资源简介

小升初数学名校冲刺知识讲解与训练
专项11 立体图形
※知识清单※
1.长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的特征
（1）长方体和正方体的相同点和不同点
长方体有6个面，相对的面是面积相等的长方形（也可能有两个相对的面是正方形），有12条棱，相对的棱的长度相等，有8个顶点。
正方体有6个面，6个面是面积都相等的正方形，有12 条棱，棱长都相等，有8个顶点。可以看出：正方体是特殊的长方体。长、宽、高都相等的长方体叫做正方体。
（2）圆柱体
上下两个底面是等圆的直柱体。上下两个底面是面积相等的圆形，两个底面之间的距离叫做圆柱体的高。
（3）圆锥体
只有一个底面是圆形，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
2.表面积及体积
长方体：a→长、b→宽、h→高。
长方体六个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2
用字母表示：S=2（ab+ah+bh）
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高，用字母表示；S=abh
正方体：a→棱长
正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示：S=6a2
正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示：V=a2
圆柱体：圆柱体的侧面展开是一个长方形或正方形，长方形的长等于圆柱体底面周长，宽就是它的高。因此：
圆柱体的侧面积=底面周长×高
圆柱体的表面积=侧面积+底面积×2
圆柱体的体积=底面积×高
用字母表示：S侧=C×h S长=2πrh+2πr2=Ch+2πr2 V=πr2h
圆锥体：圆锥体的体积等于和它等底等高的圆柱体体积的。即：
圆锥体体积=底面积×高×
用字母表示：V=Sh
3.容积、物体的重量
容器所能容纳的物体的体积，叫做这个容器的容积。
计算容积的方法与计算体积的方法相同。但要注意：求体积时.要从物体的外部测量计算，求容积时要从容器的里面测量计算。因为要去掉容器的厚度。另外，计算体积时一般用体积单位：立方米、立方分米、立方厘米等。当计量容器中液体的体积时常需要用升和毫升作单位。
1立方厘米=1毫升1立方分米=1升
要计算长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的木料、钢材、油桶及小麦堆等物体的重量，首先要计算出物体的体积，再利用下面的公式计算。
物体的重量=单位体积的重量×体积
※经典例题※
例1 判断
1.圆锥的体积是圆柱体积的。（ ）
2.长方体相对的面都是正方形。（ ）
3.相对棱的长度相等的物体就是长方体。（ ）
4.一个圆柱的底面直径是d，它的高是πd，这个圆柱的侧面展开后一定是正方形
（ ）
【解析】1.×。只有在等底面积等高的情况下，圆锥的体积才是圆柱体积的。2.×。长方体有时一组相对的面是正方形，但至少有两组相对的面是长方形。相对的面都是正方形的物体是正方体。3.×。如果物体的每个面是平行四边形、五边形，虽然也符合相对棱的长度相等，但不是长方体。长方体相对的2个面必须是长方形或正方形，并且面积相等。4.√。圆柱的侧面展开图是长方形，长为底面周长，宽为圆柱的高。题中圆柱的底面直径是d，则底面周长为πd；同时圆柱的高也是πd， 那么这个圆柱的侧面展开后是正方形。
【解答】1.× 2.× 3.× 4.√
例2 有一间房间，长4.8米，宽4米，高3.2米，要粉刷房间的四周墙壁和房顶，除去门窗的面积12平方米，要粉刷的面积是多少平方米？
【解析】粉刷面积求的是实际面积，不包括地面面积。因此只要求出房间五个面的面积，再去掉门窗面积，就可以求出粉刷面积。
4.8×4+（4.8×3.2+4×3.2）×2-12
=19.2+56.32-12
=63.52（平方米）
【解答】要粉刷的面积是63.52平方米。
例3 把一块长40厘米，宽30厘米的长方形铁皮从四个角都剪去边长为5厘米的正方形，再焊接成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的容积是多少？
【解析】根据题意我们可以画出下图：
从图中可以看出，焊接后的长方形铁盒的长是40-5-5=30（厘米），宽是30-5-5=20（厘米），高是5厘米。所以铁盒的容积是30×20×5=3000（立方厘米）。
【解答】这个铁盒的容积是3000立方厘米。
例4 一个圆柱形的油桶，底面直径是6分米，高是10分米，它的容积是多少？做100个这样的油桶要用铁皮多少平方米？
【解析】题中给出的条件很充分，计算时要按步骤代入公式。1.油桶容积：V=πr2h=3.14×（6÷2）2×10=282.6（立方分米）2.需要铁皮的面积：底面积：S底=πr2=3.14×（6÷2）=28.26（平方分米）侧面积：S侧=πdh=3.14×6×10=188.4（平方分米）表面积：S表=S侧+S底×2=188.4+28.26×2=244.92（平方分米）100个油桶所需要铁皮：244.92×100=24492（平方分米）24492平方分米=244.92平方米
【解答】油桶的容积是282.6立方分米，做100个这样的油桶要用铁皮244.92平方米。
例5 一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高不变；或者宽增加4厘米，长和高都不变；或者高增加5厘米，长和宽都不变，它的体积都增加60立方厘米，那么这个长方体原来的表面积是多少平方厘米？
【解析】因为长方体的体积=长×宽×高，根据题意，可以得出长方体的：宽×高=60÷3=20（平方厘米）长×高=60÷4=15（平方厘米）长×宽=60÷5=12（平方厘米）所以长方体的表面积=2（长×宽+长×高+宽×高）=2（12+15+20）=94（平方厘米）
【解答】长方体原来的表面积是94平方厘米。
例6 一个圆柱体的侧面积是50.24平方厘米，高和底面半径相等，这个圆柱体的表面积是多少？
【解析】通常情况下，求圆柱体的表面积需要知道底面半径（或直径、周长）和高，显然这些条件题目中并没有告诉我们。因而，这道题的解决方法并非平时所用的方法。我们可以用字母来表示。用r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱体的侧面积应为：2πrh。因为高与底面半径相等，所以2πrh=2πr2，而2π2正好就是两个底面积。50.24+50.24=100.48（平方厘米）
【解答】这个圆柱体的表面积是100.48平方厘米。
例7 等底、等高的圆柱体和圆锥体的体积相差75.36 立方厘米，已知它们的底面周长是25.12厘米，求它们的高是多少厘米？
【解析】因为当圆柱和圆锥等底、等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，V柱=3V锥，所以它们体积的差就是2个圆锥的体积。根据圆锥的底面周长可以求出圆锥的底面积，从而求出圆锥的高，也就是圆柱的高。因为V柱-V锥=75.36，V柱=3V锥，所以2V锥=75.36，V锥=37.68（立方厘米），S锥=πr2=π（÷2）2=3.14×（÷2）2=50.24（平方厘米），h=3×=3×=2.25（厘米）
【解答】圆柱和圆锥的高是2.25厘米。
例8 从一个棱长10厘米的正方体木块挖去一个长10厘米宽2厘米，高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）
【解析】这道题必须考虑各种情况，根据小长方体挖去的位置不同，可以分以下四种情况，下面画图进行分析。第一种情况：如图A的截取方法，剩下的部分与原正方体相比，只有左右两个面各减少了一个边长为2厘米的小正方形.所以剩下部分的面积应该等于原正方体的表面积减去两个小正方体的面积。10×10×6-2×2×2=592（平方厘米）第二种情况：如图B的截取方法，剩下的部分与原正方体比较，左右面减少了两个边长为2厘米的小正方形，同时截去部分新增加了两个长10厘米、宽2厘米的长方形。所以，剩下部分的面积为：
10×10×6-2×2×2+10×2×2=632（平方厘米）
第三种情况：如图C截取方法，剩下的部分与原正方体比较，前后面各减少一边长为2厘米的正方形，但同时正方体的内部又新增了4个长10厘米、寬2厘米的长方形。所以，剩下部分的面积为：10×10×6-2×2×2+10×2×4=672（平方厘米）第四种情况：如图D截取方法，剩下的部分比原来正方体增加了2个边长为2厘米的正方形和2个长10厘米，宽2厘米的长方形。所以：10×10×6+2×2×2+10×2×2=648（平方厘米）
【解答】剩下部分的面积可能是592平方厘米、632平方厘米、672 平方厘米和648平方厘米。
例9 在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，注有25厘米深的水。现把一段半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形钢材浸没在水中，水桶里的水面升高到多少厘米的位置？
【解析】题中把钢材放入水中后，上升水的体积就等于放进去的钢材的体积。上升的水 可以看作是一个圆柱体，它的底面积就是水桶的底面积。如图所示：
圆柱形钢材的体积：V侧=πr2h=3.14×52×8=628（立方厘米）水面上升的高度：h=V侧+S桶=628÷（3.14×202）=0.5（厘米），0.5+25=25.5（厘米）
【解答】水桶里的水面升高到25.5厘米的位置。
例10 一个圆柱体的底面周长是37.68厘米，从圆柱的底面直径沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆柱体的表面积增加了108平方厘米，求原圆柱体的体积。
【解析】将圆柱体从底面直径沿着高切成两半后，截面部分是一个长方形，表面积增加的部分就是这两个长方形的面积，长方形的一条边是直径，另一条边是高（如图）圆柱体的底面直径d=37.68÷3.14=12（厘米）圆柱体的高：h=108÷2÷12=4.5（厘米）圆柱体的体积：V=πr2h=3.14×（）2×4.5=508.68（立方厘米）
【解答】圆柱体的体积是508.68立方厘米。
例11 求图中物体的体积。
【解析】图中是一个不规则物体，但通过补形，将两个同样大小的物体相拼，可以形成一个圆柱，如图，这时，这个物体的体积是圆柱体积的一半。（单位：厘米）
V=πr2h=3.14×2.52×（6+8）=274.75（立方厘米）则原物体的体积274.75÷2=137.375（立方厘米）
【解答】物体的体积是137.375立方厘米。
例12 一个直角三角形的两条直角边分别长4厘米、3厘米，以其中一条直角边为轴旋转一周， 可得到一个什么形体？它的体积最大是多少？
【解析】将一个直角三角形以其中一条直角边为轴旋转，可以得到一个圆锥体。但是，三角形的直角边有两条，以不同直角边为轴旋转，得到的圆锥体情况也不相同。这里可以旋转得到两种不同情况的圆锥体。（如图）。
从图中可以看出，如果以BC边为轴旋转，得到的圆锥体的底面半径为3厘米，高为4厘米；如果以AB边为轴旋转，得到的圆锥体的底面半径为4厘米、高为3厘米。因为32＜42，所以以AB边为轴旋转得到的圆锥体体积更大。3.14×42×3×=50.24（立方厘米）
【解答】以其中一条直角边为轴旋转一周，可得到一个圆锥体，它的体积最大是50.24平方厘米。
※强化训练※
一、填空题
1.一个立方体的棱长是另一个立方体的。则这两个立方体的表面积之比是（ ）， 体积比是（ ）。
2.用一张边长8分米的正方形纸围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米。
3.右面的图形绕轴旋转一周， 可以得到（ ）。
4.把7个棱长为1厘米的立方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来7个立方体的表面积总和少（ ）平方厘米。
5.一个圆锥的底面半径和高都等于某个立方体的棱长，这个立方体体积是729立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。
6.用丝带捆扎一种礼品盒如下，结头处长20厘米，要捆扎这种礼品盒需准备（ ）分米的丝带比较
二、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
1.圆柱表面积等于底面周长乘以高。（ ）
2.圆锥的底面积越大，它的体积也就越大。（ ）
3.在一个高24厘米的圆柱体形杯子里装满水，如果将这些水倒入与它底面积相等的圆锥体形杯中，水面高8厘米。（ ）
4.一根圆柱形钢材.横截面直径是4厘米，将这根钢材锯成两段，表面积增加了25.12 平方厘米。（ ）
5.把长、宽、高分别是5厘米.4厘米.8厘米的长方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是3.14×（4÷2）2×8=100.48（平方厘米）。（ ）
三、选择题（把正确答案的编号填在括号里）
1.一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高1厘米，它的体积是（ ）立方厘米。
A.6.28 B.9.42 C.28.26 D.12.56
2.一个长方体货仓，长50米，宽30米，高5米，可容纳8立方米的立方体货箱（ ）个。
A.937 B.900 C.750 D.375
3.左图最有可能是（ ）的展开示意图。
4.把一个棱长是8厘米的立方体（如图）切成四个长方体，那么表面积之和比原来增加（ ）平方厘米。
A.8×8 B.8×8×2 C.8×8×3 D.8×8×4
四、综合应用题
1.有一个长方体的蓄水池，池长3.5米，宽1.4米，深2.5米，要在池内的四壁和底面铺上瓷砖，如果每平方米用瓷砖50块，铺完这个水池共要用瓷砖多少块？
2.一段方钢长31.4厘米，横截面是5厘米的正方形，如果把它熔铸成底面半径是10厘米的圆锥体零件，这个零件高多少？
3.一种儿童玩具——陀螺（如图），上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测试，只有当圆柱直径3厘米，高2厘米，圆锥的高是圆柱高的时，才能旋转得又稳又快，试问这个陀螺的体积是多大？（保留整立方厘米）
4.要制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可以供搭配选择。（单位：分米）
（1）你选择的材料是（ ）。
（2）你选择的材料制成水桶的容积是多少升？
※名校冲刺※
一、填空题
1.用铁丝焊成一个长方体框架，求用铁丝的长度是求这个长方体的（ ）。
2.压路机滚动一周能压多少路面是求（ ）。
3.一个直角三角板的两条直角边分别为a，b。以a为轴旋转一周，在你眼前出现一个（ ）体，a是它的（ ），b 是它的（ ）。
4.一个圆柱体的底面半径扩大2倍，高扩大5倍，它的底面直径扩大（ ）倍，周长扩大（ ）倍，底面积扩大（ ）倍 ，侧面积扩大（ ）倍， 体积扩大（ ）倍。
5.一个正方体的棱长和是24厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
6.把一个半径2分米，长1米的圆木，平均截成2段，表面积共增加（ ）平方分米。
7.把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积是圆柱的（ ），是圆锥的（ ）。
8.一个圆锥的体积是2.4立方分米，底面积是2.4平方分米，高是（ ）分米。
9.棱长是a的正方体，切成两个大小不等的长方体，这两个长方体表面积的和是（ ）。
10.把三个同样大小的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是一个小正方体表面积的（ ）。
11.等底等高的圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。
12.圆锥形容器高9厘米，容器中盛满水。如果将水全部倒入与它等底等高的圈柱形容器，则水高（ ）厘米。
13.把一根长32厘米，宽5厘米，厚4厘米的长方体木块最多可以切成（ ）个棱长 4厘米的正方体。
14.把棱长是2分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方分米。
15.一个长方体的长是10厘米，宽是长的70%，高与长的比是3：5.这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
16.等底等高的圆柱和圆锥，已知圆柱的体积比圆锥多8立方分米，圆柱的体积是（ ），圆锥的体积是（ ）。
17.用12个棱长1分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体表面积最小是（ ）平方米，最大是（ ）平方米。
18.一根长1.5米的圆柱体木料，锯掉4分米长的一段后，表面积减少了50.24 平方分米，这根木料原来的体积是（ ）。
19.把一个直径4厘米的圆柱体沿底面直径分成若干等份，然后把西柱切开拼成一个与它等底等高的长方体。这个长方体的表面积增加了40平方厘米，长方体的体积是（ ）立方厘米。
20.一个圆柱体的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的底面半径和高的最简整数比是（ ）。
21.两个完全相同的长方体恰好拼成一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米，如果把这两个长方体拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是（ ）平方厘米。
23.一个圆锥和一个圆柱的体积相等，它们底面半径比是3：2，圆锥的高是8厘米，圆柱的高是（ ）厘米。
24.有一长方体木料，长.宽.高分别为6分米、4分米、8分米，把它加工成体积最大的圆木柱，这个圆木柱的体积是（ ）。
二、判断，对的打“√”，错的打“×”。
1.正方体、长方体、圆柱体、圆锥体都可以用它们各自的底面积乘以高求得体积。（ ）
2.圆锥体体积是圆柱体的。（ ）
3.圆柱体的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，侧面积扩大4倍。（ ）
4.一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相等。（ ）
5.一段圆柱形钢材，削成一个最大的圆锥体，削去部分是原体积的。（ ）
6.把棱长为a厘米的两个正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是原来两个正方体表面积之和的。（ ）
7.如果圆柱和圆锥的体积和高都相等，那么圆锥与圆柱底面积比是3：1。（ ）
8.两个圆柱体侧面积相等，它们的底面积一定也相等。（ ）
9.圆柱体的体积比与它等底等高的圆锥体积大。（ ）
10.一个圆柱体的底面直径是d，高是πd，它的侧面展开图形是正方形。（ ）
三、选择，把正确答案的序号填在括号里。
1.有一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积（ ）。
A.不一定相等 B.一定相等 C.一定不相等
2.一个正方体，如果它的棱长缩小到原来的，那么它的体积缩小到原来（ ）。
A. B. C.
3.一个圆锥的体积是n立方厘米，和它等底等高的圆柱体的体积是（ ）立方厘米。
A.n B.n2 C.3n
4.一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱体和圆锥体的体积比是3：2，圆柱体和圆锥体的高的比是（ ）。
A.1：2 B.1：3 C.3：1 D.2：1
5.一个长方体的长、宽、高依次是a米，6米，h米，如果高增加3米，新的长方体的体积比原来增加（ ）立方米。
A.3 B.3ab C.3abh D.ab（3+h）
6.在下面四个正方体中，（ ）正方体展开后可以得到右面的展开图。
四、填表。
1.
名称 长 宽 高 棱长总和 表面积 体积
长方体 6米 5米 4米
10分米 5分米 100立方分米
4厘米 36厘米 52平方厘米
正方体 棱长2.5厘米
棱长（ ） 150平方分米
2.
已知条件 圆柱体积 圆锥体积
底面积12平方厘米，高6厘米
底面半径4厘米，高1分米
底面直径20厘米，高30厘米
底面周长12.56厘米，高3厘米
五、应用题
1.用一条长108厘米的铁丝，做成一个长方体模型，要求棱长的比为2：3：4。如果每个面都用铁皮包上做成铁盒，这个铁盒的体积是多少？
2.一根长方体木料，长4.5米，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的总面积是7.2平方米。求这根木料的体积是多少？
3.一间长方体房间，长5.2米，宽3米，高2.6米，它的四面墙的下部涂了1.1 米高的油漆（开门处，1平方米不涂），涂油漆的面积有多少平方米？
4.一个圆锥形沙堆，底面积是12.56平方米，高0.9米。把这堆沙子铺入长4.5米，宽2米的沙坑内，可以铺多厚？
5.有一只底面半径为3分米的水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面边长为2分米的长方体铁块。当铁块从水中取出时，桶内的水面下降了5厘米.求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数）
6.一个圆柱形粮囤，从里面量高是5米，底面直径是高的。如果每立方米稻谷约重545千克，这个粮囤能装稻谷多少千克？
7.大厅里有8根圆柱，每根柱子的底面周长是25.12分米，高7米，如果每平方米需要油漆费0.5元，漆这8根柱子，一共需油漆费多少元？
8.一个圆柱，底面积是6平方分米，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是12立方分米，求这个圆柱的高是多少分米？
9.一个长方体，长增加5厘米后就成了正方体，表面积增加了160平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？
参考答案
强化训练
一、1.25：36 125：216
2.64
3.圆柱
4.12
5.763.02
6.14
二、1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√
三、1.B 2.A 3.D 4.D
四、1.1470块
2.7.5厘米
3.18立方厘米
4.（1）1号和3号 （2）62.8升
名校冲刺
一、1.棱长总和
2.圆柱的侧面积
3.锥 高 底面半径
4.2 2 4 10 20
5.24 8
6.25.12
7. 2倍
8.3
9.8a2
10.倍
11.27 9
12.3
13.8
14.6.28
15.344 420
16.12 立方分米 4立方分米
17.32 50
18.188.4立方分米
19.125.6
20.25：157
21.35
23.6
24.113.04 立方分米
二、1.× 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.√ 8.× 9.× 10.√
三、1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 6.C
四、长：1.3厘米 宽：2厘米 高：2分米
棱长总和：60米 68分米
表面积：148平方米 160平方米 7.5平方厘米
体积：120立方米 24立方厘米 3.125立方厘米 125立方分米
棱长：5分米
2.圆柱体积：90立方厘米 502.4立方厘米 9420立方厘米 37.68立方厘米
圆锥体积：30立方分米 167.5立方厘米 3140立方厘米 12.56立方厘米
五、1.648立方厘米
2.0.72立方米
3.17.04平方米
4.约0.42米
5.约3.5分米
6.19252.125千克
7.约70.34元
8.3分米
9.192立方厘米

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