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第五单元 分数加法和减法（知识清单）
知识点一：异分母分数加减法
1、异分母分数的加法。
计算异分母分数的加法，要先通分，再按照同分母分数加法的计算方法进行计算，计算结果能约分的要约成最简分数。
2、异分母分数的减法。
计算异分母分数的减法，要先通分，再按照同分母分数减法的计算方法进行计算，计算结果能约分的要约成最简分数。
3、分子是1的两个异分母分数相加。
用分母的积作和的分母，用分母的和作和的分子，即(a，b均不为0)。计算结果能约分的要约成最简分数。
4、分子是1的两个异分母分数相减。
用分母的积作差的分母，用分母的差作差的分子，即(a，b均不为0，且b>a)。计算结果能约分的要约成最简分数。
知识点二：分数混合运算
1、异分母分数连减的运算顺序和计算方法:按从左到右的顺序计算。计算时可以逐步通分,依次计算出结果,也可以找出几个分母的公分母,采用一步通分的方法进行计算。
2、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。没有括号的,按从左到右依次计算,有括号的先算括号里面的。
3、异分母分数连加的计算方法:可以按照从左到右的顺序依次相加,也可以将所有分数一次性通分，再相加。计算结果要化成最简分数。
4、分数加法的简便运算。
整数加法的运算律可以推广到分数加法中，运用这些运算律可使计算简便。
1、计算异分母分数加、减法时，要先通分，再计算。
2、计算结果能约分的要约成最简分数。
3、在进行分数混合运算时，一定要注意运算顺序、运算符号和计算的准确性。
4、括号前是减号，去掉括号后，括号里的运算符号应发生变化；减号后面加括号也同样如此，括号里的运算符号应和原来的相反。
考点一：异分母分数加减法
【典例一】如果三角形的两条边分别是dm、dm，则第三条边可以是（ ）dm。
A． B． C．
【分析】根据三角形三条边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答。
【详解】A．＋＝，两边和等于第三边，不合题意；
B．＋＝，＞，两边和大于第三边，符合题意；
C．＋＝，＜，两边和小于第三边，不合题意。
故答案为：B
【分析】本题考查了学生对三角形三条边性质的掌握与灵活运用。
【典例二】有一杯纯果汁，乐乐喝了半杯后，就兑满温水后摇匀，又喝了杯。乐乐一共喝了( )杯纯果汁；喝了( )杯温水。
【分析】有一杯纯果汁，乐乐喝了半杯，即喝了杯纯果汁，兑满温水后摇匀，又喝了杯，包括杯纯果汁和杯温水，据此将两次喝的纯果汁加起来即可。
【详解】＋＝＋＝（杯）
乐乐一共喝了杯纯果汁；喝了杯温水。
【分析】异分母分数相加减，先通分再计算。
【针对练习一】在落实“村村通”工程的过程中，工人们要在阳平镇红霞村和园艺小学之间修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第三天要把剩下的全部修完。第三天要修全长的几分之几？
【分析】把这条路的全长看作单位“1”，用单位“1”减去第一天修的分率，再减去第二天修的分率，可以计算出第三天要修全长的几分之几。
【详解】1－－
＝－
＝
答：第三天要修全长的。
【分析】本题解题关键是把这条路的全长看作单位“1”，再根据分数减法的意义列式计算。
【针对练习二】疫情期间，我县企业捐赠一批防疫物资，分三次运往灾区。第一次运走了这批物资的，第二次运走了这批物资的。
（1）两次共运走了几分之几？
（2）第三次运走这批物资的几分之几？
【分析】（1）把这批防疫生活物资总量看成单位“1”，把两次运走的质量占总数的分率相加，求两次共运走了几分之几；
（2）用单位“1”减两次共运走了这批物资的分率和，即可得第三次运走了这批物资的几分之几。
【详解】（1）＋＝
答：两次共运走了。
（2）1－＝
答：第三次运走这批物资的。
【分析】本题主要考查分数加减法的应用，关键利用异分母加减法的运算法则进行计算。
考点二：分数混合运算
【典例一】甜甜读一本书，第一天读了这本书的，比第二天多读了这本书的，第三天读了这本书的，三天一共读了这本书的几分之几？递等式中的表示的是（ ）。
＋（－）＋
＝＋＋
＝＋
＝
A．第二天读了这本书的几分之几
B．第一天和第二天一共读了这本书的几分之几
C．第二天和第三天一共读了这本书的几分之几
D．第一天和第三天一共读了这本书的几分之几
【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，第一天读了这本书的，第二天读了这本书的－＝，第三天读了这本书的，利用这些信息，逐一代入到选项中验证即可。
【详解】A．－＝－＝
所以第二天读了这本书的，不能得出；
B．＋＝＋＝
所以第一天和第二天一共读了这本书的；符合题意；
C．＋＝＋＝
所以第二天和第三天一共读了这本书的，不能得出；
D．＋＝＋＝
所以第一天和第三天一共读了这本书的，不能得出；
故答案为：B
【分析】此题考查学生基本应用分数加减法的能力，掌握计算方法是解题的关键。
【典例二】打一份稿件，第一天打了全部稿件的，第二天打了全部稿件的，还要打全部稿件的（ ）才能打完。
A． B． C． D．
【分析】把这份稿件看作单位“1”，用1减去这两天打稿件的分率和即可求出还要打的分率。
【详解】
故答案为：A
【针对练习一】一批水泥，第一天运走它的，第二天运走它的，还剩它的没有运走。
【分析】根据题意，把这批水泥总量看作单位“1”，用单位“1”减去第一天运走的，减去第二天运走的，即1－－；即可求出还剩它的几分之几。
【详解】1－－
＝－
＝
【分析】本题考查异分母分数连减的应用。
【针对练习二】2022年春，一场突如其来的疫情阻挡了大家出行的脚步。疫情发生后，我县迅速组建医疗队伍，开展全员核酸检测。
下图是某医疗队在A小区分成四个组进行全员核酸检测的完成情况统计：
组别 第一组 第二组 第三组 第四组
占总人数的几分之几
（1）目前A小区的全员核酸检测已全部完成，那么第一、二组共完成了总人数的几分之几？
（2）第三组完成了总人数的几分之几？
（3）四个组相比，哪组完成的最多？请简要写一下比较过程。
【分析】（1）第一组完成总人数的几分之几＋第二组完成总人数的几分之几＝第一、二组共完成了总人数的几分之几；
（2）将总人数看做单位“1”，1－第一组完成总人数的几分之几－第二组完成总人数的几分之几－第四组完成总人数的几分之几＝第三组完成了总人数的几分之几；
（3）根据异分母分数比较大小，先通分再比较，进行分析。
【详解】（1）
答：第一、二组共完成了总人数的。
（2）
答：第三组完成了总人数的。
（3）＝、、＝、＝
＜＜＜
答：第二组完成的最多。
【分析】异分母分数相加减，先通分再计算；把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。
基础训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）大年除夕，笑笑一家坐在一起包饺子，奶奶包了全部饺子的，妈妈包了全部饺子的，剩下的是笑笑包的，笑笑包了全部饺子的( )。
2．（2分）同学们植树，男生完成了任务的，女生完成了任务的。超过了任务的。
3．（2分）两辆拖拉机同时耕一块田地，大拖拉机耕了这块田地的，小拖拉机耕了这块田地的，还剩这块田地的( )没有耕。
4．（2分）军军家所在的小区是垃圾分类试点小区，某天该小区产生了吨有害垃圾，吨可回收物和吨厨余垃圾。这天该小区产生的可回收物和厨余垃圾共比有害垃圾多( )吨。
5．（2分）一段公路，甲、乙、丙合修，甲修了全长的，乙修了全长的，丙把剩下的修完，这三个队中，( )修的最多。
6．（2分）小芳做语文作业用了小时，做英语作业比做语文作业少用了小时。小芳做这两种作业一共用了( )小时。
7．（2分）学校举办诗词大赛，设一、二、三等奖。获一、二等奖的占获奖人数的，获一、三等奖的占获奖人数的，那么获一等奖的占获奖人数的( )。
8．（2分）一根绳子长m，剪去它的，还剩这根绳子的( )，如果剪去m，这根绳子还剩( )m。
9．（2分）一个等腰三角形，有两条边的长度分别是米和米，这个等腰三角形周长是( )米。
10．（2分）算式加上( )和是1。
二、判断题（共10分）
11．（2分）一袋水果糖重千克，吃了千克，还剩千克。( )
12．（2分）再加上1个就是最小的质数。( )
13．（2分）分数单位是的所有最简真分数的和是2。( )
14．（2分）＝1。( )
15．（2分）有一段绳子，截下它的后，还剩下米，那么截下的和剩下的绳子一样长。( )
三、选择题（共10分）
16．（2分）一根绳子长1米，第一次用去米，第二次用去米。这根绳子比原来短了多少米？下面列式正确的是（ ）。
A．－ B．＋ C．1－（＋） D．1－（－）
17．（2分）小明喝了一杯牛奶的，之后加满水，又喝了这杯的，再加满水后又喝了半杯，又加满水，最后把这杯都喝了。小明喝的牛奶与水相比，（ ）。
A．一样多 B．牛奶多 C．水多 D．不确定
18．（2分）小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长分米、分米。这根毛线长（ ）分米。
A． B． C．或 D．无法确定
19．（2分）已知，下列选项（ ）中的三个数不能使等式成立。
A．2，6，60 B．2，10，12 C．2，15，20 D．3，4，10
20．（2分）在中，得数大于的有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
四、计算题（共12分）
21．（6分）直接写出得数。
＋＝ －＝ 4－－＝ －＝
＋＝ 3－＝ 2＋＝ ＋ －＋＝
22．（6分）计算下面各题，注意简便方法的运用。

培优拓展
五、解答题（共48分）
23．（6分）乐乐有一根10米长的彩色绳子，做中国结用去绳子的，做手链用去蝇子的，做中国结和手链一共用去这根绳子的几分之几？还剩下这根绳子的几分之几没用？
24．（6分）如图，小明家和芳芳家分别在一条路的两端，相距5千米。在他们两家之间还有便利店和书店。
（1）小明从家走到便利店，正好走了这条路的，芳芳从家走到书店，正好走了这条路的。请你在图中用“△”标出书店的位置。
（2）书店到便利店之间的距离是这条路的几分之几？
25．（6分）红星小学五年级的劳动实践基地种满了各种蔬菜。其中种白菜的面积占总面积的，种黄瓜的面积占总面积的，其余的种萝卜。
（1）种萝卜的面积占总面积的几分之几？
（2）你还能提出其他问题并解答吗？
26．（6分）某市每天处理垃圾约7000吨，其中填埋处理的占，焚烧处理的占，回收处理的占。其他处理方式的垃圾占总数的几分之几？
27．（6分）学校组织五年级同学去某研学基地开展实践活动，共用去10小时，其中路上用去的时间占，吃午饭与休息时间共占，剩下的是同学们在研学基地活动时间，在研学基地活动时间占几分之几？共用去了多少小时？
28．（6分）一块试验田，用它的种花生，种玉米，种大豆，种地瓜的面积与种大豆的面积同样大。
（1）种花生、玉米、大豆的面积共占这块地的几分之几？
（2）种花生的面积比大豆多占这块地的几分之几？
29．（6分）2023年4月份丹江口市的空气质量情况如下表。
空气质量等级 优 良 轻度污染
占全月天数的几分之几
空气质量达到优和良的天气为达标天气，丹江口市2023年4月份空气质量达标天数占全月天数的几分之几？
30．（6分）某省6月1日开始收割小麦。第一天收割了全省小麦总面积的，第二天收割了全省小麦总面积的。还剩全省小麦总面积的几分之几没有收割？
参考答案
1．
【分析】奶奶包了全部饺子的，妈妈包了全部饺子的，是把全程当作单位“1”，剩下的是笑笑包的，笑笑包了全部饺子的。
【详解】奶奶和妈妈一共全部饺子的
那么笑笑包了全部饺子的：
【分析】本题主要考查了分数加减法应用题，要细心计算。
2．
【分析】先把整个任务看做单位“1”，然后把男生完成了任务的加上女生完成了任务的再减去1即可知道超过了任务的几分之几。
【详解】先把整个任务看做单位“1”
所以超过了任务的。
【分析】本题考查了用分数加减法的意义和计算方法解决实际问题的能力。
3．
【分析】根据题意，把这块天田地看作单位“1”，用1减去大拖拉机耕了这块地的，减去小拖拉机耕了这块地的，即可求出还剩这块地的几分之几没耕。
【详解】1－－
＝－
＝－
＝
【分析】本题考查异分母分数加、减混合计算，关键是仔细认真。
4．
【分析】先将可回收物和厨余垃圾相加，再将和减去有害垃圾，求出这天该小区产生的可回收物和厨余垃圾共比有害垃圾多多少吨。
【详解】＋－
＝－
＝（吨）
所以，这天该小区产生的可回收物和厨余垃圾共比有害垃圾多吨。
【分析】本题考查了分数加减法，同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。
5．乙
【分析】将公路全长看作单位“1”，1－甲修了全长的几分之几－乙修了全长的几分之几＝丙修了全长的几分之几，比较即可。
【详解】
＞＞
乙修的最多。
【分析】关键是掌握分数减法的计算方法，异分母分数相加减，先通分再计算。
6．
【分析】由题意可知，小芳做语文作业用了小时，做英语作业比做语文作业少用了小时，则做英语作业用了（－）小时，然后把做这两种作业的用时相加即可。
【详解】＋（－）
＝＋－
＝－
＝（小时）
则小芳做这两种作业一共用了小时。
【分析】本题考查分数加减混合运算，明确做英语作业的用时是解题的关键。
7．
【分析】把获奖总人数看作单位“1”，已知获一、二等奖的占获奖人数的，则获三等奖的占获奖人数的（1－），又已知获一、三等奖的占获奖人数的，根据分数减法的意义，用－（1－）即可求出获一等奖的占获奖人数的几分之几。据此解答。
【详解】－（1－）
＝－
＝
获一等奖的占获奖人数的。
【分析】本题主要考查了分数减法的计算和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
8．
【分析】将这根绳子看成单位“1”，剪去它的，还剩这根绳子的1－；如果剪去米，用具体的总长度米减去用掉的米数即可求出剩下的米数。
【详解】1－＝
－
＝－
＝（米）
剪去它的，还剩这根绳子的，如果剪去米，这根绳子还剩米。
【分析】此题考查单位“1”的认识以及分数减法的计算，注意题干中的问题是否带单位。
9．
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，因为＋＝，＜，所以这个等腰三角形的腰长不可能是米，而是米，根据三角形的周长公式将三边相加即可得到周长。
【详解】＋＋
＝＋＋
＝＋
＝
＝（米）
它的周长是米。
【分析】本题要注意三角形的两边之和大于第三条边，确定出三角形的三条边，再根据周长的意义解答。
10．
【分析】用1减去，减去，减去，减去，即可解答。
【详解】1－－－－
＝－－－
＝－－－
＝－－
＝－－
＝－
＝－
＝
算式＋＋＋加上的和是1。
【分析】熟练掌握异分母分数减法的计算是解答本题的关键。
11．√
【分析】水果糖重量－吃了的重量＝还剩的重量，列式计算即可。
【详解】－＝（千克），还剩千克。
故答案为：√
【分析】当分数后面带有单位时表示具体数值，可以直接相加减。
12．×
【分析】根据分数加法的计算法则，求出＋的和，然后根据质数的意义判断是否是最小的质数。
【详解】＋＝1
根据质数的意义，最小的质数是2。
故答案为：×
【分析】此题考查的目的是理解掌握同分母分数加法的计算法则及应用，质数的意义及应用，关键是明确：最小的质数是2。
13．√
【分析】根据真分数的意义：分子比分母小的分数叫做真分数；最简分数：分子分母是互质数的分数叫做最简分数，据此求出分数单位是的所有最简真分数，再相加即可解答。
【详解】分数单位是的最简真分数有：；；；。
＋＋＋
＝＋＋
＝＋
＝2
故答案为：√
【分析】根据真分数的意义，最简分数的意义进行解答，注意求出所有分数单位是的最简真分数是解答本题的关键。
14．√
【分析】先去括号，再运用加法的交换律、结合律，减法的性质进行简算。
【详解】
＝0＋1
＝1
所以原题计算正确。
故答案为：√
【分析】本题考查了分数的加、减混合运算，熟练掌握加法运算定律是解题的关键。
15．×
【分析】截下它的后，还剩下米，两个分数的含义不同，第一个表示的是截下的与原来长度的关系，第二个米表示的是具体数量，将绳子长度看作单位“1”，1－截下它的几分之几＝还剩它的几分之几，据此分析。
【详解】1－＝，有一段绳子，截下它的后，还剩下它的，截去的绳子长，所以原题说法错误。
故答案为：×
【分析】关键是理解分数的意义，分数带单位和不带单位表示的意义是不同的。
16．B
【分析】求这根绳子比原来短了多少米，也就是求一共用去了多少米，将两次用去的长度相加即可。
【详解】这根绳子比原来短了：
故答案为：B
【分析】此题考查分数加减的实际应用，关键要理清题目中的数量关系。
17．A
【分析】从头到尾，一杯牛奶没有变，小明喝了一杯牛奶；第一次加了的水，第二次加了的水，第三次加了的水，将3次加的水加起来是喝的所有水，与1杯牛奶进行比较即可。
【详解】＋＋
＝＋＋
＝1
牛奶和水都喝了一杯，喝的一样多。
故答案为：A
【分析】本题考查了分数加法应用题。理解小明喝的牛奶和水各自的量是解题的关键。
18．B
【分析】根据等腰三角形的特征，有两条边长相等，所以第三条边长可以是分米或者分米。再根据三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，判断两种情况是否都符合条件。
【详解】，两边之和小于第三边，所以第三条边只能是分米。
（分米）
故答案为：B
【分析】本题主要考查等腰三角形的特点、三角形的三边关系以及分数的加法计算。
19．C
【分析】把四个选项的分母代入式子，算出结果比较即可。
【详解】A．＋＋
＝＋＋
＝
B．＋＋
＝＋＋
＝
C．＋＋
＝＋＋
＝
D．＋＋
＝＋＋
＝
故答案为：C
【分析】根据异分母分数加减法的计算方法进行解答。
20．B
【分析】算出每个式子的结果与 比较即可。
【详解】， 符合题意；
，不符合题意；
， 符合题意；
，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】本题主要考查异分母分数的加减，找出分母的最小公倍数进行通分是解题的关键。
21．；；3；
；；；
【解析】略
22．；；
【分析】（1）运用减法的性质，把原式化为－（＋），依此进行计算即可；
（2）运用加法交换律，把原式化为，再运用加法结合律化为（＋）＋（＋），依此进行计算即可；
（3）先算小括号里面的加法，再算括号外面的减法即可。
【详解】
＝－（＋）
＝－1
＝
＝
＝（＋）＋（＋）
＝1＋
＝
＝－
＝
23．；
【分析】把这根彩色绳子的总长度看作单位“1”，用做中国结用去绳子的长度占总长度的分率加上做手链用去蝇子的长度占总长度的分率，即可求出做中国结和手链一共用去这根绳子的几分之几；再用1减去做中国结、做手链用去蝇子的长度占总长度的分率之和，即可求出还剩下这根绳子的几分之几没用。
【详解】
＝
＝
1－＝
答：做中国结和手链一共用去这根绳子的，还剩下这根绳子的没用。
【分析】此题的解题关键是通过确定单位“1”，利用分数的加减法运算，求出结果。
24．（1）见详解；
（2）
【分析】（1）把小明家到芳芳家的总路程看作单位“1”，平均分成8份，其中的3份是，即书店在芳芳家左面第3个分点处。
（2）如下图，用单位“1”减去（＋）可求出书店到便利店之间的距离是这条路的几分之几。
【详解】（1）如下图：
（2）1－（＋）
＝1－（＋）
＝1－
＝
答：书店到便利店之间的距离是这条路的。
【分析】此题考查了分数的意义及分数加减混合运算。
25．（1）
（2）见详解
【分析】（1）把菜地的总面积看作单位“1”，用“1”减去种白菜、种黄瓜的面积占总面积的分率之和，即是种萝卜的面积占总面积的几分之几。
（2）结合题目中的信息，提出问题，合理即可。
如：种白菜比种黄瓜的面积少占总面积的几分之几？根据分数减法的意义解答。
【详解】（1）1－（＋）
＝1－（＋）
＝1－
＝
答：种萝卜的面积占总面积的。
（2）种白菜比种黄瓜的面积少占总面积的几分之几？（答案不唯一）
－
＝－
＝
答：种白菜比种黄瓜的面积少占总面积的。
【分析】本题考查分数加减法的意义及应用，掌握异分母分数加减法的计算法则是解题的关键。
26．
【分析】把垃圾的总吨数看作单位“1”，根据分数减法的意义，用即可求出其他处理方式的垃圾占总数的几分之几。
【详解】
＝
＝
＝
答：其他处理方式的垃圾占总数的。
【分析】本题主要考查了异分母分数减法的计算和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
27．；5小时
【分析】把去某研学基地开展实践活动的总时间看作单位“1”，用1减去路上用去的时间、吃午饭与休息时间占总时间的分率，即可求出在研学基地的活动时间占总时间的。再根据分数的意义，把单位“1”平均分成2份，取其中一份，用分数即可表示，说明在研学基地的活动时间占总时间的一半，所以用总时间10小时除以2，即可求出共用去了多少小时。
【详解】1－－
＝－
＝－
＝
10÷2＝5（小时）
答：在研学基地活动时间占，共用去了5小时。
【分析】此题的解题关键是通过确定单位“1”，利用分数的意义以及分数的连减运算，求出结果。
28．（1）
（2）
【分析】（1）求种花生、玉米、大豆的面积共占这块地的几分之几，把种花生、玉米、大豆的面积分别占这块地的分率相加即可求解。
（2）求种花生的面积比大豆多占这块地的几分之几，用种花生的面积占这块地的分率减去种大豆的面积占这块地的分率即可。
【详解】（1）＋＋
＝＋＋
＝
答：种花生、玉米、大豆的面积共占这块地的。
（2）－
＝－
＝
答：种花生的面积比大豆多占这块地的。
【分析】本题考查分数加减法的应用，掌握异分母分数加减法的计算法则是解题的关键。
29．
【分析】优的天数占全月天数的，良的天数占全月天数的，优和良的天气为达标天气，用＋可求出达标天数占全月天数的几分之几。
【详解】＋
＝
＝
答：丹江口市2023年4月份空气质量达标天数占全月天数的。
【分析】异分母分数的分数单位不同，不能直接相加、减，必须先通分转化为同分母分数，再计算。
30．
【分析】把全省的小麦总面积看作单位“1”，用1减去第一天和第二天收割了全省小麦总面积的分率，即可求出还剩全省小麦总面积的几分之几没有收割。
【详解】1－－
＝－
＝
答：还剩全省小麦总面积的没有收割。
【分析】本题考查异分母分数减法，明确其计算方法是解题的关键。

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