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正弦函数的图像和性质
一、相关结论：设为的一个区间，则
1.若为单调区间，则有；
2.若为单调增区间，则有；
3.若为单调减区间，则有；
4.若为单调区间，则有.
5.函数的对称轴方程为;
6.函数的对称中心为
二、解题策略：
在遇到型函数时，可以通过换元法将函数转化成形式的基本函数，结合上述结论进行解答。
三、例题：
例1、求函数的单调增区间。
解：设,则的单调增区间为;
则，解得
答案：
变式1、已知函数，若在区间上单调，求的取值范围
解：设,问题转化为在上单调。
故，解得：,另
得：
例2、已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是 .
解：设,问题转化为在中至少存在两个极大值点。
故,解得：
另得
四、总结：
在解决问题中，可以将进行换元，从而得到正弦函数，并将问题等价转化为我们所熟悉的基本函数问题，通过熟悉正弦函数的性质，进而得到结论。学生在平时可以积累正弦函数的相关性质，从而提升解题效率。该方法也适用于余弦函数和正切函数。
练习题
一、单选题
1．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数在区间上至少存在两条对称轴，则的最小值为（ ）
A．6 B．
C． D．
4．将函数的图象先向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线．若曲线的图象关于原点对称，则函数的一条对称轴可以为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在上的最大值小于，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
的部分函数图象如图所示．将函数的图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，若在区间上单调递增，则实数的取值范围可能是（ ）

A． B． C． D．
11．已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ）
A．的值可能是 B．的最小正周期可能是
C．在区间上单调递减 D．图象的对称轴可能是
三、填空题
12．已知函数的图象关于原点对称，其中，，且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围为 ．
13．若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为 .
14．已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知函数的最小正周期.
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 的单调区间；
(3)求不等式的解集.
16．已知函数.
(1)解关于的不等式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的最大值与最小值

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