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2.8关于圆锥的应用（讲义）
1．关于圆锥的应用题
【知识点归纳】
以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥的性质：圆锥的底面是一个圆，圆锥的轴截面都是等腰三角形，圆锥侧面展开图是扇形．
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高．
底面周长＝2πr，
圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）＝S侧+S底．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的．
圆锥体积公式：VSh，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径．
一．选择题（共7小题）
1．在一块正方形纸片上剪下一个圆形和一个扇形（如图所示），恰好能围成一个圆锥模型。如果扇形的半径为a，圆的半径为b，那么a：b＝（　　）
A．3：1 B．4：1 C．7：2 D．9：2
2．把一段重12千克的圆柱形钢削成一个和它等底等高的圆锥体零件，削去的部分的钢重（　　）
A．4千克 B．6千克 C．8千克
3．一个长方体木块，长20厘米，宽16厘米，高24厘米，把它削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的高是（　　）厘米．
A．16 B．20 C．24 D．23
4．如图，一个沙漏由两个圆锥组成，每个圆锥的底面半径都是6厘米，高都是10厘米．沙漏里的沙子正好可以填满一个圆锥．如果每分漏掉31.4立方厘米的沙子，那么沙漏中的沙子从一头漏到另一头要 （　　）分．
A．12 B．24 C．36
5．如图所示，圆锥形容器中装有8升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装（　　）升水。
A．24 B．64 C．72 D．56
6．一个圆锥形的沙滩，底面积16m2，高1.5米，要用这些沙子在宽4米的路上铺2厘米厚，能铺（　　）米．
A．10 B．100 C．300 D．200
7．一个圆锥形煤堆，底面直径3米，高是1.2米，这堆煤的体积是______立方米．如果每立方米煤重1.4吨，这堆煤约重______吨（得数保留整吨数）．（　　）
A．8.487，2 B．1.826，3 C．12，5 D．2.826，4
二．填空题（共7小题）
8．奶奶家去年秋季收获的稻谷堆成了圆锥形，高1.5m，底面直径2m，如果每立方米稻谷重700kg，这堆稻谷重 　 　千克。
9．有一块直角三角形硬纸板（如图），绕3cm长的直角边旋转一周，能够形成个圆锥。这个圆锥的体积是　 　cm3。
10．一个圆锥形砂堆，底面积是12.56平方米，高是6米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺　 　米．
11．一种圆锥形救灾帐篷，底面直径4米，高2.4米，搭建这样一个圆锥形帐篷占地　 　平方米，若一个帐篷住4个人，平均每个人占用的空间是　 　立方米．
12．如图，把一块正方体木料加工成一个尽可能大的圆锥。已知圆锥的体积是6.28立方厘米，正方体的体积是　 　立方厘米。
13．已知圆锥体的底面半径是3厘米，高是6厘米，与它等底等高的圆柱体的体积是　 　立方厘米，这个圆柱表面积是　 　平方厘米．
14．一个圆锥形状的稻谷堆，底面周长12.56米，高1.8米．
（1）如果每立方米稻谷重1020千克，这堆稻谷有 　 　千克．
（2）如果稻谷的出米率是65%，这堆稻谷可以出米 　 　千克．
三．应用题（共6小题）
15．一个圆锥形小麦堆，高1.2米，底面半径2米，如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦共多少千克？
16．一辆货车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后堆成一个高是8分米的圆锥体，沙堆底面面积是多少平方米？
17．一个圆锥形小麦堆，底面周长为12.56m，高1.5m。每立方米小麦的质量约是750kg。这堆小麦的质量约为多少千克？
18．一个圆锥形的沙堆，底面周长是12.56米，高6米，每立方米沙重约2吨，如果用一辆载重量为5吨地汽车去运，多少次可以远完？（π取3.14）
19．工地上有一个圆锥形的沙堆，高是2.4米，底面直径是4米，每立方米的沙约重2.8吨。这堆沙约重多少吨？（得数保留整吨）
20．一个圆锥形的沙堆，量得它的底面周长是18.84米，高是0.5米。每立方米沙重1.5吨，这堆沙共重多少吨？（得数保留一位小数）
2.8关于圆锥的应用（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】B
【分析】根据围成圆锥后，圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系。
【解答】解：扇形的弧长等于圆锥底面周长。
所以2πa÷4＝2πb
a：b＝4：1
故选：B。
【点评】本题主要考查比例的基本性质及圆锥的认识，掌握圆锥的底面周长和侧面展开图的弧长相等是解决本题的关键。
2．【答案】C
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的，则削去部分就是圆柱的体积的，据此利用分数乘法的意义即可求出削去的部分的钢的体积，进一步得到削去的部分的钢的重量．
【解答】解：12×（1）
＝12
＝8（千克）．
答：削去的部分的钢重8千克．
故选：C．
【点评】抓住圆柱内最大的圆锥的体积是圆柱的体积的，是解决此类问题的关键．
3．【答案】A
【分析】削出最大的圆锥的方法有两种情况：（1）以16厘米为底面直径，24厘米为高；（2）以20厘米为底面直径，16厘米为高；由此利用圆锥的体积公式分别计算出它们的体积即可解答．
【解答】解：（1）3.14×（16÷2）2×24，
＝3.14×64×8，
＝200.96×8，
＝1607.68（平方厘米）；
（2）3.14×（20÷2）2×16，
3.14×100×16，
5024，
≈1674.7（平方厘米）；
所以当高为16厘米时，圆锥的体积最大；
故选：A．
【点评】此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，抓住长方体内最大的圆锥的特点是解决此类问题的关键．
4．【答案】A
【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出一个沙漏中沙子的体积，然后根据“包含”除法的意义，用沙漏内沙子的体积除以每分钟漏掉的体积即可．
【解答】解：3.14×62×10÷31.4
3.14×36×10÷31.4
＝376.8÷31.4
＝12（分）
答：沙漏中的沙子从一头漏到另一头要12分．
故选：A．
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
5．【答案】D
【分析】设水的底面半径是1，则圆锥容器的底面半径是2，利用圆锥的体积公式，分别求出水的体积和圆锥容器的容积；接下来求出水的体积和圆锥容器的容积比，根据这个比求出容器的容积；用容器的容积减去水的体积，就求出这个容器还能装多少升水。
【解答】解：设水的底面半径是1，则圆锥容器的底面半径是2。
所以水的体积为：
π×12h
π×1h
πh
容器的容积为：
π×22×h
π×4×h
πh
所以水的体积与容积之比是：πh：πh＝1：8
所以容器的容积是8×8＝64（升）
64﹣8＝56（升）
故选：D。
【点评】此题主要考查圆锥的容积公式的实际应用，关键是求出水的体积与圆锥容器容积的比。
6．【答案】B
【分析】先根据圆锥的体积公式求得圆锥形沙堆的体积；再将路面看作一个长方体，它的体积等于圆锥形沙堆的体积，根据长方体的体积公式可求能铺路面的长度．
【解答】解：2厘米＝0.02米，
16×1.5÷（4×0.02）
＝8÷0.08
＝100（米）；
答：能铺100米长．
故选：B．
【点评】考查了长方体的体积和圆锥的体积，本题关键是理解铺的路面的体积等于圆锥形沙堆的体积，同时注意单位的换算．
7．【答案】D
【分析】首先根据圆锥的体积公式：Vsh，把数据代入公式求出这堆煤的体积，然后用煤的体积乘每立方米煤的质量即可．
【解答】解：3.14×（3÷2）2×1.2
3.14×2.25×1.2
＝2.826（立方米）
2.826×1.4≈4（吨）
答：这堆煤的体积是2.826立方米，这堆煤约重4吨．
故选：D．
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
二．填空题（共7小题）
8．【答案】1099。
【分析】先根据圆锥的体积公式VSh求出这堆稻谷的体积，再乘每立方米稻谷的重量，即可得出答案。
【解答】解：3.14×（2÷2） ×1.5×700
＝1.57×700
＝1099（千克）
答：这堆稻谷重1099千克。
故答案为：1099。
【点评】本题考查学生对圆锥体积公式的运用和掌握。
9．【答案】50.24cm3。
【分析】根据题意绕3cm长的直角边旋转一周所得到的图形是圆锥，它的高是3cm，底面半径是4cm，根据圆锥的体积公式：Vπrrh，求出圆锥的体积。
【解答】解：3.14×4×4×3
＝3.14×4×4
＝50.24（cm3）
答：这个圆锥的体积是50.24cm3。
【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式的应用，关键是根据圆锥的体积公式，计算圆锥的体积。
10．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知，“沙”由原来的圆锥形变成后来的长方体只是形状变了，体积没变；所以先利用圆锥的体积公式Vsh求出沙的体积，也就是后来长方体沙的体积，设出能铺的长，然后根据体积不变，列出方程，解答即可．
【解答】解：20厘米＝0.2米，
设能铺x米长，
10×0.2x＝12.56×6
2x＝12.56×2
x＝12.56
答：能铺12.56米长．
故答案为：12.56．
【点评】此题是考查利用圆锥、长方体的知识解决实际问题，可利用它们的体积公式解答，同时不要漏了．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）第一问求的是圆锥的底面积，运用圆的面积公式，代入数据计算即可；
（2）实际上应先求圆锥的体积，运用圆锥的体积计算公式求出体积，然后除以4即可求出每个人占用的空间．
【解答】解：（1）3.14×（4÷2）2，
＝3.14×22，
＝3.14×4，
＝12.56（平方米）；
答：搭建这样一个圆锥形帐篷占地12.56平方米．
（2）每人占用的空间：
12.56×2.4÷4，
＝12.56×0.8÷4，
＝2.512（立方米）；
答：平均每个人占用的空间是2.512立方米．
故答案为：12.56，2.512．
【点评】此题主要考查圆的面积计算公式以及圆锥的体积计算公式Vsh的运用．
12．【答案】24立方厘米。
【分析】通过观察图形可知，这个最大圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，设正方体的棱长为a厘米，据此列方程解答。
【解答】解：设正方体的棱长为a厘米，
3.14×（a÷2）2×a＝6.28
3.14a＝6.28
3.1418.84
6
a3＝24
答：正方体的体积是24立方厘米。
故答案为：24。
【点评】此题主要考查圆锥的体积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13．【答案】见试题解答内容
【分析】圆锥体的体积VSh，圆锥的底面半径和高已知，代入公式即可求解；圆柱体的体积＝Sh，若圆柱与圆锥等底等高，则圆柱的体积是圆锥体体积的3倍，圆柱的表面积＝底面积+侧面积＝πr2×2+2πrh，由此代入数据即可解答．
【解答】解：3.14×32×6
＝3.14×9×6
＝169.56（立方厘米）
3.14×32×2+3.14×3×2×6
＝3.14×18+3.14×36
＝3.14×54
＝169.56（平方厘米）
答：与它等底等高的圆柱体的体积是169.56立方厘米，这个圆柱表面积是169.56平方厘米．
故答案为：169.56，169.56．
【点评】此题考查了圆柱的表面积和体积公式的灵活应用．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】①根据已知条件，可先求出底面半径，再利用圆锥的体积公式求出它的体积，由“每立方米稻谷重1020千克”，体积立方米数乘1020，即可求出这堆稻谷重多少千克；
②根据出米率的含义：表示米的重量是稻谷重量的65%，进而根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．
【解答】解：①底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（米）
体积：3.14×22×1.8×1020
＝3.14×4×0.6×1020
＝7686.72（千克）
答：这堆稻谷重7686.72千克．
②7686.72×65%＝4996.368（千克）
答：这堆稻谷可以出米 4996.368千克．
故答案为：7686.72，4996.368．
【点评】此题首先利用圆的周长公式求出底面半径，再利用圆的面积公式求出圆锥的底面积，根据圆锥的体积公式VSh，计算出它的体积，最后求重量．
三．应用题（共6小题）
15．【答案】3768千克。
【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出这堆小麦的体积，然后用小麦的体积乘每立方米小麦重700千克，据此解答。
【解答】解：3.14×22×1.2×700
3.14×4×1.2×700
＝5.024×700
＝3516.8（千克）
答：这堆小麦重3768千克。
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．【答案】90平方米。
【分析】根据题意，长方体的体积与圆锥的体积相等，先根据：长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体的体积，再根据：圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高；据此解答。
【解答】解：8分米＝0.8米
4×1.5×4×3÷0.8
＝6×4×3÷0.8
＝24×3÷0.8
＝72÷0.8
＝90（平方米）
答：沙堆底面面积是90平方米。
【点评】此题考查了圆锥与长方体的体积计算，关键灵活运用公式解答。
17．【答案】4710千克。
【分析】先根据“r＝C÷2π”，用12.56除以2π，求出小麦堆的底面半径；再根据圆锥的体积公式“Vπr2h”，代入数据求出这堆小麦的体积；最后用这堆小麦的体积乘750，即可求出这堆小麦的质量约为多少千克。
【解答】解：12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
3.14×22×1.5
＝3.14×4×0.5
＝6.28（立方米）
6.28×750＝4710（千克）
答：这堆小麦的质量约为4710千克。
【点评】解答本题需熟练掌握并灵活应用圆周长公式和圆锥的体积公式。
18．【答案】11次。
【分析】首先根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出这堆沙的体积，用沙的体积乘每立方米沙的质量求出这堆沙有多少吨，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。
【解答】解：3.14×（12.56÷3.14÷2）2×6×2÷5
3.14×4×6×2÷5
＝25.12×2÷5
＝50.24÷5
≈11（次）
答：11次可以运完。
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，“包含”除法的意义及应用，关键是熟记公式。
19．【答案】28吨。
【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径和高，根据圆锥的体积Vπr2h，求出这堆沙的体积，再乘每立方米沙的重量，即可求出这堆沙的总重量，得数按“四舍五入”法保留整数。
【解答】解：3.14×（4÷2）2×2.4
3.14×4×2.4
＝10.048（立方米）
10.048×2.8＝28.1344（吨）≈28（吨）
答：这堆沙约重28吨。
【点评】本题考查的是圆锥的应用问题。
20．【答案】7.1吨。
【分析】要求这堆沙子的重量，先求得沙堆的体积，沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式Vπr2h求得体积，进一步再求沙堆的重量，问题得解。
【解答】解：沙堆的体积：
3.14×（18.84÷3.14÷2）2×0.5
3.14×32×0.5
＝3.14×3×0.5
＝4.71（立方米）
沙堆的重量：
4.71×1.5≈7.1（吨）
答：这堆沙共重7.1吨。
【点评】此题主要考查圆锥的体积计算公式Vπr2h，运用公式计算时不要漏乘。

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