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2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
教
学
设
计
§2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计
【教材分析】
从内容上课，它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它与一元二次方程、二次函数之间联系密切，涉及的知识面较多。从思想层面看，本节课突出体现了数形结合的思想。
【素养目标】
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养。
2.能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，提升数学运算的核心素养。
【教学重点、难点】
1.重点：理解三个 “二次”的关系，利用函数图像求一元二次不等式的解集。
2.难点：探究一元二次函数根的分布情况与不等式解集的关系。
【学情分析】
1.学生在初中学习了等式、方程的知识，掌握了一元一次函数、一元二次函数的图象和性质，对如何研究一个代数对象已经有了初步的感受；并且学习过从一元一次函数观点看一元一次方程、一元一次不等式，这为类比用一元二次函数的观点看一元二次方程、一元二次不等式打下了一定的基础。
2.这一阶段的学生处于适应期，自主性学习能力不强，各类数学思想方法的掌握也很薄弱，这对教师教学而言挑战较大。
【教学方法】
1.教法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
2.学法：自主交流学习，问题导学，探究发现式学习
【教学设计】
创设情境，引入主题
1.通过二次函数的小游戏，复习旧知，导入新课，再通过生活中的实际问题，引入一元二次方程，间接引导学生发现一元二次方程与二次函数的关系，引入零点。
2.问题1：园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要等于20 m 2，则这个矩形的边长为多少米？
二次函数零点：一般地，对于二次函数y=ax +bx+c，我们把使ax +bx+c=0的实数x 叫做二次函数y=ax +bx+c的零点.
注意：零点不是点，是交点的横坐标，是数
设计意图：为求一元二次不等式的解集做铺垫，同时通过pk小游戏，生活中的实际问题，激发学生的学习积极性，更高效地投入课堂。
步步设疑，激发思考
把问题1 园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
教师让学生类比一元一次不等式，说出这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？
学生根据题目要求，把“等于”改为“大于”，写出不等式，并思考回答问题，给一元二次不等式下定义。
知识点1：一元二次不等式
1.定义：
2.一般形式：
设计意图：从引例中的具体问题入手，树立学生数形结合的数学思想，为推广一元二次不等式求解做准备。
合作探究，共解问题
1.探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系
(
请观察
一次函数
y=2x-6
的
图象
，并回答下列问题：
函数
y=2x-6
与
x
轴的交点的横坐标为
方程
2x-6=0
的根为
不等式
2x-6>0
的解集为
4..
不等式
2x-6<0
的解集为
)
(
) (
x>3
) (
x=3
) (
x<3
) (
（
3
，
0
）
)内在联系：一次函数y=2x 6与x轴的交点横坐标（零点）就是一元一次方程2x 6=0的根，也就对应一元一次不等式的解集。
(
探究
2
请根据二次函数
y=x
2
-12x+20
的
图象
,
并回答下列问题：
1.
函数
y=x
2
-12x+20
与
x
轴的交点的横坐标为
2.
方程
x
2
-12x+20=0
的根为
3.
不等式
x
2
-12x+20>0
的解集为
4.
不等式
x
2
-12x+20<0
的解集为
)2.问题2：类比一次函数，一元一次方程及一元一次不等式三者之间的联系。能否得到二次函数与一元二次方程、不等式三者之间的联系，及对应不等式的求解方法？我们继续以不等式x2-12x+20<0为例。
【设计意图】先回顾三个“一次”，感受数形结合的思想，然后过渡到利用二次函数的图象加深对一元二次不等式的理解，为下一个环节作铺垫.
3.问题3：在上述求解不等式的过程中，我们利用了什么数学思想和方法？
4.问题4：可以把上述的思想方法推广到求一般的一元二次不等式的解集吗？并找到一元二次方程，一元二次不等式与相应的函数，这三个“二次”之间的联系。
小组活动：仿照上述过程讨论填写“三个二次”之间的关系表格。
知识点2
一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
【设计意图】学生小组讨论，培养学生合作探究的能力和从特殊到一般及数形结合的数学思想。
四、例题讲解，巩固练习
例1 判断正误：
(1)mx -5x<0是一元二次不等式.( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax +1>0 无解.( )
(3)若一元二次方程ax +bx+c=0的两根为x1，x2(x1例2不等式x2-5x+6>0的解集.
练习
1.求不等式x2－6x＋9＞0 的解集。
2.求不等式x2-2x+3<0的解集。
思考：利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤是什么？
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，提高解决一元二次不等式的的能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。
五、课堂小结，分层作业
【课堂小结】
1.本节课我们学到了哪些知识？
2.梳理本节课学习过程中涉及的主要数学思想方法。
【课后作业】
必做：教材55页 习题2.3 1，2
选做：教材55页 习题2.3 3，4，5
【板书设计】
(
2.
3
.1
二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
（
1
）定义：
（
2
）一般形式：
ax +
bx+c
>0 (a
≠
0)
（
3
）求解方法：
)

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