资源简介

小升初数学名校冲刺知识讲解与训练
专项8 比和比例
※知识清单※
1.比的意义和性质
两个数相除又叫两个数的比。
比的前项和后项都乘以或除以同一个数（零除外），比值不变。
2.比例的意义和性质
比例的意义：表示两个比相等的式子，叫比例。
比的基本性质：两个外项的积，等于两个内项的积。
3.求比值和化简比
求比值：根据比值的意义，用前项除以后项，结果可以是整数、小数或分数。
化简比：根据比的基本性质，使比成为前后项都是整数，且互质的比。
4.正、反比例的判断
（1）看变量，分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。
（2）找定量，分析这两种相关联的量，看它们之间是商一定，还是积一定，或者积、商都不一定。
（3）再判断：如果商一定，这两种量就成正比例关系：=k（一定）。
如果积一定，这两种量就成反比例关系：x×y=k（一定）
如果积、商都不一定，就不成比例。
5.比例尺
图上距离与实际距离的比，通常把比例尺写成前项是1的比。
※经典例题※
例1 某人走12千米路程，他行走的速度与所用时间的关系如下表：
速度（千米/时） 1 2 3 4 5 6
时间（时） 12 6 4 3 2.4 2
1.根据上表数据，在下图中找出各点，并顺次连接各点。
2.如果以1.5千米/时的速度行进，大约需用（ ）时才能走完。
3.如果想用3时走完，速度应达到（ ）千米/时。
4.从图中，你发现了什么？
【解析】本题主要涉及正、反比例方面的知识，也渗透了一定的函数思想、数形结合的思想。对学生的作图能力、分析判断能力、归纳总结能力进行比较全面的考查。
1.画图时，首先要明确横轴、纵轴表示的意义，及单位长所表示的量。找出各点顺次连接起来。如图：
2.找出1.5千米/时在纵轴上对应的点，可知：大约需8时才能走完。
3.找出3时在横轴上对应的点，可知：速度应达4千米/时。
4.由图上，我们可以发现：速度越大，所需时间越少；速度越小，所需时间越多；对应的速度和时间的积相等；速度和时间是成反比例的量。
【解答】1.如图：
2.8
3.4
4.我们可以发现：速度越大，所需时间越少；速度越小，所需时间越多；对应的速度和时间的积相等；速度和时间是成反比例的量。
例2 甲数的等于乙数的，甲、乙数的比是（ ）：（ ）。
【解析】本题主要考查学生在学习了“比和比例”这部分知识后，能否灵活运用所学习的知识，解决有关问题。本题的解答过程及方法都是开放性的，我们要注意知识之间的联系，灵活巧妙地解答。
【解答】解法1：根据题意可列出关系式：甲×=乙×。联系比例的基本性质，我们只要把甲和同时放在两个外项的位置上，把乙和同时放在两个内项的位置上，且把甲、乙放在比例的同一侧，两个数放在另一侧，进行化简即可求得：
甲：乙=：=×=16：15
解法2：本题也可用假设法解。设甲是16，则16×=乙×，求出乙是15。
则甲：乙=16：15。
解法3：由等式甲×=乙×，可推导出甲=乙××=乙×，即 甲数是乙数的。可得：甲：乙=16：15。
解法4：由题意知：甲数的3份和乙数的4份相等。为了便于比较，让相等部分的份数也相等。3和4的最小公倍数是12，原题可转化为甲的等于乙数的。说明甲有16份，乙有15，那么甲：乙=16：15。
例3 甲、乙两个长方形的周长相等，甲长方形的长和宽的比是3：2，乙长方形的长和宽的比是7：5，那么甲、乙两个长方形的面积之比是多少？
【解析】本题灵活性强，无现成模式可套用，主要考查学生学习了比和比例后能否运用所学知识解决有一定思维难度的实际问题。解答的突破口是把长方形的周长具体化。两个长方形周长相等，甲、乙份数不等，甲有3+2=5份，乙有5+7=12份，若使它们的周长数等于份数的最小公倍数，可分别求得两长方形的长和宽，进一步求出面积，再求比。这样解答变抽象为具体，化难为易，需要对比的本质有深刻的理解，使思维活动进入高层次。这也是解答有关比的问题的一个好方法。
【解答】解：甲的份数：3+2=5，乙的份数：7+5=12，5和12的最小公倍数等于60，假设每个长方形的周长等于60。
甲：长：60×=36 宽：60-36=24 面积：36×24=864
乙：长：60×=35 宽：60-35=25 面积35×25=875
则甲、乙两个长方形的面积比为：864：875。
※强化训练※
一、填空题。
1.某车间有男职工32人，女职工18人。
①男职工人数与女职工人数的比是（ ）比（ ）；
②女职工人数与男职工人数的比是（ ）比（ ）；
③男职工人数和全车间人数的比是（ ）比（ ），记作（ ）：（ ）；
④女职工人数和全车间人数的比是（ ）比（ ），记作（ ）：（ ）。
2.甲数是乙数的1.5倍，甲数和乙数的比是（ ）：（ ）。
3.甲数除以乙数的商是4，甲数和乙数的最简整数比是（ ）。
4.甲、乙相除的商是，乙与甲的比是（ ）。
5.减数相当于被减数的，差和减数的比是（ ）。
6.圆周率的近似值是（ ）（保留两位小数），它是（ ）和（ ）的比值。
7.甲数与乙数的比是3：5，甲数是乙数的（ ）乙数是甲数的（ ）倍，甲数与甲乙两数和的比是（ ），乙数占甲、乙两数和的（ ）。
8.甲数是乙数的，乙数和甲数的最简比是（ ），比值是（ ）。
9.在（ ）中填上适当的数。
（ ）：16===（ ）÷24=（ ）％
10.把1厘米代表40千米，改写成数字比例尺是（ ）。
11.在比例尺是8：1的图上，一种零件长为8厘米，零件的实际长度是（ ）厘米。
12.判断下列各项中的两种量成不成比例，成什么比例。
①比的后项一定，前项和比值。（ ）
②路程一定，车轮的半径和车轮转动的周数。（ ）
③三角形的面积一定，它的底和高。（ ）
④从甲地到乙地，所需的时间和行走的速度。（ ）
从甲地到乙地，已走的路程和未走的路程。（ ）
⑤图上距离一定，实际距离和比例尺。（ ）
⑥根据A量×B量=C量的关系，可知A量一定时，B量与C量成什么比例。（ ）
13.吨：400千克的比值是（ ）
14.把1.875：化成最简整数比是（ ），它的比值是（ ）。
15.2.5：的比值是（ ），把它写成最简比是（ ）。
二、判断题。
1.35：7=140：28，也可以写成。（ ）
2.解比例也就是解方程。（ ）
3.表示比相等的式子叫作比例。（ ）
4.因为5a=6b，所以a：b=6：5。（ ）
5.比例尺100：1表示图上尺寸是实际长度的100倍。（ ）
6.把16：2化成最简整数比就是8。（ ）
7.在比例中，两个外项积等于两个内项积。（ ）
8.正方体的体积与棱长不成比例。（ ）
9.一辆汽车从甲地到乙地所用的时间和速度成反比例。（ ）
10.分数值相等的分数，分子和分母成正比例。（ ）
三、选择题。
1.下面两个比不能组成比例的是（ ）。
A.1O：12和35：42 B.20：10和60：20
C.：和12：8 D.0.6：0.2和：
2.下列式子中，是比例的是（ ）。
A.15：7=15：21 B.3.6：2.4=40：30
C.：4=3： D.：=：
3.能与0.14：0.1组成比例的是（ ）。
A.： B.0.8：0.25 C.：0.625 D.28：3
4.两地相隔实际距离是500千米，而地图上距离是5厘米，这幅地图的比例尺是（ ）。
A.5：500 B.5：50000000 C.1：10000000 D.1：100
5.图上距离一定，实际距离和比例尺（ ）。
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例
6.下列各项中，两种量成反比例关系的是（ ）。
A.速度一定，时间与距离
B.烧煤的总量一定，每天烧煤量与所烧的天数
C.车轮直径一定，行驶的路程和车轮的转数
D.人的年龄与身高
7.长方形周长一定，长方形的长和宽（ ）。
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例
8.运一堆货物，每次运的吨数和运的次数（ ）。
A.成比例关系 B.成正比例关系 C.成反比例关系
9.分子一定，分母与分数值成（ ）。
A.正比例 B.反比例 C.不成比例
10.正方形的面积和边长（ ）。
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例
11.自然数a与它的倒数是（ ）的量。
A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 D.不相关联
12.一个三角形三个内角度数的比是1：3：2，这个三角形是（ ）。
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
※名校冲刺※
一、填空题。
1.5米：20千米的比值是（ ）。
2.5厘米：1米的比值是（ ）。
3.3.9：6=（ ）：20=130÷（ ）
4.5千克：4克的比值是（ ）。
5.一件工程，甲单独做15天完成，乙单独做12天完成，甲、乙工作时间的比是（ ），甲、乙工作效率的比是（ ）。
6.在一个比例中，两个内项互为倒数，如果一个外项是，另一个外项是（ ）。
7.批零件，张师傅单独加工需要24天，李师傅单独加工的时间是张师傅的，张、李两位师傅工作效率比是（ ）。
8.一个直角三角形的两锐角的比是2：7，两个锐角的度数分别是（ ）度和（ ）度。
9.一个三角形三个角的度数比是2：3：5，这个三角形的三个角分别是（ ）度、（ ）度和（ ）度。
10.甲行走的路程比乙多，而乙行走的时间比甲多，甲与乙速度的最简整数比是（ ）。
11.1.4：35%化简比是（ ）。
12.A÷B=C，当A一定时，B和C成（ ）比例，当C一定时，A和B成（ ）比例。
13.甲数是乙数的，丙数是乙数的，甲：乙：丙=（ ）：（ ）：（ ）。
14.a除b的商是2.4，那么a与b的比值是（ ）。
15.m除以n的商是1.5，那么m与n的最简整数比是（ ）。
二、判断题。
1.5：8=：（ ）
2.：=1：1（ ）
3.4：10化简后是0.4。（ ）
4.2.6：1.3化简后是2：1。（ ）
5.因为a×8=b×7，所以a：8=b：7。（ ）
6.因为3：m=n：10，所以m×n=30。（ ）
7.甲数是乙数的，甲数比乙数少。（ ）
8.甲数是乙数的，乙数比甲数多。（ ）
9.任意两个比都能组成比例。（ ）
10.能组成比例的两个比的比值一定相等。（ ）
三、选择。
1.甲数比乙数多25%，甲、乙两数的最简整数比是（ ）。
A.4：5 B.5：4 C.1：4 D.4：1
2.甲数比乙数少25%，甲、乙两数的最简整数比是（ ）。
A.4：3 B.1：3 C.3：4 D.3：1
3.一件工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，甲、乙的工作效率比是（ ）。
A.2 B. C. D.2：3
4.两只同样的直角三角板（三内角比为1：2：3），拼成一个三角形后，三个内角的比是（ ）。
A.1：1：1 B.1：1：4 C.1：1：1或1：1：4 D.都不是
5.一辆自行车与汽车的速度比是1：3，一天它们行驶的时间比为8：3，则它们行驶的路程比是（ ）。
A.9：6 B.8：9 C.9：8 D.24：3
6.一辆自行车与汽车的速度比是1：4，一天它们行驶的路程比是2：3，则它们行驶的时间比是（ ）。
A.8：3 B.3.8 C.1：6 D.6：1
7.甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是（ ）。
A.25：18 B.18：25 C.1：2 D.2：1
8.甲数的25%等于乙数的45%，乙数与甲数的比是（ ）。
A.5：9 B.9：5 C.9：80 D.80：9
9.甲数比乙数少28% ，甲、乙两数的最简整数比是（ ）。
A.32：25 B.18：25 C.25：18 D.25：32
10.甲数比乙数多28%，甲，乙两数的最简整数比是（ ）。
A.32：25 B.18：25 C.25：18 D.25：32
参考答案
强化训练
一、1.①16 9 ②9 16 ③16 25 16 25 ④9 25 9 25
2.3 2
3.4：1
4.5：11
5.2：3
6.3.14 圆周长 直径
7. 3：8
8.7：4
9.6 64 9 37.5
10.
11.1
12.①正比例 ②反比例 ③反比例 ④反比例 不成比例 ⑤反比例 ⑥正比例
13.
14.5：2
15.7 7：1
二、1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 7.√ 8.√ 9.√ 10.√
三、1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.B 10.C 11.B 12.A
名校冲刺
一、1. 2. 3.13 200 4.1250 5.5.5：4 4：5 6. 7.2：3 8.20 70 9.20 70 10.11：8 11.4：1 12.反 正 13.5 20 4 14. 15.3：2
二、1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.√ 7.× 8.× 9.× 10.√
三、1.B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.A 7.A 8.A 9.B 10.A

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