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第二十二章　四边形
22.4　矩　形
第1课时　矩形的性质
教学目标 1.理解矩形的概念，了解矩形与平行四边形关系； 2.经历探索矩形性质的过程并掌握矩形的性质定理； 3.能灵活运用矩形的性质定理解决相关的问题，发展演绎推理能力. 教学重难点 重点：探索矩形性质的过程并掌握矩形的性质定理； 难点：灵活运用矩形的性质定理解决相关的问题. 教学过程 旧知回顾 1.回忆平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.回忆平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的对角线互相平分； （3）平行四边形的对角相等，邻角互补； （4）是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. 导入新课 观察生活中的图形，根据你的经验，它们是什么图形呢？ 教具演示：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点（多媒体演示），当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义. 探究新知 一、矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 条件：一个直角+平行四边形. 想一想：矩形与四边形、平行四边形有什么关系？ 我们是从哪几个方面去研究平行四边形的性质的？矩形呢？ 二、矩形的性质 探究： 1.如图，剪出一个矩形纸片ABCD，点O是这个矩形的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.矩形有几条对称轴，它们都经过矩形的中心吗？ 答案：2条，经过. 矩形是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心如何寻找？ 答案：是，两条对角线的交点. 结论1.矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 2.四边形不具有稳定性，即当一个四边形的四条边长保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角α由钝角先变成直角，再变成锐角. 在这个过程中： （1）这个四边形总是平行四边形吗？ 答：是.既然矩形是平行四边形，因此它具备平行四边形的一切性质： 对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分. （2）当α＝90°时，其余三个内角各是多少度的角？ 答：均为90 °. 你能试着证明你的猜想吗？ 求证：矩形的四个角都是直角. 已知：如图，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝90°. ∵ 矩形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A +∠B＝180°. ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 即矩形的四个角都是直角. 结论2.矩形的性质定理1：矩形的四个内角都是直角. （3）当α＝90°时，两条对角线的长有怎样的关系？ 答：相等. 请你再次证明你的猜想. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：AC＝BD. 证明：在矩形ABCD中， ∴ △ABC≌△DCB（SAS）， ∴ AC＝BD. 即矩形的对角线相等. 结论3.矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等. 新知再现 类别边角对角线对称性平行四边形对边平行 且相等对角相等， 邻角互补对角线互 相平分中心对称图形矩形对边平行 且相等四个角 为直角对角线互相 平分且相等中心对称图形、轴对称图形
新知应用 例1　如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4 cm，求矩形ABCD对角线的长. 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD. ∵ ∠AOD＝120°， ∴ ∠AOB＝60°， ∴ △AOB是等边三角形， ∴ AO＝BO＝AB＝4 cm，AC＝AO+OC＝AO+OB＝8 cm. 即矩形ABCD对角线的长为8 cm. 方法小结：若矩形两条对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 练习 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是　对角线相等，四个内角都是直角　. 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是（ D ） A.∠ABC＝90° 　　　B.AC＝BD 　　　Ｃ.OA＝OB 　　　D.OA＝AD 3.如2题图，已知四边形ABCD是矩形，则图中相等的线段、相等的角有哪些？等腰三角形、直角三角形、全等三角形有哪些？ 相等的线段：AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD. 相等的角：∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB. 等腰三角形有：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD. 直角三角形有：Rt△ABC，Rt△BCD，Rt△CDA，Rt△DAB. 全等三角形有：Rt△ABC≌Rt△DCB≌Rt△CDA≌Rt△BAD，△OAB≌△OCD，△OAD≌△OCB. 课堂练习 1.矩形具有而平行四边形不具有的性质（　　） A.内角和是360度 　　　　 B.对角相等 C.对边平行且相等 　　　　 D.对角线相等 2.下列性质中，矩形不一定具有的是（　　） A.对角线相等 　　　　　　　　B.四个角相等 C.是轴对称图形 　　　　　　　 D.对角线垂直 3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A.角 　　　B.任意三角形 　　　 C.矩形 　　　 D.等腰三角形 4.如图，由已知矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分该顶点处的直角为3∶1两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角是（　　） A.60度　 　B.45度 　　　　　 C.30度　　　 D.22.5度 5.已知：如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF. 求证：BE＝DF. 参考答案 1.D　2.D　3.C　4.B 5.证明：∵ 四边形ABCD为矩形， ∴ AB＝CD，∠A＝∠C＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF（SAS）， ∴ BE＝DF（全等三角形对应边相等）. 课堂小结 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.矩形的性质：除具备平行四边形的一切性质外，另有特性：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形. 布置作业 完成教材第136页习题A组，B组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.4　矩　形 第1课时　矩形的性质 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思
第二十二章　四边形
22.4　矩　形
第2课时　矩形的判定
教学目标 1.探索并证明矩形的判定定理； 2.灵活运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形. 教学重难点 重点：探索并证明矩形的判定定理； 难点：灵活运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形. 教学过程 旧知回顾 回忆矩形的性质： 除具备平行四边形的一切性质外，另有特性： ①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形. 导入新课 问题情境： 木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？ 你现在有办法帮他吗 今天我们来学习矩形的判定，教师板书课题. 探究新知 矩形的判定 （一）矩形的判定方法1（定义法） 由定义入手： 分析矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 由定义识别：∵ 四边形ABCD为矩形，∠A＝90°， ∴ ABCD是矩形. （二）矩形的判定定理1，2 一起探究 我们知道矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形有几个角是直角就能判定它是矩形呢？（小组合作，完成猜想并进行证明） 猜想： 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 请观察下面三幅图，提出你的猜想. 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ ∠A＝∠B＝90°， ∴ ∠A+∠B＝180°， ∴ AD∥BC. 同理可得AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ ∠A＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 归纳 矩形的判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： 在四边形ABCD中， ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 请你画一个对角线相等的平行四边形，观察所画图形并提出你的猜想. 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在ABCD中，AC＝BD. 求证：ABCD是矩形. 证明：∵ 在ABCD中，AB＝DC，BC＝CB，且AC＝DB， ∴ △ABC≌△DCB（SSS）， ∴ ∠ABC＝∠DCB. ∵ AB∥CD，∴ ∠ABC+∠DCB＝180°， ∴ ∠ABC＝∠DCB＝90°. 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ABCD是矩形. 归纳 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： 在平行四边形ABCD中，∵ AC＝BD， ∴ 平行四边形ABCD是矩形. 议一议 对角线相等的四边形是矩形吗？答案是否定的，反例如下图： （三）总结矩形常用的判定方法 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 下面我们用一个简单的图示来展示矩形的判定方法的使用. 解决问题 现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？（学生讨论，展示成果） 方案：分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，那么窗框符合规格. 方案：测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，那么窗框符合规格. 方案：分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边的长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格. 例题讲解 例　已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别为OB，OC，OD，OA的中点. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD，且OA＝OC，OB＝OD， ∴ OA＝OC＝OB＝OD. 又∵ 点E，F，G，H分别为OB，OC，OD，OA的中点， ∴ OE＝OG＝OH＝OF， ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 又∵ EG＝OE+OG＝OH+OF＝HF， ∴ 平行四边形EFGH是矩形. 变式训练 已知：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AO＝BO＝CO＝DO. 又∵ AE＝BF＝CG＝DH， ∴ OE＝OF＝OG＝OH， ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 又∵ EO+OG＝FO+OH， 即EG＝FH， ∴ 四边形EFGH是矩形. 练习 1.下列说法是否正确？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形.（　×　） （2）四个角都相等的四边形是矩形.（　√　） （3）四个角都是直角的四边形是矩形.（　√　） （4）对角线相等的四边形是矩形.（　×　） （5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（　√　） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形.（　√　） 2.已知：如图，在四边形ABCD中，AO＝BO＝CO＝DO，试说明四边形ABCD是矩形. 证明：∵ AO＝BO＝CO＝DO， ∴ AO＝CO，BO＝DO. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ AO+CO＝BO+DO，即AC＝BD， ∴ 平行四边形ABCD是矩形. 课堂练习 1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，求证：四边形ABCD是矩形. 　　　　 2.如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线，CE⊥BE，CD⊥BD，E，D为垂足，试猜想四边形BECD的形状并证明. 3.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. （1）求证：OE＝OF. （2）当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形 说明理由. 参考答案 1.证明：∵ AB＝6，BC＝8，AC＝10， ∴ ， ∴ ∠B＝90°. 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ABCD是矩形. 2.解：四边形BECD是矩形.证明如下： ∵ BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线， ∴ ∠DBE＝90°. 又∵ CE⊥BE，CD⊥BD， ∴ ∠D＝∠E＝90°， ∴ 四边形BECD是矩形. 3.（1）证明：∵ CF平分∠ACD，∴ ∠ACF＝∠DCF. 又∵ MN∥BC，∴ ∠OFC＝∠DCF.∴ ∠ACF＝∠OFC， ∴ OC＝OF. 同理可得OC＝OE，∴ OE＝OF. （2）解：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由：由（1）知OE＝OF， 又AO＝CO，∴ 四边形AECF是平行四边形. 又∵ CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴ ∠ACF +∠ACE＝90°，即∠ECF＝90°. ∴ 四边形AECF是矩形. 课堂小结 矩形的判定方法 1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 3.判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 布置作业 完成教材第139页习题A组，B组. 板书设计 第二十二章　四边形 22.4　矩　形 第2课时　矩形的判定 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思

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