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（单元讲义）第二单元乘除法的关系和乘除法运算律
1．乘与除的互逆关系
【知识点归纳】
乘法中的积相当于除法中的被除数，乘法中的一个因数相当于除法中的除数（或商），另一个因数相当于除法中的商（或除数）．
乘与除的互逆运算：
被除数÷除数＝商；被除数÷除数＝商+余数
除数＝被除数÷商；除数＝（被除数﹣余数）÷商
被除数＝商×除数；被除数＝商×除数+余数．
2．乘法交换律
【知识点归纳】
1、乘法交换律：两个数相乘的乘法运算中，交换两个乘数的位置，积不变。字母表示：a×b＝b×a
2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。字母表示：（a×b）×c＝a×（b×c）
3、乘法分配律：两个数相加（或相减）再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘，再把两个积相加（相减），得数不变。字母表示：
①（a+b）×c＝a×c+b×c；a×c+b×c＝（a+b）×c；
②a×（b—c）＝a×b—a×c；a×b—a×c＝a×（b—c）
3．乘法结合律
【知识点归纳】
1、乘法交换律：两个数相乘的乘法运算中，交换两个乘数的位置，积不变。字母表示：a×b＝b×a
2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。字母表示：（a×b）×c＝a×（b×c）
3、乘法分配律：两个数相加（或相减）再乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘，再把两个积相加（相减），得数不变。字母表示：
①（a+b）×c＝a×c+b×c；a×c+b×c＝（a+b）×c；
②a×（b—c）＝a×b—a×c；a×b—a×c＝a×（b—c）
4．乘法分配律
【知识点归纳】
1、乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把两个加数（或被减数、减数）分别与这个数相乘，在把两个积相加（或相减），结果不变。用字母表示数：（a+b）×c＝a×c+b×c或（a﹣b）×c＝a×c﹣b×c
2、式子的特点：在两个乘法式子中，有一个相同的因数；另为两个不同的因数之和（或之差）基本上是能凑成整十、整百、整千的数。
3、102×88、99×15这类题的特点：两个数相乘，把其中一个比较接近整十、整百、整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和（或差），再应用乘法分配律可以使运算简便。
一．选择题（共7小题）
1．在口算26×3时，先算20×3＝60，再算6×3＝18，最后算60+18＝78。这是运用了（　　）
A．加法交换律 B．乘法分配律
C．乘法结合律 D．乘法交换律
2．下面等式不成立的是（　　）
A．12.5×（4÷2）＝（12.5×4）÷2
B．12.5﹣（4﹣2）＝12.5﹣4﹣2
C．12.5×（4+2）＝12.5×4+12.5×2
3．计算“23×14”的过程中没有用到乘法分配律的是（　　）
A．3×14+20×14 B．23×10+23×4
C．23×7+23×7 D．23×2×7
4．计算器的数字键“4”坏了，用这个计算器计算48×222，能算出正确结果的算式是（　　）
A．6×8×222 B．50﹣2×222
C．（40+8）×222
5．6.8×101＝6.8×100+6.8是运用了（　　）
A．乘法交换律 B．乘法结合律
C．乘法分配律
6．小马虎把17×（m+0.3）错算成17×m+0.3，他计算的结果与正确答案相差（　　）
A．4.8 B．5.1 C．17 D．0.3
7．计算562﹣99时，方法不正确的是（　　）
A．562﹣100﹣1 B．562﹣100+1 C．562﹣90﹣9
二．填空题（共8小题）
8．　 　，这里运用了乘法 　 　。
9．运用 　 　律可以简算5.8×99+5.8。
10．如果□×〇＝30，那么630÷□÷〇＝　 　。
11．请回答下列问题。
（1）（60×25）×8＝60×（ 　 　×8）
（2）265×105﹣265×5＝（ 　 　）×265
12．横线上应该填几？
　 　×4＝800
　 　÷5＝60
13．计算125×808时，可以有两种不同的简便算法，一是125×808＝125×8×101，依据是 　 　律，二是125×808＝125×800+125×8，依据是 　 　律。
14．小强做一道除法题时，误把除数9看成了6，算出的商是12。正确的结果是 　 　。
15．若可以利用乘法分配律计算46×△+28×□＝4600，则△＝　 　，□＝　 　。
三．判断题（共6小题）
16．整数乘法中的运算定律对于分数乘法也同样适用． 　 　
17．2.5×3.06×4＝3.06×（2.5×4）运用了乘法结合律。 　 　
18．计算4.4×0.25时，可以用1.1×（4×0.25），也可以用4×0.25+0.4×0.25。 　 　
19．高斯告诉大家，他用1+100，2+99，3+98，……一共50个101，用50×101就知道1+2+3…+100的和是5050，高斯运用了加法交换律和结合律。 　 　
20．68×97+3可以应用乘法结合律写成68×（97+3），可以使计算简便。 　 　
21．两个因数相乘，交换位置，积不变． 　 　．
四．计算题（共1小题）
22．脱式计算，能简算的要简算。
（1）48×63+37×48 （2）924÷[（36﹣29）×12] （3）25×（4+80）
（4）125×25×4×8 （5）158+367+133+42 （6）（102×18﹣711）÷25
五．应用题（共7小题）
23．小明看一本234页的故事书，第一天看了51页，第二天看了34页，第三天看了49页，还剩多少页没有看？
24．学校图书室有8个书架，每个书架都有7层，每层可放125本书．这些书架一共可放多少本书？
25．学校体育组刘老师买了80套运动服，每件上衣65元，每条裤子35元。一共要付多少元？
26．请你结合算式3×8+7×8用自己喜欢的方式说明乘法分配律是成立的。
27．四年级学生要购买70套校服，每套校服的上衣85元，裤子55元。买这些校服一共需要多少钱？
28．果农李大伯把10筐猕猴桃送到水果超市，这10筐猕猴桃连筐的重量（单位：千克）依次是58、53、42、47、49、62、51、52、63、48，10个筐共重23千克．请你帮李大伯计算一下这10筐猕猴桃净重多少千克？你能用简便方法计算吗？
29．运输队要运一批货物，每辆卡车可以运125袋，每袋重45千克，8辆卡车可以一次运完．这批货物一共有多少千克？
（单元讲义）第二单元乘除法的关系和乘除法运算律-2023~2024学年四年级下册数学重难点讲义(西师大版)
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】B
【分析】根据乘法分配律的意义，两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。用字母表示是（a+b）×c＝a×c+b×c，由此求解。
【解答】解：在口算26×3时，先算20×3＝60，再算6×3＝18，最后算60+18＝78。这是运用了乘法分配律。
故选：B。
【点评】本题主要考查了学生对乘法分配律的熟练掌握情况，牢记定律的内容是关键。
2．【答案】B
【分析】A.根据小数四则运算的顺序，分别计算出两个算式的结果，比较得数的大小即可；
B.根据减法的性质：一个数减去两个数的差，等于这个数减去第一个数，再加上第二个数；
C.根据乘法分配律进行判断。
【解答】解：A.12.5×（4÷2）
＝12.5×2
＝25
（12.5×4）÷2
＝50÷2
＝25
所以12.5×（4÷2）＝（12.5×4）÷2，原等式成立。
B.根据减法的性质，12.5﹣（4﹣2）＝12.5﹣4+2
所以12.5﹣（4﹣2）≠12.5﹣4﹣2，原等式不成立。
C.根据乘法分配律，12.5×（4+2）＝12.5×4+12.5×2，原等式成立。
故选：B。
【点评】本题考查小数的四则运算以及简便运算，熟练掌握运算顺序以及运算定律是解题的关键。
3．【答案】D
【分析】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变；乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加；据此解答。
【解答】解：A.23×14
＝（3+20）×14
＝3×14+20×14（应用了乘法分配律）
B.23×14
＝23×（10+4）
＝23×10+23×4（应用了乘法分配律）
C.23×14
＝23×（7+7）
＝23×7+23×7（应用了乘法分配律）
D.23×14
＝23×2×7（应用了乘法结合律）
故选：D。
【点评】本题考查乘法运算定律的应用，熟练掌握乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的特点是解题的关键。
4．【答案】A
【分析】A、把48分成6×8，可得：48×222＝6×8×222，所以6×8×222能算出正确结果．
B、把48分成50﹣2，应用乘法分配律，可得：48×222＝50×222﹣2×222．
C、因为计算器的数字键“4”坏了，所以（40+8）×222不能算出正确结果．
【解答】解：计算器的数字键“4”坏了，用这个计算器计算48×222，能算出正确结果的算式是：
6×8×222．
故选：A．
【点评】此题主要考查了运算定律与简便运算，要熟练掌握，注意乘法运算定律的应用．
5．【答案】C
【分析】6.8×101，先把10.1分解成10+0.1，再运用乘法分配律进行简算．
【解答】解：6.8×101
＝6.8×（10+0.1）
＝6.8×100+6.8×1
＝680+6.8
＝686.8．
故选：C．
【点评】此题考查的目的是理解乘法分配律的意义，能够灵活运用乘法分配律进行简便计算．
6．【答案】A
【分析】17×（m+0.3）先根据乘法分配律化简为17×m+17×0.3，然后再与17×m+0.3比较求解．
【解答】解：17×（m+0.3）
＝17×m+17×0.3，
（17×m+17×0.3）﹣（17×m+0.3）
＝17×m+17×0.3﹣17×m﹣0.3
＝5.1﹣0.3
＝4.8．
答：他计算的结果与正确答案相差4.8．
故选：A．
【点评】本题先观察这两个算式，再对其中的一个变形，变成相接近的形式，进而求差即可．
7．【答案】A
【分析】把99看成100﹣1，再按照减法的性质进行计算，也可以把99看成90+9，然后再按照减法的性质进行计算。
【解答】解：562﹣99
＝562﹣（100﹣1）
＝562﹣100+1
＝462+1
＝463
562﹣99
＝562﹣（90+9）
＝562﹣90﹣9
＝472﹣9
＝463
所以计算562﹣99时，方法不正确的是：562﹣100﹣1。
故选：A。
【点评】本题主要考查了学生对减法的性质的熟练掌握情况，牢记定律内容是解答本题的关键。
二．填空题（共8小题）
8．【答案】23，分配律。
【分析】乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数。如ac+bc＝（a+b）×c，据此解答即可。
【解答】解：2323
＝23×（）
＝23×1
＝23
这里运用了乘法分配律。
故答案为：23，分配律。
【点评】本题考查了运用乘法分配律进行简便计算。
9．【答案】乘法分配。
【分析】乘法分配律：指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，所以运用乘法分配律可以简算5.8×99+5.8。
【解答】解：运用乘法分配律可以简算5.8×99+5.8。
故答案为：乘法分配。
【点评】此题主要考查了运算定律与简便运算，要熟练掌握，注意乘法运算定律的应用。
10．【答案】见试题解答内容
【分析】根据除法的性质，把630÷□÷〇化为630÷（□×〇），再把□×〇＝30代入630÷（□×〇）解答即可。
【解答】解：630÷□÷〇
＝630÷（□×〇）
＝630÷30
＝21
故答案为：21。
【点评】熟练掌握除法的性质以及代入求值法是解题的关键。
11．【答案】（1）25；（2）100。
【分析】（1）根据乘法结合律填空即可；
（2）根据乘法分配律填空即可。
【解答】解：（1）（60×25）×8
＝60×25×8
＝60×（25×8）
＝60×200
＝12000
（2）265×105﹣265×5
＝265×（105﹣5）
＝265×100
＝26500
故答案为：25；100。
【点评】熟练掌握乘法结合律和乘法分配律的运用是解题的关键。
12．【答案】200；300。
【分析】根据积÷一个因数＝另一个因数，商×除数＝被除数即可解答。
【解答】解：800÷4＝200，所以200×4＝800
60×5＝300，所以300÷5＝60
故答案为：200；300。
【点评】熟练掌握乘法、除法各部分之间的关系是解答本题的关键。
13．【答案】乘法结合，乘法分配。
【分析】计算125×808时，可以把808看成8×101，然后再根据乘法结合律计算；也可以把808看成800+8，然后再按照乘法分配律计算。
【解答】解：计算125×808时，可以有两种不同的简便算法，一是125×808＝125×8×101，依据是乘法结合律，二是125×808＝125×800+125×8，依据是乘法分配律。
故答案为：乘法结合，乘法分配。
【点评】本题主要考查了学生对运算定律的熟练掌握情况，牢记定律的内容是关键。
14．【答案】8。
【分析】根据题意，在除法中，将除数9看成6，得到的商是12，先用错误的商12乘错误的除数6，得到被除数，再用被除数，除以正确的除数，即可得到正确的商，据此解答。
【解答】解：12×6＝72
72÷9＝8
答：正确的结果是8。
故答案为：8。解答本题的关键，利用“将错就错”的方法，利用错误的结果和错误的除数求出被除数，进而计算。
【点评】解答本题的关键，利用“将错就错”的方法，利用错误的结果和错误的除数求出被除数，进而计算。
15．【答案】72；46。
【分析】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，这叫做乘法分配律；字母表示为：a×（b+c）＝a×b+a×c，46×△+28×□＝4600，只有□是46时才能得出结果是4600，由此代入数据进行计算即可。
【解答】解：46×△+28×□＝4600
46×72+28×46
＝46×（72+28）
＝46×100
＝4600
所以△＝72，□＝46。
故答案为：72；46。
【点评】熟练掌握乘法分配律的意义是解题的关键。
三．判断题（共6小题）
16．【答案】√
【分析】整数的运算定律在分数、小数中同样适用．
【解答】解：整数的运算定律在分数、小数中同样适用，那么整数乘法的运算定律同样适用于分数乘法．
故答案为：√．
【点评】本题是将运算定律从整数扩展到了分数，整数的运算定律在分数、小数中同样适用．
17．【答案】×
【分析】计算2.5×3.06×4时，先交换2.5与3.06的位置，再把2.5与4结合起来，运用了乘法交换律和结合律进行简算。
【解答】解：2.5×3.06×4
＝3.06×（2.5×4）
＝3.06×10
＝30.6
运用了乘法交换律和结合律。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】考查了乘法交换律和结合律的运用。
18．【答案】√
【分析】计算4.4×0.25时，可以把4.4拆成1.1×4，再根据乘法结合律计算；也可以把4.4写成4+0.4，再根据乘法分配律计算。
【解答】解：4.4×0.25
＝1.1×4×0.25
＝1.1×（4×0.25）
＝1.1×1
＝1.1
4.4×0.25
＝（4+0.4）×0.25
＝4×0.25+0.4×0.25
＝1+0.1
＝1.1
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握乘法结合律、乘法分配律的灵活运用是解题的关键。
19．【答案】√
【分析】根据加法交换律和结合律的定义进行判断即可。
【解答】解：1+2+3+4+……+99+100
＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+……（50+51）
＝101×50
＝5050
所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查了学生对加法交换律和结合律的熟练掌握情况，解答此题，应仔细观察，认真分析式中数据，运用运算技巧或运算定律合理简算。
20．【答案】×
【分析】乘法结合律为：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．字母表示为a×b×c＝a×（b×c）；算式68×97+3是一个乘法和加法的混合运算，按照运算顺序，应该先算乘法再算加法，因此不符合乘法结合律的使用条件，不能应用乘法结合律．据此即可判断．
【解答】解：由分析可知：68×97+3不符合乘法结合律的使用条件，不能应用乘法结合律简算，
因此68×97+3≠68×（97+3），
所以题干说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查了学生对于乘法结合律的理解和运用的能力．
21．【答案】√
【分析】根据乘法交换律进行判断即可．
【解答】解：根据乘法交换律：
两个因数相乘，交换位置，积不变，如：3×5＝5×3．
故答案为：√．
【点评】本题考查了乘法交换律：a×b＝b×a．
四．计算题（共1小题）
22．【答案】（1）4800；（2）11；（3）2100；（4）100000；（5）700；（6）45。
【分析】（1）（3）利用乘法分配律计算；
（2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法；
（4）利用乘法交换律和结合律计算；
（5）利用加法交换律和结合律计算；
（6）先算小括号里面的乘法，再算小括号里的减法，最后算小括号外面的除法。
【解答】解：（1）48×63+37×48
＝48×（63+37）
＝48×100
＝4800
（2）924÷[（36﹣29）×12]
＝924÷[7×12]
＝924÷84
＝11
（3）25×（4+80）
＝25×4+25×80
＝100+2000
＝2100
（4）125×25×4×8
＝（125×8）×（25×4）
＝1000×100
＝100000
（5）158+367+133+42
＝（158+42）+（367+133）
＝200+500
＝700
（6）（102×18﹣711）÷25
＝（1836﹣711）÷25
＝1125÷25
＝45
【点评】解答本题需熟练掌握四则混合运算顺序，灵活使用运算律。
五．应用题（共7小题）
23．【答案】100页。
【分析】根据加法的意义把三天看的页数相加就是已看的页数，再用总页数减去已看的页数，就是没看的页数。
【解答】解：234﹣（51+34+49）
＝234﹣134
＝100（页）
答：还剩100页没看。
【点评】本题是关于整数加减混合的应用题目，关键是求出已看的页数。
24．【答案】见试题解答内容
【分析】先用每层放书的本数乘上7层，求出每个书架可以放几本书，再用每个书架放书的本数乘上8，即可求出8个书架可以放书的本数．
【解答】解：125×7×8
＝125×8×7
＝1000×7
＝7000（本）
答：这些书架一共可放7000本书．
【点评】解决本题根据乘法的意义：求几个几是多少列出连乘算式求解即可．
25．【答案】8000元。
【分析】根据加法的意义，用每件上衣的价钱加上每条裤子的钱数，求出每套运动服多少元钱，再根据单价×数量＝总价，代入数值即可求出一共要付多少元钱。
【解答】解：（65+35）×80
＝100×80
＝8000（元）
答：一共要付8000元。
【点评】本题主要考查了整数乘法的实际应用，明确单价、数量和总价之间的关系是解答本题的关键。
26．【答案】3×8+7×8＝8×（3+7），符合乘法分配律的，所以是成立的。
【分析】根据乘法分配律的意义，两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变；用字母表示是（a+b）×c＝a×c+b×c。
【解答】解：3×8+7×8
＝24+56
＝80
3×8+7×8
＝8×（3+7）
＝8×10
＝80
3×8+7×8＝8×（3+7），符合乘法分配律的定义，所以是成立的。
【点评】本题主要考查了学生对乘法分配律的熟练掌握情况，牢记定律内容是解答本题的关键。
27．【答案】9800元。
【分析】用一件上衣的价钱加上一条裤子的价钱，即可求出一套衣服的价钱，再乘校服的套数，即可求出买这些校服一共需要多少钱。
【解答】解：70×（85+55）
＝70×140
＝9800（元）
答：买这些校服一共需要9800元钱。
【点评】本题考查两位数乘三位数的计算，理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
28．【答案】502千克；计算时运用加法交换律和加法结合律进行简便计算。
【分析】由题意可知，要求10筐猕猴桃净重，要先求10筐猕猴桃连筐的质量和，然后减去10个筐的质量。观察列式的数据可以看出，58与42相加可以得到整百数，53与47相加可以得到整百数，49与51相加可以得到整百数，52与48相加可以得到整百数，因此先应用加法的交换律，把相加能得整百数的两个数放在一起，把其它数放在一起，然后应用加法的结合律，把五组数用括号结合在一起，同时计算括号里面的数，可以使计算变得简便。
【解答】解：
58+53+42+47+49+62+51+52+63+48﹣23
＝（58+42）+（53+47）+（49+51）+（52+48）+（63+62﹣23）
＝100+100+100+100+102
＝502（千克）
答：这10筐猕猴桃净重502千克；计算时运用加法交换律和加法结合律进行简便计算。
【点评】本题主要是考查了学生对于加法运算定律的灵活运用。
29．【答案】45000.
【分析】每袋重45千克，125袋共重125个45千克，即45×125＝5625千克，也就是每辆卡车可以运5625千克，8辆共运8个5625千克，即5625×8.
【解答】解：45×125×8
＝8×125×45
＝1000×45
＝45000（千克）
答：这批货物一共有45000千克。
【点评】考查了整数乘法的意义的灵活运用。

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