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2024年中考数学复习专题讲义：相似
知识点梳理
1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注：
①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
2、三角形相似的判定方法
（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
（6）判定直角三角形相似的方法
①以上各种判定均适用．
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
3、相似三角形常见的图形
如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）
4、相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
5、位似图形
（1）定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
（2）性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
专题练习
一、选择题
1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
2．如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　）
A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．= D．AC2=AD AB
3．若 且相似比为1：4，则 与 的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
4．如图，在 中，点 在边 上， ， ，联结 ， 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，AD是中线，BC=10，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A．4 B．5 C．5 D．5
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F线 上且 ， ，BE，BF的延长线分别交AD，CD于H，G两点，则 （　　）
A． B．2 C． D．3
7．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出杆长 处的 点离地面的高度 ，又量的杆底与坝脚的距离 ，则石坝的坡度为（　　）．
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，且相似比k＝ .若B（2，1），则点E的坐标是　 　.
10．如图， ，AD=10，BD=8， 与 相似，则CD=　 　
11．如图，△ABC 两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么 =　 　.
12．如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：CE＝2：5，连接DE交AB于F，则 =　 　
13．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　 　.
三、解答题
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
15． 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
16．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，垂足为点B，交于点E.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
17．如图，在等腰三角形中，，是上任意一点，以为圆心，为半径作，分别交、于点、，过点作，垂足为.
（1）判断直线与的位置关系并证明.
（2）若，，，求的半径.
18．已知矩形，将其绕着点A逆时针旋转得到矩形．
（1）如图1，若点E在上，连接．
①求证：平分；
②连接交于点O，若，，求的长．
（2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，与交于点M，，，求的长．
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．C
5．C
6．C
7．B
8．C
9．（6，3）
10．6.4或4.8
11．1:2
12．9:4
13．
14．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴ =1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴ = =1，
∴BF=AC=3．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴∠B=∠EAG，∠BCE=∠G，
∴△AGE∽△BCE，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
16．（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵
∴.
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
17．（1）解：直线是的切线；
证明：连接，如图所示：
∵在中，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线.
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径为x，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的根，
∴的半径为2.
18．（1）解：①证明：根据题意可得，
，
，
，
，
平分．
②解：如图，过点B作于点H，连接．
四边形是矩形，
，，
由①得平分，
，
由旋转的性质可得且，
，，
四边形是平行四边形，
，，
在中，，，，
，，
在中，，，，
，．
（2）解：根据旋转的性质可得，
，，四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．

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