下：
X 0 1 2 … n
P Cp0qn Cpqn－1 Cp2qn－2 … Cpnq0
【设计意图】这一环节首先让学生自主思考，然后小组合作交流探究，学生根据已有的知识探究新的知识获得成功的体验感的同时，又培养学生严谨的求学态度。
（三）课堂实练——巩固提高
1．直接应用内化新知
例1.1 0 个零件中有 3 个次品，从中每次抽检 1个，验后放回，连续抽检 3
求抽检的 3 个零件中恰有 2 个是次品的概率.
例2.某家庭装修公司和客户洽谈装修协议时，洽谈成功的概率是0.4，设一
天内有9个客户前来洽谈装修协议，用X表示这天洽谈成功的客户数，求洽谈成功5个客户的概率

例3. 抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P 的横坐标，另一枚的点数为点P
的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子一中，求点P 在圆内的次数X 的分布列·
2．灵活应用提升能力
（多选题）下列说法中正确的是　　
A．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互独立且各次试验成功的概率相同
B．“抛掷一枚质地均匀的硬币10次”是一个10重伯努利试验
C．100件产品中包含5件次品，有放回地随机抽取4件，其中的次品数
D．100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取4件，其中的次品数
（四）课堂小结
（1）我们学到了哪些新的数学知识？
（2）我们运用了哪些解题方法和数学思想？
【板书设计】
【评价设计】
P138 练习2
【作业设计】
1．一台型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这中型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是________．
2. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是，．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
（1）若甲、乙两人各射击一次，求均没有击中目标的概率；
（2）若甲连续射击，命中为止，求甲恰好射击3次结束射击的概率；
（3）若乙连续射击，直至命中2次为止，求乙恰好射击3次结束射击的概率．
3．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目、、的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过、、每个项目测试的概率都是．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望．
六、教学反思
23.2.2几个常用的分布（3）——超几何分布
（共3课时，第3课时）
一、课程标准要求
理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.
二、教学目标
1.理解超几何分布及其特点，掌握超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用；
2.能够判断随机变量是否服从超几何分布，同时用超几何分布的知识解决实际问题；
3.体会数学在实际中的应用，帮助提高学生分析问题的能力.
三、学情与内容分析
本节课以前面所学的随机事件、等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法，两点分布和二项分布的有关内容为基础，超几何分布是统计学中的一种离散型概率分布，经常在商品合格性检验问题中出现. 在教学过程中，教师应引导学生分析随机变量的所有可能的取值，利用计数原理和古典概型计算随机变量取每个值时的概率.在计算过程中，引导学生用组合数表示概率，通过组合数的规律发现随机变量分布列的规律，为引入超几何分布做铺垫.
四、重难点
重点：超几何分布的概念及应用；
难点：判断一个实际问题是否为超几何分布并解决相关问题.
五、教学过程
（一）知识回顾——启迪思维
复习1.何为两点分布？（即定义）
复习2.何为二项分布？（即定义）
【设计意图】回顾两点分布与二项分布，目的在于为超几何分布的引入作铺垫以及后续作区分.
（二）深入探究——获得新知
问题1.假定一批产品共100件，其中有5件不合格.随机取出10件产品，求其中不合格产品X的概率分布.
【设计意图】本题主要利用古典概型求随机变量的分布列，然后通过本题引出超几何分布的概率.
概念：一般地，若件产品中有件次品，任取件，其中恰有件次品，
则事件发生的概率为
为超几何分布.如果随机变量的分布列为超几何分布列，就称服从超几何分布，记做.
思考：超几何分布与二项分布有何区别？
【设计意图】理解超几何分布的概念时，要求学生明确随机变量的取值范围，特别是在用字母表示时，随机变量的取值表示取出的次品件数，这个值不能超过次品的总件数.因此的最大值应该是和中的最小值，.
（三）课堂实练——巩固提高
例1．鱼塘中只有80条鲤鱼和20条草鱼，每条鱼被打捞的可能性相同.捞鱼者一网打捞上来4条鱼，计算：
(1)其中有一条鲤鱼的概率(精确到0.001);
(2)4条都是鲤鱼的概率(精确到0.001).
例2.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动.袋中装有18个除颜色外其余均相同的小球，其中8个是红球，10个是白球.抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽到2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖.求得一等奖、二等奖和三等奖的概率(精确到0.0001).
【设计意图】例1主要利用超几何分布求解随机变量取某个值时的概率.解决此类问题的关键是识别出随机变量服从的分布类型.例2以生活中常见的商场抽奖问题为背景，考查如何利用超几何分布求得奖概率.
【板书设计】
【评价设计】
课本P138 练习1,2
【作业设计】
课本习题3.2 学而时习之 4-6题
六、教学反思
23.2.3离散型随机变量的数学期望
（共1课时，第1课时）
一、课程标准
理解和掌握离散型随机变量的数学期望的定义，并会运用其性质.
二、教学目标
1.使学生理解和掌握离散型随机变量的数学期望的定义；
2会掌握和应用数学期望的性质.
三、学情与内容分析
在前两节，学生已学随机变量这一数学概念之后进而学习的新的知识，期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫.同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响.
四、重难点
重点：离散型随机变量期望的实际应用；
难点：离散型随机变量期望的实际应用.
五、教学过程
（一）知识回顾——启迪思维
复习： 复习典型的离散型分布：两点分布，二项分布，超几何分布的相关内容.
深入探究——获得新知
离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量取值的概率规律。但是为了对随机变量有一个概括的认识!我们还需要了解刻画随机变量的某些特征数值。正如想了解两个班级学生某门课程的考试成绩一样!除了通过记分册查看每个学生的考试 成绩外。还需要在记分册的基础上对学生的成绩进行一些加工整理!比如计算两个班级的平均分。看哪个班的平均成绩好一些。 随机变量的特征数值中最重要的是期望与方差。我们先来研究反映离散型随机 变量平均取值大小的数字特征——期望!
课本P134问题1，问题2
【设计意图】由复习引出新的问题，为新知学习铺垫. 通过问题1，2抽象出 离散型随机变量的数学期望的概念
（三）课堂实练——巩固提高
1．直接应用内化新知
例1：甲击中目标的概率是,如果击中,得1分,否则得0分,用表示甲的得分,计算随机变量的数学期望
例2：根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.3,由于两种保险作用类似,因而没有人同时购买,设各车主购买保险相互独立,用X表示该地100位车主甲,乙两种保险都不够买的车主数,求X的数学期望
例3：一袋中装有 50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数ξ 的数学期望．
例4：已知离散型随机变量X有概率分布,若,其中a,b为常数,求
【设计意图】
1.先给出例10，学生完成，推广到两点分布的数学期望公式，进而师生一起推算出二项分布的的数学期望计算公式；
2. 给出例11，学生利用新知解决；
3.推导出超几何分布的数学期望计算公式.
解决课本例12、例13得到两个随机变量线性关系下的数学期望的关系.
（四）小结反思——拓展引申
1.课堂小结
（1）我们学到了哪些新的数学知识？
（2）我们运用了哪些解题方法和数学思想？
【板书设计】
期望概念 两点分布期望 二项分布期望 超几何分布期望 线性关系 希沃课件投影区域 公式推导演算区
【评价设计】
课本练习P144 1-4题
【作业设计】
课本习题3.2 学而时习之 7，8题
六、教学反思3.2.4离散型随机变量的方差
（共1课时，第1课时）
一、课程标准要求
理解离散型随机变量的方差、标准差的意义、性质及应用，并会解决实际问题.
二、教学目标
1.理解离散型随机变量的方差、标准差的意义、性质及应用；
2.会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决实际问题．
三、学情与内容分析
本节课是学生在学习了上一节研究了数学期望之后设计的，反映了随机变量与其均值的平均偏离程度，从而更进一步的研究随机变量的现象．解决一些简单的实际问题，揭示了离散型随机变量的统计规律．离散型随机变量的方差作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值，是本章的关键知识之一．
四、重难点
重点：离散型随机变量的方差、标准差．
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题．
五、教学过程
（一）知识回顾——启迪思维
复习1：离散型随机变量X的均值：
…
x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
复习2：两种特殊分布的均值:
（1）若X~B(1，p)，则E(X)=p.
（2）若X~B(n，p)，则E(X)=np.
【设计意图】1. 回顾离散型随机变量X的均值，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.回顾两点分布与二项分布两种特殊分布的均值.
（二）深入探究——获得新知
问题：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别为
X1 6 7 8 9 10
P1 0.16 0.14 0.42 0.1 0.18
X2 6 7 8 9 10
P2 0.19 0.24 0.12 0.28 0.17
探究1：随机变量方差、标准差的概念
|X-E(X)| 表示随机变量X与其期望E(X)偏离的大小;
E{|X-E(X)|} 表示平均偏离的大小.
为了便于数学处理，可用或表示平均偏离的大小.
x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
：随机变量X的方差，也可用表示.
：随机变量X的标准差，也可用表示.
探究2：随机变量方差、标准差的意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量X偏离于期望E(X)的平均程度.
方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散.
计算上述问题中甲、乙两名射手射击成绩的方差，得出结论.
【设计意图】旧知类比新知，知识迁移，形成概念. 呼应问题引入，立即应用新知.
思考：随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别
随机变量的方差是常数, 而样本的方差依赖于样本的选取,带有随机性,即样本方差是随机变量.
对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差会接近于总体方差,因此,我们常用样本方差估计总体的方差.
（三）课堂实练——巩固提高
1.直接应用内化新知
例1．若随机变量X的概率分布如下表所示，求方差和标准差.
0 1
P 1-p p
进一步探究，得：
1.根据方差的定义和数学期望的性质：
2.方差的几点重要性质：
（1）若X~B(1, p)，则D(X)=p(1-p).
（2）若X~B(n, p)，则D(X)=np(1-p).
（3）若Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=a2D(X).
例2．若某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算：
（1）抽出的10件产品中平均有多少件正品；
（2）抽出的10件产品中正品数的方差和标准差．
例3．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位:万元),Y表示方案二所得收益(单位:万元).其分布列分别为：
-2 8 -3 12
P 0.7 0.3 P 0.7 0.3
假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？
【设计意图】例1考查服从两点分布的随机变量的方差和标准差.探究出方差的计算公式及3点重要性质.通过产品检验的情境考查服从二项分布的随机变量的数学期望"方差和标准差.例3是方差的实际应用问题，借助生活中的投资问题，考查学生对于数学期望、方差和标准差含义的理解.
（四）小结反思——拓展引申
1.课堂小结
（1）熟记方差计算公式、三个重要的方差公式
（2）求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤.
【板书设计】
离散型随机变量的方差 （方差、标准差的计算公式） （方差的几点性质） 希沃课件投影区域 （讲课草稿演算区）
【评价设计】
课本P147 1—4
【作业设计】
课本习题3.2 学而时习之 9，10题
六、教学反思
2

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