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小升初数学名校冲刺知识讲解与训练
专项10 平面图形
※知识清单※
1.线
线段：用直尺把两点连接起来，
就得到一条线段。线段长
就是这两点间的距离。 平行线：在一个平面内永不相交的两条直线。
线 直线：把线段的两端无限延长，垂线：两条直线相交成直角，这两条直线叫互相垂直。
可以得到一条直线。 其中一条直线叫另一条直线的垂线。
射线：把线段的一端无限延长，
可以得到一条射线。
2.角
（1）角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。
（2）角的分类：
锐角：小于90°的角。
直角：等于90°的角。
钝角：大于90°而小于180°的角。
平角：180°的角。
周角：360°的角。
3.平面图形
（1）三角形：
①三角形的定义：由三条线段首尾互相连接围成的图形叫三角形。
②三角形的分类：
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
按角分 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
三角形 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
等腰三角形：两条边相等的三角形。
按边分 等边三角形：三条边都相等的三角形。每个内角都是60°。
不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
（2）四边形
①四边形的定义：由四条线段首尾依次连接围成的封闭图形叫四边形。
②四边形的分类：
平行四边形→长方形→正方形
四边形 直角梯形
梯形
等腰梯形
（3）特征及周长、面积计算公式
※经典例题※
例 1 数一数图（1）中有几条线段，图（2）中有几个角？
【解析】数线段的基本方法有两种：（1）此图共有5条基本线段，由其中的2条组成的线段有4条，由其中的3条组成的线段有3条，由其中的4条组成的线段有2条，由5条线段组成的线段有1条，即5+4+3+2+1=15。以第一个点为线段左端点的线段有5条，以第二个点为线段左端点的线段有4条，以第三个点为线段左端点的线段有3条，以第四个点为线段左端点的线段有2条，以第五个点为线段左端点的线段有1条，同样有5+4+3+2+1=15。（2）数角的个数，要既不遗漏又不重复，要注意按照一定的顺序数。我们可以把图中每一个角编上序号，那么单角个数有4个角；相邻两个单角可组成新的角有3个；相邻的3个角组成的新角（如：∠1.∠2、∠3；∠2、∠3、∠4）有2个；4个单角合起来也是一个新角，所以角的总数是：4+3+2+1=10（个）因此，此类数角的题与数线段的题规律和思路一样：角的总个数也可以分成几个连续自然数的和，第一个数是1，最后一个数是最大角内射线的条数加上1。
【解答】15 10
例2 右图中∠1与∠2相差的度数是（ ）。
【解析】∠1与35°角的和是一个直角，所以∠1=90° -35°=55°；∠2与35°角的和是一个平角，所以∠2=180° -25°=145°，故∠2-∠1=145°-55°=90°
【解答】90°
例3 用两种方法求下图中∠1、∠2、∠3的和。
【解析】三角形的内角和等于180°，180°减去已知内角度数和（55°+40°），就可以求出另一个内角（∠4）的度数。平角180°减去55°的差为∠1的度数。同理，180°减去40°就得到∠3的度数，180°减去∠4的度数所得的差为∠2的度数，然后求∠1、∠2、∠3的和。180°-（55° +40°）=85°，即∠4的度数。∠1的度数为180°-55°=125°∠3的度数为180°-40°=140°∠2的度数为180°-85°=95°∠1、∠2、∠3的和为125°+140°+95°=360°也可以这样思考：∠l+55°为平角，∠2+∠4为平角，∠3+40°为平角，二个平角的和为：180°×3=540°，再减去三角形的内角和180°，则∠l+∠2+∠3=540°-180°=360°。很明显，第二种方法较简便。
【解答】540°
例4 如图，ABCD是一个正方形，连接相邻两边的中点，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【解析】连接相对两边的中点，把这个正方形分成两个相等的小长方形。阴影部分也自然分为两个相等的三角形，从图中可以看出，每一个三角形的底等于这个正方形的边长，高都是正方形边长的一半。×6××2=18（平方厘米）
【解答】18
例5 右图是一个梯形，中间是一个平行四边形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
【解析】本题有两种方法。方法一是用梯形的面积减去中间平行四边形的面积，得出阴影部分的面积。方法二是去掉中间的平行四边形，然后将两侧的梯形拼凑在一起，组成一个新的梯形（也就是阴影部分），这个梯形的上底、下底各减少3厘米，高没变。方法一：×（9+18）×8-3×8=84（平方厘米）方法二：×[（18-3）+（9-3）]×8=84（平方厘米）
【解答】84
例6 求下图中阴影部分的面积。
【解析】（1）题是求组合图形中的阴影部分的面积，在计算时要认真观察图形，掌握图形特征，分清是由哪几个基本几何图形组合而成。这个图形由直角梯形和个圆两部分组成，那么阴影部分的面积就是直角梯形的面积减去圆的面积。①求梯形的面积：×（4+8）×4=24（平方厘米）②求圆的面积：×3.14×42=12.56（平方厘米）③求阴影部分的面积：24-12.5-11.44（平方厘米）（2）本题是一个比较复杂的组合图形的例题，它是由圆、三角形、梯形几部分组合而成，图中阴影部分的面积分两部分求：上半部分是半圆的面积减去三角形的面积，下半部分是梯形面积减去半圆的面积，上下两部分之和即阴影部分的面积。
①下半部分面积为：×（4×2+12）×4-×42π②上半部分面积为：×42π-×4×2×4③阴影部分的面积：（1）+（2）
×（4×2+12）×4-×42π+×42π-×4×2×4
=×（4×2+12）×4-×4×2×4
=24（平方厘米）
【解答】（1）11.44 （2）24
例7 如右图，阴影①的面积比阴影②的面积大28平方米，AB长40米，求BC长。
【解析】从图中可以看出阴影①的面积加上空白部分的面积即半圆的面积，阴影②的面积加上空白部分面积即三角形ABC的面积，已知阴影①的面积比阴影②的面积大28平方米，即半圆面积比三角形ABC的面积大28平方米，半圆面积可求，那么三角形的面积就知道，已知三角形的面积和底AB，高BC就可求。（1）半圆面积：×π×（）2=628（平方米）
（2）三角形面积：628-28=600（平方米）（3）BC的长：600×2÷40=30（米）
【解答】30
例8 如下图（1）所示，三角形ABC是腰长为6的等腰直角三角形，求阴影部分面积。（单位：厘米）
【解析】因阴影部分的面积零散分布，无法直接求出，我们可以通过分割和拼合转化成规范的图形。连接CD将三角形ABC沿CD切成两块，拼成图（2），则阴影部分面积为直径是6的圆面积与对角线是6的正方形的面积的差。（1）求圆的面积：3.14×（）2=28.26（平方厘米）（2）求正方形的面积：6×6×=18（平方厘米）（3）求阴影部分的面积：28.26-18=10.26（平方厘米）
【解答】10.26
※强化训练※
一、填空题。
1.一个三角形最大角是88°，按角分类，这个三角形是（ ）三角形。
2.3点钟时，时针和分针所组成的角是（ ）角。
3.直角的是周角的（ ）。一个角的2倍是162°，这个角是（ ）度，它是（ ）角。
4.角的两条边是从同一点出发的两条（ ）线。将它任意延长或缩短，角的大小（ ）。
5.圆的（ ）确定圆的位置，圆的（ ）确定圆的大小。
6.一个等腰三角形的周长是18米，底是8米，它的两条腰长（ ）米。
7.将80°、90°、25°、145°、100°、70°、95°按角的大小分成三类，（ ）角有（ ）；（ ）角有（ ）；（ ）角有（ ）。
8.如右图所示的平行四边形，图中数据为相应面积数（单位：平方厘米），那么另一块的面积是（ ）平方厘米。
二、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
1.半圆的面积是这个圆的面积的一半，半圆的周长是这个圆周长的一半。（ ）
2.10时30分和2时30分，时钟两指针的角度一样。（ ）
3.半径是4米的圆，它的周长和面积恰好相等。（ ）
4.一个圆的圆心就在圆上。（ ）
5.三角形的两个内角和小于90° ，这 个三角形是钝角三角形。（ ）
6.如果用10倍放大镜看6°的角，这个角就扩大成60°的角。（ ）
三、选择题（把正确答案的编号填在括号里）
1.两组对边中只有一组平行的四边形有（ ）。
A.正方形 B.长方形 C.梯形 D.平行四边形
2.在1平方米大的地面上，如果站满人大约能站（ ）人。
A.30 B.3 C.10 D.100
3.淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13 根小棒，像这样搭15间房子要用（ ） 根小棒。
A.60 B.61 C.65 D.75
四、实践操作题
1.用一副三角板，画出75°、120°、150°的角。
2.画出下面图形底边上的高。
3.过直线外一点，作已知直线的垂线和平行线。
4从下图中梯形的一个顶点到对边画一条线，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，一共有（ ）种画法。并在图中画出来。
5.在两条平行线之间画出面积相等的三角形、平行四边形、梯形。
※名校冲刺※
一、填空。
1.小于90°的角叫做（ ）， 等于90°的角叫做（ ），大于 90°而小于180°的角叫做（ ）。
2.从一点引出两条射线，就得到一个（ ），角的大小与边的长短（ ）。
3.把一个正方形剪成一个最大的圆，圆直径等于正方形的（ ）。
4.正方形有（ ）条对称轴，等腰梯形有（ ）条对称轴，圆有（ ）条对称轴。
5.一个三角形被盖住一个角，如果能看到两个角，一个是锐角，另一个是直角，这就是一个（ ）三角形。如果一个角是锐角，另一个是钝角，这就是一个（ ）三角形。
6.三角形中最少有（ ）个锐角。
7.图中有（ ）个长方形。
8.钟面上分针每走（ ）小时就成一个周角，时针每走（ ）小时也成一个周角。
9.一个直角三角形的三内角度数比是1：1：2，这个三角形是（ ）三角形，又是（ ）三角形。
10.一个三角形的面积是18平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是（ ）平方 厘米。
11.正方形的边长是3厘米，它的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
12.长方形的长是5分米，比宽长2分米，它的周长是（ ）分米。
13.一个梯形的面积是16 平方厘米，上底是3厘米，高是4厘米，下底是（ ）厘米。
14.一个平行四边形的面积是48平方厘米，它的底正好等于一个梯形的上底与下底的和，且高相等，则梯形的面积是（ ）平方厘米。
15.一个圆的周长是12.56米，它的面积是（ ）平方米。
16.一个圆的半径扩大3倍，它的面积扩大（ ）倍。
17.一个三角形的面积与直径是10厘米的圆面积相等，已知三角形的底长15.7厘米，高是（ ）厘米。
18.用一根铁丝围成一个边长8厘米的正方形，如果把它拉成一个平行四边形，面积减少12平方厘米，拉成的平行四边形的高是（ ）厘米。
19.一个正方形的边长和一个圆的半径相等，圆的面积是正方形面积的（ ）倍。
20.把4个边长是6厘米的正方形拼成一个长方形，它的面积是（ ）平方厘米， 周长是（ ）厘米。
二、选择。
1.一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。
A.6 B.7.5 C.10
2.一个正方形的边长扩大2倍，则面积扩大（ ）。
A.2倍 B.4倍 C.8倍
3.一个三角形三个内角度数的比是1：2：3，这个三角形是（ ）三角形。
A.直角 B.钝角 C.锐角
4.一个圆环的外直径是12厘米，内直径是8厘米，这个圆环的面积是（ ）平方厘米。
A.50平方厘米 B.60平方厘米 C.62.8平方厘米
5.如图，甲和乙的周长相比，甲（ ）乙。
A.＞ B.＜ D.=
6.一个长方形长m厘米，宽n厘米，如果长增加2厘米，它的面积就增加（ ）平方厘米。
A.2m B.2n C.2mn D.4
7.在锐角三角形中，最大的角一定小于（ ）度。
A.60 B.90 C.120 D.180
8.一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大24平方厘米，三角形的面积是（ ）平方厘米。
A.24 B.48 C.12 D.36
9.一个半圆，它的半径是r，它的面积是（ ）。
A.2πr2 B.2r+r2 C.2r（2+π） D.πr2
10.半径为a厘米的半圆的周长是（ ）厘米。
A.2πa÷2 B.2πa C.πa+a D.πa+2a
11.一个三角形和一个平行四边形面积相等，底的比是3：1。那么，三角形和平行四边形高的比是（ ）。
A.1：3 B.3：2 C.2：3
12.半圆的周长是直径的（ ）倍。
A.π B.π+1 C.π
13.两个圆的半径之比是3：2，它们的面积之比是（ ）。
A.3：2 B.9：4 C.6：4
14.一个长方形的长为x厘米，宽为y厘米，如果长增加5厘米，面积就会增加（ ）平方厘米。
A.5x B.5y C.5xy D.25
15.一个扇形的圆心角是30°，它的面积占所在圆的面积的（ ）。
A. B. C. D.
16.周长相等的情况下，（ ）的面积最大。
A.正方形 B.长方形 C.圆
17.扇形的面积是15.7平方分米，与它半径相等的圆的面积是78.5平方分米，这个扇形的圆心角是（ ）。
A.36° B.72° C.144°
18.如右图，三个半圆的半径之比为 2：3：5，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）。
A.3：2 B.12：25 C.13：25 D.12：13
19.两个大小不等的圆，大圆的周长和直径的比（ ）小圆的周长和直径的比。
A.大小 B.小于 C.等于
20.圆心角是60°的扇形面积是它所在圆的面积的（ ）。
A. B. C.
三、判断。
1.边长是4厘米的正方形面积和周长相等。（ ）
2.周长相等的两个长方形，面积一定相等。（ ）
3.两个圆的半径之比是3：4，那么面积之比是9：16。（ ）
4.三角形的面积是等底等高的平行四边形面积的一半。（ ）
5.正方形的边长和周长成正比例。（ ）
6.两个面积相等的三角形一定 可以拼成一个平行四边形。（ ）
7.顶角是锐角的等腰三角形，一定是锐角三角形。（ ）
8.如果一个圆的周长增加了12厘米，那么圆的半径就增加厘米。（ ）
9.两个扇形，半径较长的那个面积就较大。（ ）
10.圆的半径增加a.周长就增加2πa。（ ）
11.把一个圆的半径扩大n倍，它的周长就扩大2n倍。（ ）
12.一个长方形.如果长增加3厘米，宽增加2厘米，那么面积就增加了6平方厘米。
（ ）
13.下图是平行线间的五个图形，它们的面积都相等。（ ）
14.直径是4厘米的圆的周长和面积一样大。（ ）
15.如果一个正方形的边长为m厘米，增加5厘米后，它的面积增加了5m+5平方厘米。（ ）
16.一个半圆的周长是12.56 厘米，那么它的直径是8厘米。（ ）
17.一个正方形，边长增加了3厘米，面积就增加9平方厘米。（ ）
四、应用题。
1.平行四边形的面积是320平方厘米，求梯形的面积。
2.已知梯形的面积是16.5平方厘米，求阴影部分面积。
3.梯形的四角都去掉一个半径是 5厘米的扇形，求剩下部分（阴影部分）的面积
4.求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
5.求右图中阴影部分的面积。（O为圆心，单位：厘米）
6.求右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
7.在直角三角形ABC中，LB=90°，LACB=60°，三角形ABC的面积为6平方米，求三角形ABD的面积。
8.甲、乙为正方形，求图中阴影总面积。（单位：厘米）
9.求阴影部分的面积。（单位：厘米）
10.求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）
参考答案
强化训练
一、1.锐角
2.直
3. 81 锐
4.射 不变
5.圆心 半径
6.5
7.锐 80° 25°70° 钝 145°100° 95° 直 90°
8.8
二、1.× 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.×
三、1.C 2.C 3.B
四、2.
3.
4.
5.
名校冲刺
一、1.锐角 直角 钝角
2.角 无关
3.边长
4.4 1 无数
5.直角 钝角
6.2
7.10
8.1 12
9.等腰 直角
10.36
11.12 9
12.16
13.5
14.24
15.12.56
16.9
17.10
18.6.5
19.3.14
20.144 60
二、1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.B 8.A 9.D 10.D 11.C 12.B 13.B 14.B
15.C 16.C 17.B 18.B 19.C 20.C
三、1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.× 7.√ 8.√ 9.× 10.√ 11.× 12.×
13.√ 14.× 15.× 16.× 17.×
四、1.320÷ 20×（20+16）÷ 2=288（平方厘米）
2.16.5-16.5×2÷（7+4）×4÷2=10.5（平方厘米）
3.（8+5×2+20+5×2）×12÷2-π×52=288-25π=209.5（平方厘米）
4.3.14×42×-4×4×××36
5.16+6+4）×（6+4）×-3.14×[（6+4）2-62]×=79.76（平方厘米）
6.（20+5×2）×5÷2-5×2×5÷2=50（平方厘米）
7.6×3=18（平方米）
8.（6+4）×4×-（42-3.14×42×）=16.56（平方厘米）
9.（1）62×π×-（6×4-42×π×）=16.82（平方厘米）
（2）8×4-4×4=16（平方厘米）
10.（1）（）2×π×-（4÷2）2÷2=π-21.14（平方厘米）
（2）4×6÷2-42×π×=12-2π=5.72（平方厘米）

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