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专题01 集合和常用逻辑用语
【目录】
考点一：集合的基本概念
考点二：集合间的基本关系
考点三：集合的运算
考点四：以集合为载体的创新题
考点五：充分条件与必要条件
考点六：全称量词与存在量词
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
考点要求 考题统计 考情分析
集合的基本概念 2023年上海卷第13题，4分 【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力． （2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用．
集合间的基本关系 2023年II卷第2题，5分2021年上海卷第14题，5分
集合的运算 2023年 I卷第1题，5分2022年I卷第1题，5分 2021年I卷第1题，5分
充分条件与必要条件 2023年天津卷第2题，5分2022年天津卷第2题，5分 2021年甲卷第7题，5分
1、集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
，，，，．
（2）并集的运算性质．
，，，，．
（3）补集的运算性质．
，，，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补补的并”，“并的补补的交”．
2、由个元素组成的集合的子集个数
的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3、容斥原理
．
4、从集合与集合之间的关系上看
设.
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若 ，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
（2023 新高考Ⅱ）
1．设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
（2023 北京）
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023 天津）
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2023 新高考Ⅰ）
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023 乙卷）
5．设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023 甲卷）
6．设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
（2023 上海）
7．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023 天津）
8．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
（2022 浙江）
9．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（2022 天津）
10．“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
（2022 新高考Ⅰ）
11．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2022 新高考Ⅱ）
12．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2022 甲卷）
13．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2022 乙卷）
14．集合，则（ ）
A． B． C． D．
考点一：集合的基本概念
利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）
15．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
例2．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）
16．若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
例3．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）
17．已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
例4．（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）
18．已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）
19．已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
考点二：集合间的基本关系
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
例6．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）
20．设，，则（ ）
A． B． C． D．
例7．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）
21．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．4个 B．8个 C．16个 D．32个
例8．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）
22．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
例9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）
23．集合的真子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
例10．（2023·江苏扬州·高三仪征中学校考开学考试）
24．设，．若，则实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）
25．已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
例12．（2023·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）
26．若集合,则能使成立的所有组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
考点三：集合的运算
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
例13．（2023·安徽滁州·高三校考开学考试）
27．设全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）
28．已知全集为U，集合M，N满足 ，则下列运算结果为U的是（ ）．
A． B．
C． D．
例15．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）
29．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
例16．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）
30．已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）
31．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
例18．（2023·天津静海·高三校考开学考试）
32．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
例19．（2023·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）
33．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
例20．（2023·山西·统考三模）
34．设全集为，集合，，则 .
考点四：以集合为载体的创新题
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意.读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
例21．（2023·全国·高三专题练习）
35．若且,,则称a为集合A的孤立元素．若集合,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
例22．（2023·云南保山·统考二模）
36．定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
例23．（2023·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）
37．十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A． B． C． D．
例24．（2023·安徽蚌埠·统考二模）
38．对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A． B． C． D．
例25．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）
39．对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
例26．（2023·全国·高三专题练习）
40．对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（ ）
A．55 B．76 C．110 D．113
考点五：充分条件与必要条件
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
例27．（2023·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）
41．已知条件，条件，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
例28．（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）
42．若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例29．（2023·江西·校联考模拟预测）
43．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例30．（2023·江苏南通·高三统考开学考试）
44．“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
例31．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）
45．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
考点六：全称量词与存在量词
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词（即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”）.再否定结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当的真假不易判断时，可转化为去判断的真假.
例32．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）
46．命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例33．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考开学考试）
47．已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例34．（2023·全国·高三专题练习）
48．若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例35．（2023·山东·高三校联考阶段练习）
49．给出下列命题
①；②；③；④．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例36．（2023·甘肃酒泉·高三敦煌中学校考阶段练习）
50．命题的否定形式为（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2．A
【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
3．A
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由，而，
所以.
故选：A
4．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
5．A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
6．A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
7．A
【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.
【详解】且，则；且，则，所以.
故选：A
8．B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
9．A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
10．A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，
由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，
综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
11．D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
12．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
13．D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
14．A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
15．B
【分析】根据题意得到，再结合求解即可.
【详解】，，
因为，
当时，为偶数，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，有重复数字，去掉，共有个元素.
综上中元素的个数为个.
故选：B
16．C
【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.
【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得.
故选：C.
17．A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可.
【详解】当，时，，或任意，（舍去）；
当，时，，，不成立，
所以，，.
故选：A.
18．B
【分析】由题意可知，解不等式即可得出答案.
【详解】由集合中恰有两个元素，得，
解得．
故选：B．
19．C
【分析】根据题意列式求得的值，即可得出答案.
【详解】根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故选：C．
20．B
【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.
【详解】解：因为，因为，
所以集合是由所有奇数的一半组成，
而集合是由所有整数的一半组成，故 .
故选：B
21．C
【分析】根据并集、子集的知识求得正确答案.
【详解】因为，，所以，
所以，则的子集共有个.
故选：C
22．A
【分析】根据幂函数定义域和指数函数值域即可求出，再根据集合间关系即可判断.
【详解】根据幂函数的定义域知，则，
根据指数函数的值域知，则，
则，且，故BC错误，，则D错误，
故选：A.
23．A
【分析】由对数函数定义域可求得，根据元素个数即可求出真子集个数.
【详解】根据题意可知，解得；
即，可知集合中含有3个元素，
所以其真子集个数为个.
故选：A
24．C
【分析】解方程可求得集合；根据包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果.
【详解】由得：或，；
当时，，此时满足；
当时，由得：，即，
，或，解得：或；
综上所述：实数组成的集合为.
故选：C.
25．B
【分析】判断出，根据子集的定义对各个选项逐个判断即可求解．
【详解】由图可知，且，非空，
则根据子集的定义可得：
对于，，不正确，
对于，，正确，
对于，，不正确，
对于，，不正确，
故选：．
26．C
【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案.
【详解】当时,即,时成立;
当时,满足,解得;
综上所述:.
故选:C.
27．B
【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.
【详解】全集，集合，
或，
所以，
则．
故选：B．
28．D
【分析】根据 ，结合交并补的运算即可判断选项
【详解】如图，
因为 ，所以，故A错误；
因为，故B错误；
因为 ，所以，故C错误；
因为 ，所以，故D正确.
故选：D
29．A
【分析】结合交集的运算可得.
【详解】由，解得：或，故.
故选：A
30．D
【分析】根据给定条件，借助韦恩图判断ABC；结合集合的包含关系推理判断D作答.
【详解】由是全集的两个非空真子集，，得，
如图，当时，，A错误；

观察图形，，BC错误；
由，得，因此，D正确.
故选：D
31．B
【分析】由题意求出回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答错3道题及以上的人没有奖品，所以最多会有人没有奖品，由此可求得答案.
【详解】解：由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．
由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，
故最多会有人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
32．C
【分析】根据集合的运算法则计算．
【详解】由已知，
，．
故选：C．
33．B
【分析】根据指数函数和对数函数单调性解不等式可得集合，再由交集、补集运算即可求出结果.
【详解】由可得；
由可得，即知；
因此.
故选：B
34．
【分析】利用集合交集和补集的运算即可得答案.
【详解】因为，
所以，
又因为
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，属于基础题.
35．C
【分析】利用组合数结合古典概型公式求解.
【详解】集合的三元子集个数为，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为
，一共35种，
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
故选：C．
36．A
【分析】由集合的新定义计算即可.
【详解】由题设知，
所有元素之和为，
故选：A.
37．C
【分析】根据题意依次写出即可.
【详解】第一次操作剩下：；
第二次操作剩下：；
第三次操作剩下：；
即从左到右第四个区间为.
故选：C.
38．D
【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论.
【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，
故选：D.
39．A
【分析】结合新定义可知，求得，进而根据补集的定义求解即可.
【详解】结合新定义可知，又，
所以．
故选：A
40．C
【分析】根据集合的特征列出集合与的前若干项，找出集合中元素的特征，进而即可求解.
【详解】因为，
所以，所以．相当于集合中除去形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以．
则，
故选：C.
41．C
【分析】解不等式，解集分别为A，B，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由或，不妨设，
或，不妨设，
因为B真包含于A，所以推不出，能推出，
所以是的必要不充分条件.
故选：C
42．B
【分析】根据向量的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“”和“向量的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】向量，由向量的夹角为钝角，
即有，解得且，
即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”；
“向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”；
故“”是“且”的必要不充分条件，
即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
43．B
【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案.
【详解】由条件，解得或；
因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
故是或的真子集，
则的取值范围是，
故选：B．
44．A
【分析】根据对数函数的单调性和定义域判断充分性和必要性即可.
【详解】可得，则，但是当时，，有可能小于零，此时不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
45．B
【分析】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.
【详解】∵，则，即，
∴a的取值范围
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为的真子集，
结合选项可知B对应的集合为为的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故选：B.
46．C
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p的否定形式.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为，．
故选：C．
47．B
【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】命题为真命题等价于不等式有解．
当时，不等式变形为，则，符合题意；
当时，，解得；
当时，总存在，使得；
综上可得实数的取值范围为．
故选：B
48．C
【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可.
【详解】若“，使成立”的否定是：
“，使”为真命题，
即；令，
由，得，所以，
所以，
故选：C.
49．C
【分析】根据全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐个判定，即可求解.
【详解】①中，由不等式恒成立，所以命题为真命题；
②中，当时，此时，所以命题为假命题；
③中，当时，此时成立，所以命题为真命题；
④中，由，可得，所以命题为真命题．
故选：C.
50．B
【分析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论.
【详解】因为命题的否定形式为：
，
故选：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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