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6.2.2 排列数 教案
【课程标准】
能利用计数原理推导排列数公式。
【学习目标】
1.能在排列基础上理解排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数；
2.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数；
3.通过实例体验归纳法在推导公式中的应用，学会分析问题、解决问题的方式。
【重点难点】
重点：排列数公式；
难点：排列数公式的应用。
【教学方法】
情境式教学法、问题式教学法
【导学流程】
一、导(复习导入，3min）：
排列的定义是什么？
一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列(arrangement)．
在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？
二、学（6min）：阅读P17－P18，初步感知理解排列数的概念与排列数公式、全排列、阶乘。
三、思（发放导纲，6min）：请结合导纲完成基础感知部分。
1、结合排列数与排列的概念，你能说说两者的区别么？
排列是指从N个不同元素中抽出M个元素按一定顺序排成一列，而排列数是指这样的排列的计数结果。
你能用排列数符号把下列问题的计数表示出来么？为什么？
要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序
用0～4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数？
观察排列数公式的因式，你有发现它有什么特点？使用公式需要注意什么？
，其中n表示有多少个不同元素，m表示取多少个元素。
所以，。因式从左往右逐渐少1，其中m又可理解为有m个因式。
全排列的定义是什么？它与阶乘的概念一致么？
我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列．正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示。所以，
议（7min）：接下来，请大家核对基础感知答案，合作小组开启群学群议，由学科组长领导小组谈论解决自学困惑及问题探究一与探究二。
探究一：计算：（1）； （2）； （3）； （4）．
观察（1）（3）这两个结果，从中发现它们的共性了吗？（4）的结果可以用排列数符号表示么？你发现它的特点了么？能否将它进行推广？
探究二：求证：（1）； （2）．
五、展（7min）：下面进入展示环节，请各小组积极展示！
预设学生回答展示：
探究一：解：根据排列数公式，可得
（1）； （2）；
（3）； （4）．
由例3可以看到，；，即．
事实上，
因此，排列数公式还可以写成．
探究二：重点引导对公式的运用分析上。
【解析】（1），故等式成立；
（2），故等式成立．
六、评（10min）:老师讲解为主，学生笔记为辅
从个不同元素中取出个元素的排列数是多少
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数．根据前面的求解经验，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图6.2-3所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数．
现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法．
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为
．
追问（2）：如何求排列数
同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有
．
追问(3)：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？
一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑：
假定有排好顺序的个空位，如图6.2-4所示，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数．
根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为
．
这样，我们就得到公式
这里，，并且．这个公式叫做排列数公式．
特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列．
这时，排列数公式中，即有．
也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积．正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．于是，个元素的全排列数公式可以写成
另外，我们规定，．
设计意图：通过具体情境，引导学生用分步乘法计数原理推导排列数公式，采用从特殊到一般的思想方法，让学生体会归纳法在推导公式中的应用.通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得排列数公式.
探究三：
例4用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
师生活动：（1）这是不是一个排列问题？
（2）引导学生分别按“百位数字不能是0”“0是否出现及出现的位置”“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”，给出三种解法，其中前两种是直接法，第三种是间接法.
（3）利用排列数公式计算出结果.
（4）归纳求排列问题的方法：①判断排列问题；②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果.
解法1：如图6.2-5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法．
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
．
解法2：如图6.2-6所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法．
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
．
解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
．
七、测（5min）:请于导纲中完成整理检测。公示答案。
在这节课里，你学到了什么？
1.排列与排列数是两个不同的概念，这两个概念有什么不同？
2.排列数公式是如何推导的？推导过程体现了什么样的数学思想与方法？
3.如何应用排列与排列数公式分析解决问题？
请完成课后练习
1．先计算，然后用计算工具检验：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）；
；
（4）．
2．一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法
3．【解析】因为一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则有种不同的停放方法．

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