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第三单元 因数与倍数
考点一：因数与倍数
1、利用整数乘法认识因数和倍数。
在乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。
2、求一个数的因数的方法。
（1）利用写“乘法算式”的方法来找一个数的因数，就是看这个数能写成哪两个整数相乘的形式，这些整数就是这个数的 因数。
（2）一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、求一个数的倍数的方法。
（1）求一个数的倍数，可以用这个数分别乘1、2、3、4......
（2）一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
考点二：2、5、3的倍数特征
1、2、5的倍数的特征。
（1）个位上的数字是5或0的数是5的倍数。个位上的数字是2、4、6、8或0的数是2的倍数；
（2）是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数；
（3）个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
2、3的倍数的特征。
把一个数的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
引伸拓展：把一个属的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。
考点三：质数和合数
1、质数和合数的意义。
一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数除了1和它本身意外还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
2、认识质因数。
如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。
3、分解质因数。
把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
考点四：公因数与最大公因数
1、公因数的含义。
几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。
2、求公因数、最大公因数的方法。
（1）求两个数的公因数，可以用列举法先找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找一个数的因数，再从这个数的因数中找出另一个数的因数。
（2）两个数的公因数的个数是有限的，其中最大的公因数叫作这两个数的最大公因数。
考点四：公倍数与最小公倍数
1、公倍数的含义。
两个自然数公有的倍数叫作这两个自然数的公倍数。一个数的倍数是最小的，但没有最大的，故两个自然数的公倍数的个数是无限的。
2、求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。
用列举法可以找出两个数的公倍数和最小公倍数，先列举出较大数的倍数，再从较大数的倍数中找出较小数的倍数，确定这两个数的公倍数及最小公倍数。
题型一：因数与倍数
【精讲一】用18个1平方厘米的小正方形拼成长方形，有（ ）种不同的拼法。
A．2 B．3 C．4
【分析】
18的因数有1、2、3、6、9、18，用18个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变；据此解答。
【详解】
根据分析知拼成后图形的面积不变，拼成后长方形的长和宽可分下列情况：（1）长18厘米，宽1厘米；（2）长9厘米，宽2厘米；（3）长6厘米，宽3厘米；一共有3种不同的拼法。
故答案为：B
【分析】
本题的关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽。
【精讲二】从4、6、12、18、24五个数中取出成倍数关系的一组数，最多可以取出的组数是（ ）
A．5组 B．6组 C．7组
【分析】首先根据找一个数的倍数的方法，分别找出和每个数成倍数关系的数有哪些，然后判断出最多可以取出的组数是多少即可．
【详解】
解：五个数中取出成倍数关系的数有：
4、12；4、24；
6、12；6、18；6、24；
12、24；
所以最多可以取出的组数是6组．
故选B．
【分析】解答此题的关键是分别找出和每个数成倍数关系的数有哪些．
【精讲三】五年级有36名同学报名参加植树活动，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于3，小于10，可以分成几组？
【分析】
根据题干可知：分成人数相等的若干小组（组数和每组人数都不少于3），只要求出36的因数中大于3的即可解决问题。
【详解】
组数大于3，小于10：
36＝3×12
36＝4×9
36＝6×6
36＝9×4
因为组数大于3，小于1组，所以可以分成4组、6组、9组。
答：可以分成4组、6组、9组。
【分析】
此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。
题型二：2、5、3的倍数特征
【精讲一】四位数12□0，在方框里填上一个数，使这个四位数是2、3、5的倍数，一共有（ ）种填法。
A．2 B．3 C．4
【分析】
能同时被2、3、5整除的数的特征：个位上的数是0且每一位上的数字之和能被3整除。因为这个四位数个位上是0，具备了2、5的倍数特征，再根据3的倍数特征即可确定方框里填入的数字。
【详解】
1＋2＋0＋0＝3
1＋2＋3＋0＝6
1＋2＋6＋0＝9
1＋2＋9＋0＝12
□可以填0、3、6、9，一共有4种填法。
故答案选：C
【分析】
本题考查2、3、5倍数的特点，根据它们的特点进行解答。
【精讲二】一筐苹果有若干个（少于100个），2个2个地数，3个3个地数或5个5个地数都刚好能数完，这筐苹果可能是（ ）个。
A．80 B．50 C．60
【分析】
2个2个地数，3个3个地数或5个5个地数都刚好能数完，根据2、3、5的倍数特征，看选项哪个数是2、3、5的倍数即可。
【详解】
A． 80，不是3的倍数；B. 50，不是3的倍数；C. 60，是2、3、5的倍数。
故答案为：C
【分析】
本题考查了2、3、5的倍数特征，有一个不是也不可以。
【精讲三】从“0、3、5、7”这4个数中，选出3个组成三位数。
（1）组成的数是2的倍数有：（ ）
（2）组成的数是3的倍数有：（ ）
（3）组成的数是5的倍数有：（ ）
（4）组成的数既是2、3又是5的倍数（ ）
【分析】
首先写出从“0、3、5、7”这4个数中，选出3个组成的三位数。根据2、3、5的倍数特征，（1）只要这个数的个位是0、2、4、6、8，组成的数就是2的倍数；（2）个位上是0或5组成的数是5的倍数；（3）各个数位上的数字和是3的倍数，组成的数是3的倍数。作答即可。
【详解】
从“0、3、5、7”这4个数中，选出3个组成的三位数有：305、307、350、357、370、375、503、507、530、537、570、573、703、705、730、735、750、753；
（1）2的倍数有：350、370、530、570、730、750；
（2）3的倍数有：357、375、507、537、570、573、705、735、750、753；
（3）5的倍数有：305、350、370、375、530、570、705、730、735、750；
（4）既是2、3又是5的倍数有：570、750
【分析】
熟练掌握2、3、5的倍数特征是解题关键。注意写数字时候不要重复和遗漏。
【精讲四】某校组织四年级师生到白洋淀进行研学，其中一项活动是划船。游船有两种，甲种：每条船限乘客4人，乙种：每条船限乘客6人。已知师生的人数是5的倍数。若仅租甲种船，则不少于12条；若仅租乙种船，则不多于9条。
（1）参加研学的师生一共有多少人？
（2）如果甲种船的租金是每条船10元，乙种船的租金是每条船12元。应怎样租船，才使每条船都坐满，且租金最少？最少租金是多少元？说出你的解题思路并解答。
【分析】
（1）4乘12算出仅租甲船能坐48人，即师生人数比48多；9乘6算出仅租乙船可坐的人数，人数不会超过54人，即人数在48与54之间，人数又是5的倍数，即可求出人数。
（2）因为乙船相等比较便宜，先尽可能多的租乙船，且使得座位全坐满，再根据船的单价计算出租金；然后再将乙船的数量减少，甲船的数量增加，且使得座位全坐满，再根据船的单价计算出租金，据此算出所有的可能，再比较哪种租金最少即可解答。
【详解】
（1）4×12＝48（人）
6×9＝54（人）
答：参加研学的师生一共有50人。
（2）
甲/条 乙/条 可坐人数/人 租金/元
2 7 50 104
5 5 50 110
8 3 50 116
11 1 50 122
答：租甲船2条，乙船7条，无空座且租金最少，最少是104元。
【分析】
总价＝单价×数量。5的倍数个位数字是0或5。
题型三：质数和合数
【精讲一】数学家哥德巴赫很早就提出了一个猜想：任意大于2的偶数都可以写成两个质数的和。下面的式子中，反映了这个猜想的是（ ）。
A． B． C．
【分析】
质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；1既不是质数也不是合数；根据100以内的质数表和“哥德巴赫猜想”：任何大于2的偶数都是两个质数之和；看四个选项中的数是不是两个质数的和。
【详解】
A．，1不是质数，不符合猜想；
B．，13是奇数，不符合猜想；
C．，13和19都是质数，符合猜想；
故答案为：C。
【分析】
此题考查的是掌握质数的概念和熟记100以内的质数表。
【精讲二】在一次满分是100分的数学考试中，小明的分数与名次的积是485，他得了（ ）分，排第（ ）名。
【分析】
把485分解质因数即可求解。
【详解】
485＝5×97
答：他得了（97）分，排第（5）名。
故答案为：97；5；
【分析】
本题考查了分解质因数在生活中的具体应用，大数可以用“短除法”分解质因数。
【精讲三】一个长方形的长和宽都是质数，且周长是36厘米，这个长方形有几种情况？最大的面积是多少平方厘米？
【详解】
36÷2=18（厘米）
18以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17，
其中加起来是18的有：11+7=18（厘米），5+13=18（厘米），
11×7=77（平方厘米），13×5=65（平方厘米）
答：这个长方形有两种情况；最大的面积是77平方厘米。
题型四：公因数与最大公因数
【精讲一】五（3）班有男生25人，女生20人，李老师想分成几个组，使每组中男生人数相等，女生人数也相等，则每组至少有（ ）人。
A．10 B．9 C．5
【分析】
要想每组中男生人数相等，女生人数也相等则男生分的组数与女生分成的组数相等，根据求最大公因数的方法求出25和20的最大公因数（分成的组数），则分别求出每组中男女生的人数，求和即可。
【详解】
25＝5×5
20＝4×5
所以25和20的最大公因数是5，即将男女生都分成5组。
每组人数为：25÷5＋20÷5
＝5＋4
＝9（人）
故答案为：B
【分析】
本题主要考查最大公因数的应用，理解男生分的组数与女生分成的组数相等是解题的关键。
【精讲二】有红、黄两根彩带，红彩带长75厘米，黄彩带长60厘米。把这两根彩带剪成长度一样且没有剩余，每根短彩带最长是（ ）厘米，一共可以剪成（ ）根。
【答案】15 9
【精讲三】五（1）班和五（2）班的同学一起去春游。
如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同。每组最多有多少人？
【分析】
要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人，只要求出两个班人数48和56的最大公因数，即可得解。
【详解】
48＝2×2×2×2×3，
56＝2×2×2×7，
所以48和56的最大公因数是2×2×2＝8；
答：五（1）班和五（2）班的同学一起去春游。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同。每组最多有8人。
【分析】
考查了求几个数的最大公因数的方法，两个数的公有质因数连乘积是最大公因数。
题型五：公倍数与最小公倍数
【精讲一】一袋糖平均分给一群小朋友，每人分6粒或8粒都能正好分完。这袋糖最少有（ ）粒。
A．48 B．24 C．12
【分析】
由于每人分6粒或8粒都能正好分完，说明这盒糖的粒数是6和8的公倍数，要求这袋糖最少有多少粒，只要求6和8的最小公倍数即可。
【详解】
6＝2×3
8＝2×2×2
所以6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24
这袋糖最少有24粒；
故答案为：B。
【分析】
此题考查的目的是理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握求两个数最小公倍数的方法。
【精讲二】现有长8cm宽6cm的长方形纸片若干张，用这种纸片拼正方形（不能重叠、不留空隙），拼出的最小的正方形需要这种纸片（ ）张．
【分析】拼成的最小的正方形的边长是8和6的最小公倍数，先把8和6进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，是这两个数的最小公倍数，进而根据“正方形的面积=边长×边长”求出拼成的正方形的面积，根据“长方形的面积=长×宽”求出长方形纸片的面积，继而根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答即可．
【详解】
解：6=2×3，8=2×2×2，
6和8的最小公倍数是2×2×2×3=24，
则拼成的最小正方形的边长为24厘米，
（24×24）÷（6×8），
=576÷48，
=12（个）；
答：拼出的最小的正方形需要这种纸片12张；
故答案为12．
【分析】解答此题用到的知识点：（1）求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；（2）长方形和正方形的面积计算方法．
【精讲三】某校五年级的同学去春游，去时12个人坐一辆车正好坐满，回来时10个人坐一辆车也正好坐满．问这个年级最少有多少人？
【分析】即求12和10的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．
【详解】
解：10=2×5，
12=2×2×3，
10和12的最小公倍数是2×2×3×5=60，即这个年级最少有60人．
答：这个年级最少有24人．
【分析】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
一、填空题（共20分）
1．37□是2的倍数又是3的倍数，□里可以填( )，48□是2的倍数又是5的倍数，□里可以填( )。
2．一盒奶糖平均分给6个人，最后剩下2粒；平均分给9个人，最后还剩下2粒。这盒奶糖最少有( )粒。
3．把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸裁剪成大小相同的正方形，要求使正方形尽可能大且纸没有剩余。

(1)剪出的正方形的边长是( )厘米。
(2)一共可以剪( )个这样的正方形。
4．学校买来40箱垃圾袋和20个垃圾桶，平均分给五年级各个班，结果垃圾袋多4箱，垃圾桶少4个。五年级最多有( )个班。
5．小明的QQ号码是由9位数字组成的。其中的最大因数是6，是最小的质数，是2和8的公倍数，既是奇数也是合数，小明的QQ号码是( )。
6．在1，2，91，36，49，65，82，97这些数中，质数有( )，既是偶数又是合数的数有( )。
7．1路、4路和6路车上午7点30分同时从起始站发车，1路车每6分钟发一次车，4路车每9分钟发一次车，6路车每12分钟发一次车。它们下一次同时发车是上午( )时( )分。
8．两根彩带，分别长48厘米和32厘米，把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是( )厘米，一共剪成了( )根短彩带。
9．公交公司的1路公交车每10分钟发一辆，2路公交车每15分钟发一辆车。上午8∶00两路公交车同时发车后，下一次同时发车的时间是( )。
10．如果b＝5a（a、b都是不为0的自然数），那么a与b的最小公倍数是( )。
二、判断题（共10分）
11．因为40×0.9＝36，所以36是0.9的倍数。( )
12．13和17没有公因数，只有公倍数。( )
13．把一张长是18厘米、宽是12厘米的长方形裁成同样大的正方形，如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是6厘米。( )
14．若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。( )
15．用2、6、7这三个数字组成的所有三位数都是3的倍数。( )
三、选择题（共10分）
16．玲玲家客厅长8米，宽5.6米，选用边长是（ ）分米的方砖，铺地不需要切割。
A．5 B．6 C．7 D．8
17．如果一个自然数不是质数，那么它（ ）。
A．一定是合数 B．一定不是合数 C．不一定是合数 D．一定是偶数
18．五（1）班的学生数是40～50之间的一个偶数，如果每3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班可能有（ ）人。
A．42 B．45 C．48 D．42或48
19．一个数除去本身这个因数后，其它所有因数的和等于这个数，像这样的数叫做“完全数”。例如：6的因数有1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。下面几个数中，（ ）也是完全数。
A．8 B．18 C．28 D．48
20．从4、5、7、8这四个数中选出2个数，能组成（ ）组公因数只有1的数。
A．2 B．4 C．5 D．无数
四、计算题（共6分）
21．（6分）求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
8和2 12和20 7和8 15和75
五、解答题（共54分）
22．（6分）在路的一边每隔25米安装一盏路灯，从头到尾共安装41盏路灯。现在要把间隔距离改为20米，有多少盏路灯不需要移动？
23．（6分）五年级学生排队做操，每行15人或每行18人，都没有剩余。已知这个年级的人数在200~300之间，五年级一共有学生多少人？
24．（6分）幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了36颗糖果，平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？
25．（6分）端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗。今年端午节，小红家包了许多粽子，妈妈先把30个肉粽平均分给几家邻居，接着又把18个蜜枣粽平均分给了这几家，都正好分完。这些粽子最多分给了几家邻居？
26．（6分）月季花每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水，如果今天都浇了，下一次同时浇两种花最少是几天后？
27．（6分）五年级同学参加植树活动，五（1）班有48人，五（2）班有42人。把两个班分别平均分成若干个小组，每组人数一样多，每组最多有多少人？
28．（6分）某社区广场舞队由60人组成，跳舞时要排成一个长方形的队形，要求每行或每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？试着写一写。
29．（6分）2023年4月8日郏县姚庄樱花节半程马拉松赛在姚庄乡开赛。右下图是赛道的一部分，赛道在B处拐弯，根据赛会要求需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且ABC三处必须安排志愿者。这段赛道至少要安排多少名志愿者？请先算一算，并用“●”表示出志愿者的大致位置。

30．（6分）“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。
参考答案
1．2、8 0
【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】要使37□是2的倍数，则个位可以填0、2、4、6或8，
3＋7＋0＝10
3＋7＋2＝12
3＋7＋4＝14
3＋7＋6＝16
3＋7＋8＝18
12和18是3的倍数，所以要使37□是2的倍数又是3的倍数，□里可以填2、8；
要使48□是2的倍数又是5的倍数，□里可以填0。
【分析】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。
2．20
【分析】根据题意，奶糖最少有6和9的最小公倍数再加上2粒。据此，先求出6和9的最小公倍数，再将其加上2，即可求出这盒奶糖最少有多少粒。
【详解】6＝2×3
3＝3×3
2×3×3＝18
所以，6和9的最小公倍数是18。
18＋2＝20（粒）
所以，这盒奶糖最少有20粒。
【分析】本题考查了最小公倍数，掌握最小公倍数的求法是解题的关键。
3．(1)6
(2)6
【分析】求出18和12的最大公因数，就是每个正方形的边长；用18和12分别除以正方形边长，得到的数相乘就是最少可以剪出的正方形个数，因此得解。
【详解】（1）18＝2×3×3
12＝2×2×3
所以12和18的最大公因数是：2×3＝6
剪出的正方形的边长是6厘米。
（2）（18÷6）×（12÷6）
＝3×2
＝6（个）
一共可以剪6个这样的正方形。
【分析】此题考查了灵活应用求最大公因数的方法来解决实际问题的能力。
4．12
【分析】要想求获奖的学生最多有几人，就是求40－4＝36和20＋4＝24的最大公因数，先分别把36和24分解质因数，把它们公有的质因数相乘所得的积就是它们的最大公因数。
【详解】36＝2×2×3×3
24＝2×2×2×3
36和24的最大公因数是
2×2×3
＝4×3
＝12
五年级最多有12个班。
【分析】此题解答的关键在于求出36和24的最大公因数，进而解决问题。
5．561324897
【分析】小明的QQ号是由9位数组成的，说明A、B、C、D均是大于0小于10的数，再根据一个数的最大公因数、质数、合数和公倍数的特征解答即可。
【详解】A的最大因数是6，一个数最大的因数是它本身，最大因数是6，A是6；
B是最小的质数，最小的质数是2，B是2；
C是2和8的公倍数，且0＜C＜10，2和8是倍数关系，2和8的公倍数是8，C是8；
D既是奇数也是合数，且0＜D＜10，既是奇数也是合数的一位数是9，D是9。
小明的QQ号码是561324897。
小明的QQ号码是由9位数字组成的。其中的最大因数是6，是最小的质数，是2和8的公倍数，既是奇数也是合数，小明的QQ号码是561324897。
【分析】本题考查质数、合数、奇数的意义和求因数和公倍数的方法。
6． 2、97 36、82
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。能被2整除的数叫做偶数。1既不是质数，也不是合数。
【详解】2的因数只有1和2；
91的因数有1、7、13、91；
36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；
49的因数有1、7、49；
65的因数有1、5、13、65；
82的因数有1、2、41、82；
97的因数有1、97。
则在1，2，91，36，49，65，82，97这些数中，质数有2、97，既是偶数又是合数的数有 36、82。
【分析】掌握质数和合数、奇数和偶数的定义，并能根据定义进行判断是解题的关键。
7． 8 6
【分析】1路车每6分钟发一次车，4路车每9分钟发一次车，6路车每12分钟发一次车。这3路车下一次同时发车的时间既是6的倍数，同时又是9、12的倍数，根据求三个数的最小公倍数的方法解答即可。
【详解】9＝3×3
6＝2×3
12＝2×2×3
6、9和12的最小公倍数是：
所以它们下次同时发车在36分钟后，7时30分＋36分时6分。
【分析】此题考查的目的是理解掌握求三个数的最小公倍数的方法及应用。
8． 16 5
【分析】“两根长度分别是48厘米、32厘米的彩带，把它们剪成长度一样的短彩带，且没有剩余”，要剪的长度就是48和32的公因数，要使每根短彩带最长可以是多少，要剪的长度就是48和32的最大公因数，求出最大公因数，再除以这两根彩带长度的和就是一共可剪成的段数。据此解答。
【详解】48＝2×2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
48和32的最大公因数：2×2×2×2＝16
（48＋32）÷16
＝80÷16
＝5（段）
所以，每根短彩带最长可以是16厘米，这样一共可以剪成5段。
【分析】本题考查的是公因数的应用，重点是理解每根短彩带最长应是48和32的最大公因数。
9．8∶30
【分析】求出10和15的最小公倍数，即下一次同时发车所需时间，再用8时加上最小公倍数，据此解答。
【详解】10＝2×5
15＝3×5
2×3×5
＝6×5
＝30
10和15的最小公倍数是30
8时＋30分＝8时30分
即下一次同时发车的时间是8∶30。
10．b
【分析】当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数。据此解答即可。
【详解】b＝5a（a、b都是不为0的自然数），说明b是a的倍数，b是较大数，a是较小数，所以a与b的最小公倍数是b。
11．×
【分析】若整数a能够被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】36÷40＝0.9，但是0.9是小数，不符合因数和倍数的意义。
原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
12．×
【分析】根据互质数的特征可知，13和17是互质数，它们的公因数只有1，不是没有公因数；除0外，任意两个自然数都有无数个公倍数，据此判断。
【详解】13的因数：1，13。
17的因数：1，17。
13和17的公因数只有1，而不是没有公因数，所以原题说法错误；
故答案为：×
13．√
【分析】根据题意，裁出的正方形边长最大是18和12的最大公因数。据此解题。
【详解】18＝2×3×3
12＝3×2×2
2×3＝6
所以，裁出的正方形边长最大是6厘米。
故答案为：√
【分析】本题考查了最大公因数。求最大公因数时，先将两个数分解质因数，再将两数共有的质因数相乘即可。
14．√
【分析】正方形面积＝边长×边长；除了1和本身还有别的因数的数，是合数。据此分析判断。
【详解】因为正方形面积＝边长×边长，所以正方形的面积至少有3个因数，分别为1、本身和边长。所以，若正方形的边长是质数，则它的面积是合数。
故答案为：√
【分析】本题考查了质数和合数、正方形的面积，掌握面积公式、质数和合数的定义是解题的关键。
15．√
【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数的数，就是3的倍数，分析即可求解。
【详解】2＋6＋7＝15；15是3的倍数。所以用2、6、7这三个数字组成的所有三位数都是3的倍数；
故答案为：√
【分析】根据3的倍数特征进行解答。
16．D
【分析】根据题意，方砖的边长是80分米和56分米的公因数。据此解题。
【详解】8米＝80分米，5.6米＝56分米
A．5是80的因数，5不是56的因数，所以5分米不符合题意；
B．6不是80的因数，也不是56的因数，所以6分米不符合题意；
C．7不是80的因数，7是56的因数，所以7分米不符合题意；
D．8是80的因数，8是56的因数，所以8是80和56的公因数。所以，8分米符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查了公因数，掌握公因数的概念是解题的关键。
17．C
【分析】质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）；
合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。“0”、“1”既不是质数也不是合数；
偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等。
据此解答。
【详解】1既不是质数也不是合数，因此如果一个自然数不是质数，那么它不一定是合数。
故答案为：C
【分析】本题考查了偶数和质数、合数的概念，关键是掌握它们的意义，才能判断。
18．D
【分析】根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘自然数1、2、3、4……，从中找出符合要求的倍数，即可解答。
【详解】在40～50之间3的倍数有：42，45，48，又因为五（1）的学生人数是偶数，所以这个班人数可能有42人或48人。
五（1）班的学生数是40～50之间的一个偶数，如果每3人一组进行分组实践活动正好全部分完且没有剩余，那么这个班可能有42或48人。
故答案为：D
【分析】本题的关键是根据能被3整除的数的特征：各个数位上数的和能被3整除进行解答。
19．C
【分析】求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出8、18、28、48的因数，然后根据题中的方法分析找出，即可得出答案。
【详解】A．8的因数有：1、2、4、8，所以
1＋2＋4
＝3＋4
＝7；
B．18的因数：1、2、3、6、9、18，所以
1＋2＋3＋6＋9
＝3＋3＋6＋9
＝6＋6＋9
＝12＋9
＝21；
C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以
1＋2＋4＋7＋14
＝3＋4＋7＋14
＝7＋7＋14
＝14＋14
＝28；
D．48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24、48，所以
1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋24
＝3＋3＋4＋6＋8＋12＋24
＝6＋4＋6＋8＋12＋24
＝10＋6＋8＋12＋24
＝16＋8＋12＋24
＝24＋12＋24
＝36＋24
＝60；
因此只有C项符合题意。
故答案为：C
【分析】本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后根据“完全数”的含义分析。
20．C
【分析】先确定一个数，依次写出选出2个数的所有情况，如图，找到所有的搭配结果，再确定公因数只有1的有几组即可。
【详解】4和5、4和7、4和8、5和7、5和8、7和8
4和5的公因数只有1；
4和7的公因数只有1；
4和8的公因数除了1还有2、4；
5和7的公因数只有1；
5和8的公因数只有1；
7和8的公因数只有1。
能组成5组公因数只有1的数。
故答案为：C
21．2，8；4，60；1，56；15，75
【分析】成倍数关系的两个数，其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数；如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
用质因数分解法可以求两个数的最大公因数和最小公倍数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数；全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这两个数的最小公倍数。
【详解】（1）8是2的倍数，则8和2的最大公因数是2，最小公倍数是8。
（2）12＝2×2×3
20＝2×2×5
12和20的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×3×5＝60。
（3）7和8是互质数，则7和8的最大公因数是1，最小公倍数是7×8＝56。
（4）75是15的倍数，则它们的最大公因数是15，最小公倍数是75。
22．11盏
【分析】由于两端都有灯，即间距数＝棵数－1，即间距：41－1＝40（个），由于一个间距是25米，此时的路长是：40×25＝1000米；根据题意，不需要移动的是25米和20米的公倍数的路灯，即100米倍数的路灯不移动，也就是求出每隔100米路灯的盏数，加上开头的那一盏即可。
【详解】41－1＝40（个）
40×25＝1000（米）
25＝5×5；20＝2×2×5
25和20的最小公倍数是：5×5×2×2＝100
1000÷100＋1
＝10＋1
＝11（盏）
答：有11盏路灯不需要移动。
【分析】本题的关键是求出什么样的路灯不移动，然后再按照两端都栽树的方法进行计算即可。
23．270人
【分析】每行15人或每行18人，都没有剩余，可得学生人数是15和18的公倍数，两个数的公倍数都是最小公倍数的倍数，可以先求出15和18的最小公倍数，再求出200~300之间的公倍数。
【详解】[15，18]＝90
90×3＝270（人）
答：五年级一共有学生270人。
【分析】此题考查了公倍数，关键要知道两个数的公倍数都是最小公倍数的倍数。
24．可能是2人，3人，4人，6人，9人，12人，18人或36人。
【分析】根据找一个数的因数的个数的方法，列举出36的因数有哪些，进而依据题意求出可以分给小朋友的人数。
【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
根据题意不可能分给1个小朋友，因此可以平均分给2人，3人，4人，6人，9人，12人，18人或36人。
答：小朋友的人数可能是2人，3人，4人，6人，9人，12人，18人，或36人。
【分析】此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题。
25．6家
【分析】由题意“30个肉粽平均分给这几家和18个蜜枣粽平均分给这几家都正好分完”最多分给了几家邻居可知：实际上是在求30和18的最大公因数，先把30和18进行分解质因数，根据求两个数的最大公因数的方法：即这两个数的公有质因数的连乘积；进行解答即可。
【详解】30＝2×3×5
18＝2×3×3
18和30的最大公因数：2×3＝6
答：这些粽子最多分给了6家邻居。
【分析】解答该题关键是会求两个数的最大公因数，并用它解决实际问题。
26．12天
【分析】根据题意，下次浇水是4和6的最小公倍数天后。据此，先将4和6分解质因数，再将公有质因数和独有质因数相乘，求出4和6的最小公倍数，从而解题。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
所以，4和6的最小公倍数：2×2×3＝12
答：下一次同时浇两种花最少是12天后。
【分析】本题考查了最小公倍数的应用，掌握最小公倍数的求法是解题的关键。
27．6人
【分析】由于把两个班分成若干组，每组人数一样多，则是求48和42的公因数，由于每组最多多少人，则求48和42的最大公因数，可以用分解质因数的方法求解即可。
【详解】48＝2×2×2×2×3
42＝2×3×7
所以42和48的最大公因数是：2×3＝6
答：每组最多有6人。
【分析】本题主要考查最大公因数的应用，熟练掌握最大公因数的求法是解题的关键。
28．5和12，12和5，6和10，10和6，共4种。
【分析】根据题意可知，先找出60的因数，可以一对一对的找；因为每行或每列不得少于5人，所以60的因数中，小于5的不考虑；去掉小于5的因数，60的因数中还剩下5、6、10、12，而5×12＝6×10＝60，进而可确定出每行每列的人数。
【详解】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
因为每行或每列不得少于5人，
所以行、列分别是5和12，12和5，6和10，10和6，共4种。
答：共有4种排法。
【分析】解答本题关键是掌握找一个数的因数的方法。
29．8名；见详解
【分析】根据题意可知，AB长120米，BC长90米，在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，求出每相邻的两个志愿者之间的距离最长是多少米，就是求120和90的最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，也就是30米，然后用（120＋90）÷30求出志愿者之间的总间隔数，因为ABC三处必须安排志愿者所以总间隔数＋1即可求出至少要安排多少名志愿者。
【详解】120＝2×2×2×3×5
90＝2×3×3×5
120和90的最大公因数是2×3×5＝30
（120＋90）÷30
＝210÷30
＝7（名）
7＋1＝8（名）
答：这段赛道至少要安排8名志愿者。
如图：

【分析】本题主要考查了求最大公因数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。
30．4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一）
【分析】能被2整除的数是偶数，大于2的偶数有4，6，8，10……；质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数，比如2，3，5，7，11，13，17，19……。据此举例解答。
【详解】4＝2＋2；8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一）
通过示例能够证明“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”这一猜想。

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