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第三单元 长方体和正方体
知识点一：长方体和正方体的认识
1、长方体和正方体的特征。
2、正方体可以堪称长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。
3、认识长方体和正方体的展开图。
4、正方体和长方体的关系。
知识点二：长方体和正方体的表面积
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。
3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。
用字母表示:S=6a2。
知识点三：长方体和正方体的体积
1、体积单位
（1）物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。
棱长是1cm的正方体，体积是1cm3;
棱长是1dm的正方体，体积是1dm3;
棱长是1m的正方体，体积是1m3。
2、体积计算公式
（1）长方体的体积=长×宽×高。
用字母表示:V=abh。
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
用字母表示:V=a3。
知识点四：体积单位间的进率
体积单位换算：1立方分米=1000立方厘米　1立方米=1000立方分米
相邻的两个体积单位间的进率是1000。
知识点五：容积单位
1、容积单位
（1）容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
（2）计量容积，一般用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写作L或mL。
（3）容积单位的换算:1升=1000毫升
容积单位和体积单位的关系:1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
考点1 长方体和正方体的认识
1．要用同样的小正方体木块摆成一个稍大的正方体，至少要用（ ）个小正方体木块。
A．4 B．8 C．27 D．64
2．和a相交并垂直的棱有（ ）。
A．b、c B．g、h C．i、e D．e、d
3．一个长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm，这个长方体的棱长总和是（ ）cm。
4．一个长方体的棱长和是160厘米，它的长、宽、高之和是（ ）厘米。
5．有一个正方体框架，棱长是4分米，把它改装成一个长方体框架，已知长方体的长是0.6米，宽是2分米，高是多少米？
6．心灵手巧的小美要用一根长10m的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？
考点2 统长方体和正方体的表面积
1．一个无盖正方体水箱，棱长是5分米，做10个这样的水箱，至少需要铁皮（ ）平方米。（不考虑接缝处）
A．1.5 B．15 C．1.25 D．12.5
2．如图，把一个长方体切去一个小正方体，剩下图形的表面积与原长方休表面积相比较，（ ）。
A．增加了 B．减少了 C．不变
3．把三个棱长的正方体拼成一个长方体，表面积会减少（ ），这个长方体的棱长总和是（ ）。
4．用棱长是1厘米的小正方体拼成下侧的大正方体，然后把它的表面涂色，没有涂色的小正方体共有（ ）块。
5．楼房外壁用于流水的水管是长方体．如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米．做一节水管，至少要用铁皮多少平方分米？
6．如图，小明的卧室是一个长方体，长5米，宽4米，高2.7米，卧室有一扇门与客厅相通，门高2米，宽1米，在另一面墙上距地面1米处有一个长1.5米，高1米的窗子。现在要对卧室进行如下装修。
（1）给地面铺上的地砖，每块地砖的价格是16元，买地砖需多少元？
（2）从地面向上给四周的墙壁贴上1米高的木板，需木板多少平方米？
考点3 体积和体积单位
1．一个正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍。
A．2，16 B．4，8 C．8，16 D．16，2
2．把长20cm、宽3cm、高5cm的礼盒装到长60cm、宽3cm、高15cm的箱子里，最多装（ ）盒。
A．4 B．6 C．8 D．9
3．一个长方体的体积是43.2dm3，底面积是12dm2，高是（ ）dm。
4．小红用几个棱长为1dm的正方体摆了一个立体图形，下面是从不同方向看到的图形，这个立体图形的体积是（ ）dm3。
5．学校要修建一个长80米，宽60米，深15分米的蓄水池。
（1）如果要在水池的四壁和底面抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）如果在池中放入1.2米深的水，池内的水是多少立方米？
6．游泳池的长为225米，宽为10米，深为1.6米。
（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）如果在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少平方米？
（3）游泳池的体积是多少立方米？
考点4 体积单位间的进率
1．一个长方体正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体，这个长方体的表面积是（ ）。
A．108平方厘米 B．54平方厘米 C．90平方厘米 D．99平方厘米
2．在2.07、2070、207000和2070000立方厘米中，（ ）与其余几个数不同。
A．2.07 B．2070 C．207000 D．2070000
3．把1立方米的正方体切割成1立方厘米的正方体，排成一排长（ ）千米。
4．25立方分米50立方厘米=（ ）立方分米=（ ）立方厘米 3.26立方米=（ ）立方米（ ）立方分米
5．一个无盖的鱼缸，长1.2m，宽80cm，高6dm，这个鱼缸可以放多少立方分米的水？
6．有一个长60厘米，宽50厘米的长方体水缸，把买的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。这个西瓜的体积是多少立方分米？
考点5 容积和容积单位
1．小军用体积是4dm3的小正方体木块测量了下图中三个盒子的容积，（ ）盒子的容积最大。
A．① B．② C．③ D．同样大
2．一桶调和油净含量是5L，5L指的是油桶的（ ）。
A．表面积 B．体积 C．容积 D．质量
3．做一个长为8分米，宽为4分米，高为3分米的玻璃容器（无盖），至少需要玻璃（ ）平方分米，最多可装水（ ）升。
4．一个长方体的无盖铁皮水箱，长0.8米，宽0.65米，高0.6米。做这个水箱至少需要铁皮（ ）平方米。如果每升水重1千克，这个水箱最多能装水（ ）千克。（铁皮厚度不计）
5．一种汽车的油箱从里面量长是8dm，宽是3dm，高是2.5dm。
（1）这个油箱最多能装汽油多少升？
（2）如果一辆这样的汽车平均每千米的耗油量是0.08L，这箱汽油最多可以供汽车行驶多少千米？
6．一个长方体玻璃容器，从里面量长为3dm，宽为2dm，高为2dm，向容器中倒入7.5L水，再把一个苹果放入水中（完全浸没），这时测得容器内水面的高度是13.4cm。这个苹果的体积是多少？
参考答案
考点一
1．B
【分析】
小正方体拼组大正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，据此解答。
【详解】
2×2×2
＝4×2
＝8（个）
至少要用（8）个小正方体木块。故答案选：B。
【分析】
本题考查正方体的拼组，掌握正方体每条棱都相等是解题的关键。
2．A
【分析】
要判断哪条棱和a相交并垂直，则看哪条棱与a相交成直角；据此解答即可。
【详解】
和a相交并垂直的棱有b、c。
故答案为：A。
【分析】
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
3．36
【分析】
根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等。长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，把数据代入棱长总和公式解答即可。
【详解】
（4＋3＋2）×4
＝9×4
＝36（厘米）
答：这个长方体的棱长总和是36厘米。
故答案为36。
【分析】
此题考查的目的是掌握长方体的特征及棱长总和公式。
4．40
【解析】
160÷4=40（厘米）
【分析】长方体12条棱长的总长度，12条棱分别为：4条长，4条宽，4条高。长、宽、高之和应该是总棱长÷4，即可。
5．0.4米
【分析】
把正方体框架改成长方体框架，用的材料不变，也就是框架的棱长总和不变。正方体的12条棱都一样长，先求出正方体的棱长和，然后再根据长方体的棱长的特征和已知的长宽，求出长方体框架的高。
【详解】
0.6米＝6分米
[4×12－（6＋2）×4]÷4
＝（48－32）÷4
＝16÷4
＝4（分米）
＝0.4（米）
答：长方体框架的高是0.4米。
【分析】
本题考查正方体和长方体的棱长特征，明确棱长和不变是解答此题的关键，同时需要注意单位的变换。
6．9个
【分析】
先求出一个礼盒需要的长度＝长方体的两条长＋两条宽＋四条高＋结头处长度，再用总长度除以一个礼盒需要的长度即可计算出结果。
【详解】
10米＝1000厘米
15×2＋2×10＋4×6＋30
＝30＋20＋24＋30
＝104（厘米）
1000÷104＝9（个）……64（厘米）
答：这根绳子最多可捆扎9个这样的礼盒。
【分析】
主要利用长方体棱长解决实际问题，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。
考点二
1．D
【详解】
做这个水箱至少需要多少平方米铁皮，即求正方体五个面的面积，缺少上面，求出一个表面积再乘10，解答即可。
（平方分米）平方米。
故选D。
2．C
【分析】
观察可知，切去一个小正方体后，表面积减少了3个小正方形，里面又多出来同样的3个小正方形，所以表面积不变，据此分析。
【详解】
根据分析，剩下图形的表面积与原长方休表面积相等，表面积不变。
故答案为：C
【分析】
关键是观察图形特点，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
3．16 40
【分析】
根据题意可知，三个棱长2cm的正方体拼成一个长方体后，减少了4个面，一个面的面积可求，进而求出减少的面的面积；拼成的长方体，长方体的长和宽等于正方体的棱长，高是正方体的棱长的3倍，即（3×2）cm，即可求出长方体的棱长总和。
【详解】
减少的面：
2×2×4
＝4×4
＝16（平方厘米）
棱长总和：
（2＋2＋3×2）×4
＝（2＋2＋6）×4
＝（4＋6）×4
＝10×4
＝40（厘米）
【分析】
解答本题的关键是正方体拼成长方体后，减少了4个面。
4．27
【分析】
一面涂色的在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间和三面涂色的处在顶点上，六个面都没有色的小正方体处在大正方体的中心；三面涂色的8个顶点上；一面涂色的＝每个面上的个数×6，两面涂色的＝每条棱上的个数×12，六个面都没色的＝总个数－一面涂色的个数－两面涂色的个数－三面涂色的个数；据此解答。
【详解】
由图意可知：三面涂色的块数有8块；两面涂色的块数36块； 一面涂色的块数54块，
没有涂色的块数有：
5×5×5－8－36－54
＝125－8－36－54
＝27（块）
【分析】
本题关键是理解：六个面都没有色的小正方体处在大正方体的中心，一面涂色的处在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间和三面涂色的处在顶点上。
5．48平方分米
【分析】
水管没有上下底面，应该求4个面的面积．
【详解】
15×1×2+15×0.6×2
=30+18
=48（平方分米）
答：做这样一节水管至少要用48平方分米铁皮．
6．（1）1280元
（2）17m2
（3）510元
【分析】
（1）先求出长方体底面积，用底面积÷一块地砖面积，求出地砖块数，用块数×每块价格即可；
（2）将木板展开是一个长方形，求出底面周长，减去门的宽度，再乘木板高度即可；
【详解】
（1）5×4＝20（平方米）＝200000（平方厘米）
200000÷（50×50）
＝200000÷2500
＝80（块）
80×16＝1280（元）
答：买地砖需1280元。
（2）（5＋4）×2－1
＝9×2－1
＝18－1
＝17（米）
17×1＝17（平方米）
答：需木板17平方米。
【分析】本题考查了长方体表面积，关键是想清楚需要求的是哪些部分的面积，完整的长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
考点三
1．B
【分析】
正方体棱长扩大几倍，表面积扩大倍数×倍数，体积扩大倍数×倍数×倍数。
【详解】
2×2＝4、2×2×2＝8
故答案为：B
【分析】
正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。
2．D
【分析】
箱子的长宽高分别是礼盒长宽高的倍数，根据长方体体积＝长×宽×高，分别求出箱子和礼盒体积，用箱子体积÷礼盒体积即可。
【详解】
60×3×15÷（20×3×5）
＝2700÷300
＝9（盒）
故答案为：D
【分析】
关键是掌握和灵活运用长方体体积公式。
3．3.6
【分析】
可依据“高＝长方体体积÷底面积”来计算这个长方体的高。
【详解】
43.2÷12＝3.6（分米）
【分析】
要能够灵活地将公式“长方体体积＝底面积×高”加以变形，考查了学生对于长方体体积公式的理解和掌握。
4．6
【分析】
观察这个图形的三视图可得：这个图形有2列、2行、2层，下层是4个正方体，上层是2个正方体，所以一共有4＋2＝6个小正方体，每个小正方体的体积是1立方厘米，由此即可解答。
【详解】
由分析可得：这个几何体的体积是6立方厘米。
【分析】
此题考查了从不同方向观察物体和几何体，根据三视图来确定几何体；锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力。
5．（1）5220平方米
（2）5760立方米
【分析】
（1）根据题意可知，水池的前后面、左右面和底面涂抹水泥，共5个面积，据此列式解答即可，要注意高的单位是分米，先进行单位换算；（2）池内的水也为长方体形，底面积即为水池的底面积，再根据体积＝底面积×高解答即可。
【详解】
（1）15分米＝1.5米；
＝4800＋420
＝5220（平方米）；
答：抹水泥的面积是5220平方米。
（2）
＝4800×1.2
＝5760（立方米）；
答：池内的水是5760立方米。
【分析】
熟练掌握长方体的表面积和体积计算公式是解答本题的关键。
6．（1）2250平方米（2）752平方米（3）3600立方米
【分析】
（1）求游泳池的占地面积即是求泳池的底面积；
（2）贴瓷砖的面积为泳池的四个侧面的面积加1个底面积；
（3）泳池的体积＝225×10×1.6＝3600（立方米）；据此解答。
【详解】
（1）225×10＝2250（平方米）
答：这个游泳池的占地面积是2250平方米。
（2）225×1.6×2＋10×1.6×2＋2250
＝360×2＋16×2＋2250
＝720＋32＋2250
＝3002（平方米）
答：贴瓷砖部分的面积是3002平方米。
（3）225×10×1.6
＝2250×1.6
＝3600（立方米）
答：游泳池的体积是3600立方米。
【分析】
本题考查了长方体的表面积以及体积的应用，关键是要掌握长方体的表面积与体积公式，并灵活运用。
考点四
1．C
【分析】
由题意可知：长方体切成两个正方体，正方体的棱长是长方体长的一半，由此可知原来长方体的长是3厘米×2，宽是3厘米，高是3厘米，根据长方体的表面积公式＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）代入即可。
【详解】
长方体的长：3×2＝6（厘米）
2×（6×3＋6×3＋3×3）
＝2×（18＋18＋9）
＝2×45
＝90（平方厘米）
故答案为：C
【分析】
本题主要考查长方体表面积的计算方法灵活运用。
2．C
3．10
【分析】
1立方米＝1000000立方厘米，由此可以得出能够分成1000000个1立方厘米的小正方体；1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米，把这些小正方体排成一排，总长度是1×1000000＝1000000厘米，就是10千米。
【详解】
1立方分米＝1000000立方厘米
所以小正方体个数：1000000÷1＝1000000（个）
1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米
则总长度是1×1000000＝1000000（厘米）
1000000厘米＝10千米
答：把这些小正方体排成一排，一共长10千米。
故答案为：10。
【分析】
利用大正方体的体积除以小正方体的体积即可求出切割出的小正方体的总个数，即可解决问题。
4．25.05 25050 3 260
5．1.2m=12dm
80cm=8dm
V=abh
=12×8×6
=576（dm3）
答：这个鱼缸可以放576dm3的水。
6．9立方分米
【分析】
把买的西瓜完全浸入在水里，西瓜占据了水缸内水的一部分空间，因此水面上升，已知水面上升了3厘米，西瓜的体积就是水面上升3厘米的水的体积，根据长方体的体积公式V=abh列式解答即可。
【详解】
60×50×3＝9000（立方厘米）
9000立方厘米＝9立方分米
答：这个西瓜的体积是9立方分米。
【分析】
此题属于长方体体积的实际应用，直接根据长方体的体积公式解决问题，解答时要注意题干单位。
考点五
1．B
【分析】
要测量图中三个盒子的容积，题目选用的办法是用小正方体来度量，故只要数出三个盒子长、宽、高分别为几个小正方体的棱长，依据长方体体积（容积）公式：V＝长×宽×高，就可以比较盒子容积的大小。
【详解】
A．长、宽、高分别为3、2、3个小正方体的棱长，故体积可以看作由3×2×3＝6×3＝18（个）小正方体构成；
B．长、宽、分别为3、3、3个小正方体的棱长，故体积可以看作由3×3×3＝9×3＝27（个）小正方体构成；
C．长、宽、高分别为3、3、2个小正方体的棱长，故体积可以看作3×3×2＝9×2＝18（个）小正方体构成。
18＜27
故答案为：B。
【分析】
灵活运用长方体体积公式，求出了三个盒子分别是多少个小正方体，比较得出结果。
2．C
【分析】
容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，据此分析。
【详解】
一桶调和油净含量是5L，5L指的是油桶内部油的体积，所以5L指的是油桶的容积。
故答案为：C
【分析】
求物体的容积必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。
3．104 96
【分析】
这个长方体的玻璃容器表面由五个长方形组成，缺少上面，计算出这5个面的总面积即可；
最多可装水多少升，根据长方体的体积＝长×宽×高，计算即可。
【详解】
8×4＋8×3×2＋3×4×2
＝32＋48＋24
＝104（平方分米）
8×4×3＝96（立方分米）
96立方分米＝96升
至少需要104平方分米的玻璃，最多可装水96升。
【分析】
此题考查长方体表面积、体积的实际应用，在计算时要注意玻璃容器只有5个面。
4．2.26 312
【分析】
已知长方体的长、宽、高，求无盖长方体的表面积，用公式：无盖长方体的表面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽；要求长方体的体积，用公式：长方体的体积＝长×宽×高，据此求出体积，然后用体积乘每升水的质量即可求出总质量。
【详解】
（0.8×0.6＋0.65×0.6）×2＋0.8×0.65
＝（0.48＋0.39）×2＋0.8×0.65
＝0.87×2＋0.8×0.65
＝1.74＋0.52
＝2.26（平方米）；
0.8×0.65×0.6
＝0.52×0.6
＝0.312（立方米）
＝312（升）；
312×1＝312（千克）；
【分析】
熟练掌握长方体的表面积和体积计算公式是解答本题的关键。
5．（1）60升；（2）750千米
【分析】
（1）根据长方体体积＝长×宽×高，求出容积即可；
（2）用油箱容积÷平均每千米耗油量即可。
【详解】
（1）8×3×2.5＝60（立方分米）＝60（升）
答：这个油箱最多能装汽油60升。
（2）60÷0.08＝750（千米）
答：这箱汽油最多可以供汽车行驶750千米。
【分析】
关键是掌握长方体体积公式，理解数量关系。
6．0.54dm3
【分析】
1分米＝10厘米，13.4厘米＝1.34分米。水和苹果的总体积为：3×2×1.34，减去水的体积即可求出苹果的体积，1升＝1立方分米。
【详解】
13.4cm＝1.34dm
3×2×1.34－7.5
＝8.04－7.5
＝0.54（dm3）
答：这个苹果的体积是0.54dm3。
【分析】
此题考查不规则物体的体积的求法，“排出去的水的体积”就是不规则物体的体积。

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