资源简介

单元基本信息
学科 数学 学校 年级
设计者 指导者 组内其他教师
课程标准模块 预备知识
使用教材版本 人民教育出版社普通高中教科书数学必修第一册
单元名称 第二章 第一单元 等式性质与不等式性质
单元课时数 2课时
一、单元学习主题分析（体现学习主题的育人价值）
主题名称 等式性质与不等式性质
主题概述 相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，等式与不等式是描述这种数量关系最基本和简洁的表现形式，其本质是实数的序关系的一般化.因此，研究等式的性质、不等式性质要以两个实数大小关系的基本事实为出发点和逻辑基础，通过代数运算发现规律、得出结论，并通过运算证明性质. 本单元将在初中学习等式与等式性质的基础上，结合具体实例，类比初中研究等式的方式方法，采取“现实或数学背景→不等关系与不等式→关于两个实数大小关系的基本事实→不等式的性质→不等式的证明及应用”的路径展开研究.其中，现实和数学背景是不等关系和不等式的来源，等式和等式性质是探究不等式和不等式性质的类比对象，“相等关系或不等关系自身的特点、运算中的不变性和规律性”是发现不等式性质的思想方法.同时，赵爽弦图中蕴含的重要不等式 a +b ≥2ab 既是基本不等式的基础，又能增强学生的文化自信. 等式的性质与不等式的性质都是“式的性质”，反映了“式的大小关系”的本质属性，具有相似性，但等号没有方向性而不等号有方向性，因此它们又有很大的差异.等式的性质从自身特性来看，包括“对称性”和“传递性”，均体现实数序的特征；从运算角度来看，相等关系在加法、乘法运算中保持不变性，这是运算中的不变性.不等式的基本性质与等式的基本性质蕴含相同的数学思想方法，也包含自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种，都是实数序关系的数学表达，前者是不相等的两个实数大小关系的两种不同的等价表达形式，后者体现三个不相等的实数之间大小关系的内在联系；借助实数大小关系的基本事实和实数的其他一些基本事实，不等关系在代数运算中具有不变性和规律性，但不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式性质的差异.同时在不等式基本性质基础上，通过代数的运算、变形、特殊化或推广等方式获得一些常见性质，这些性质都是解决不等式问题的好工具.当然在探究性质的过程中，关注共性规律的时候也需注意差异性，这对发展学生逻辑推理等素养大有帮助. 通过上述分析可以看到，等式性质与不等式性质的根源都在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现代数性质的“引路人”，也是不等式性质中蕴含的基本思想和方法，在代数研究中具有基础地位，是学生发展数学运算和逻辑推理的重要载体，对促进学生思维发展和素养提升都至关重要
主题学情分析 学生在小学和初中阶段已经接触过不等式，但上升到理论层次，例如比较大小的理论根据--作差法，对不等式性质的推导与证明，利用不等式性质解决简单的证明等问题，还有一定的难度，所以在教学过程中，注意引导学生分析不等式个性质的条件及结论，做到有理有据、严谨细致、条例清楚，提高逻辑推理和数学运算的核心素养。
开放性学习环境 借助信息技术制作课件，在动态演示中帮助学生直观理解，有利于学生理解和掌握不等式的本质；借助师生交互平台及时交流想法和结果，及时进行评价分析等.
二、单元学习目标设计（基于标准、分析教材、结合学情，体现素养导向）
单元学习目标 梳理等式的性质； 理解不等式的概念； 掌握不等式的性质.
三、学习活动/任务设计（指向学习目标，强调学生的活动与体验）
第1课时 活动1 在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票. 每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m”、“身高超1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？ 学生回答问题 设计意图：通过探究，引导学生发现生活中的相等关系与不等关系，并能用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
第1课时 活动2 【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出 8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可 能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎 样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【问题3】由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B，当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当点A和点B重合时，. 例1:比较和的大小 4、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 学生活动：解决问题1、问题2、，理解如何比较两实数的大小，得出重要不等式 设计意图：通过例题，使学生熟练比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心素养。同时在情景中体会重要不等式，为后面学习基本不等式做好准备
第1课时 活动3 1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系 (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小. 学生活动：练习与展示 设计意图：通过练习，使学生熟练比较大小的方法及过程，培养数学运算的核心素养
第1课时 活动4 课堂小结 学生活动：总结补充 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识
第2课时 活动1 回顾等式的有关性质： 学生活动：回忆所学知识 设计意图：通过引导学生回忆，帮助学生用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力
第2课时 活动2 不等式性质的讲解 学生活动：理解记忆 设计意图：帮助学生熟记不等式的性质，培养数学运算的核心素养
第2课时 活动3 习题练习例1.下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的序号是 . 例2.已知a＞b＞0，c＜0，求证： 设计意图：引导学生总结，学会学习，学会发现问题，解决问题，总结方法，提高解题速度和思维的严密性 通过不等式的判断、证明，使学生熟练掌握不等式的性质，培养学生解决问题的能力。
第2课时 活动4 课堂小结 学生活动：补充总结 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识
四、单元学习评价设计（教师或同伴对学生的评价，指向学习目标的达成） （备注：方案1、方案2选择其一）
评价要素 方案2：针对单元整体描述
评价内容 学习目标评价：掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题;进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小;了解等式的性质;掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
评价指标 （1）能解释实际问题情境中蕴含的不等关系，并能用数学符号语言描述，获得不等式的概念． (2）能归纳出两个实数大小关系基本事实中蕴含的数学思想，知道将两式的大小比较转化为它们的差与0的大小比较的方法是研究大小关系的最基本方法，体会运算在解决代数问题中的关键作用，并能用基本事实比较大小和证明不等式的基本性质． (3）在回顾和梳理等式基本性质的基础上，能归纳出等式性质蕴含的数学思想方法，即相等关系自身的特性、等式在运算中的不变性． (4）能通过类比等式基本性质猜想不等式的基本性质并能证明；能通过比较分析，说出不等式基本性质与等式基本性质的共性与差异． (5）能从不等式的基本性质出发，通过变形、运算等方式推导出一些常用的不等式性质，并能利用这些性质证明简单的不等式．
评价方法 1.设计小组课堂学习评价量化表，评价学生课堂具体表现。 2.设计课时目标评价检测单，以此来检测堂课的目标完成情况。 3.以实际学情为标准设计单元目标评价检测单，检测单元达标情况。 4.结合单元检测和课时作业构成完整性的评价体系．要定时进行单元测试，收集分析数据。 5.定期进行学习问卷调查。
赋值方法 小组课堂学习评价量化表。 2.学习评价测试卷模板 单元目标评价检测单 一、选择题(本题每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1,2,3,4,5，6，7，8题目略 二、填空题(本题每小题5分，共20分，把答案填在横线上) 9,10,11,12题目略 三、解答题(本题共4小题，共40分) 13,14,15,16题目略 四、评价表 列出每题所考查知识点并说明掌握情况 题号知识点掌握程度 纠 错123456789教 师 评 语
3.学习评价作业模板 课时目标评价检测单 一、作业要求:_____________________________________________ _____________________________________________ 二、作业题目设置同上（略） 三、评价表表格设置同上(略) 4.调查问卷及其的计算机统计图表(项目百分比、柱状图、饼图；成绩折线图等) 调查问卷例1 年级 ______ 班级 ______ 姓名________ 时间 _______ 1、你喜欢数学这门学科吗？ （ ）喜欢 （ ）不喜欢 （ ）无所谓
2、数学课你是怎样课前准备的？ （ ）不预习 （ ）课前粗略预习 （ ）课前自主学习掌握基本知识点，
3、你总是觉得听懂了老师的讲课，自己做却总是做不出来。 （ ）完全符合 （ ） 基本符合 （ ） 完全不符合
4、你在课堂上的学习习惯是：
（ ）积极参与，很乐意举手发言。
（ ）能够独立思考，但在没有把握的情况下，不发言。
（ ）听老师讲，听同学答，不独立思考，不喜欢回答问题。
5、数学课课后你是怎样学习的？ （ ）只完成老师布置的作业 （ ）梳理知识点并巩固练习 （ ）自我反思确保理解掌握每一个知识点 6、对学习数学其它方面的感受 _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________
五、单元作业设计
一、选择题 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 2．如果，且，那么下列不等式成立的是 A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．下列命题中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若，则下列不等式中，一定不成立的是（ ） A． B． C． D． 6．设，，则（ ）． A． B． C． D． 二、多选题 7．已知实数，满足，，则可能取的值为（ ） A． B． C． D． 8．设，，则（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 9．已知三个不等式：（其中均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是 ． 10．已知实数x，y满足：，，则的取值范围为 . 11．已知，，则 .（填，，，其中一个） 12．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为 ． 四、解答题 13．已知，解关于x的不等式组 14．（1）已知，试比较与的大小； （2）证明：． 15．已知，，比较与的大小. 16．已知集合，，其中，且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A具有性质P． (1)判断集合是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A； (2)若集合具有性质P． ①求证：的最大值不小于； ②求n的最大值．
六、反思性教学改进（实施后填写）
学生在从现实或数学背景中抽象获得不等关系与不等式时，对没有符号化的问题不知从何（如：连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短），教学时需要引导学生思考如何提取中的量，怎样描述问题中的量以及满足的不等关系，从而引导学生将问题符号 ．学生发现情境中隐流不等关系的能力较弱 如学生不容易从面积 度挖掘赵爽弦图中蕴含的重要不等式 ),时要加强背景分析，帮助学生从数量关系上获取有价值的信息 等式的基本性质学生是熟知的，但学生不知道从哪些角度去梳理，归纳其中蕴含的数学思想则更难．教学时应给学生指明梳理的方向，先从整体上把握几个式子的结构特点，再进行分类梳理，并提示"运算是代数学的根本"在学生进行分类以后，性质2表示传递性学生很容易清楚，性质1表示对称性需引导，但都是自身的特征．对于性质3、性质4、性质5不妨先让学生通过自然语言描述，突出"加、减、乘、除"四个字，通过问题将学生引导到其共性就是运算，再归纳出"运算中的不变性". 学生类比等式的基本性质及其蕴含的数学思想方法探索并证明不等式基本性质存在一定的困难．性质1和性质2学生认为显然成立，性质3和性质4在初中都已学习了解过（初中是建立在从特殊到一般进行归纳的基础上获得这 性质的），这些性质为什么是成立的，该如何去证明，学生不知所措．教学时要通过问题引导学生回到实数的性质、实数大小关系的基本事实上去，不断修正学生的证明思路，形成合理的逻辑顺序． 由于学生缺乏代数证明的经验，对于正确地运用不等式的性质对不等式进行恰当的等价变形会感到困难．教学时要加强证明思路的分析，以问题串的形式引导学生建立条件与结论的联系，当然这个过程需要教师的典型示范、学生多练习和师生一起纠正典型错误等方式逐步帮助学生掌握证明不等式的一般思路和方法．
七、单元教学结构图
(
不等关系及实数大小的比较的比较
) (
数学抽象
数学建模
直观想象
（
1课时
）
) (
重要不等式
) (
等式性质与不等式性质
（2课时）
) (
数学运算
逻辑推理
（
1课时
）
) (
等式性质
) (
不等式性质
)

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