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专题02 不等式与复数
【目录】
考点一：基本不等式二元式
考点二：和式与积式
考点三：柯西不等式二元式
考点四：齐次化与不等式最值
考点五：复数的四则运算
考点六：复数的几何意义
有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5分，考题难度为低档.
考点要求 考题统计 考情分析
基本不等式 2023年上海卷第6题，4分2022年上海卷第14题，5分 2022年新高考II卷第12题，5分 2021年上海卷第16题，5分 2023年天津卷第13题，5分 【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题；预测2024年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，其中复数的除法运算、共轭复数及复数的几何意义是最可能出现的命题角度！
复数的四则运算 2023年新高考I卷第2题，5分2023年新高考甲卷第2题，5分 2023年新高考乙卷第1题，5分 2022年新高考II卷第2题，5分
复数的几何意义 2023年新高考II卷第1题，5分2023年上海卷第11题，5分 2022年新高考乙卷第2题，5分
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．
特例：（同号）．
（3）其他变形：
①（沟通两和与两平方和的不等关系式）
②（沟通两积与两平方和的不等关系式）
③（沟通两积与两和的不等关系式）
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立．
4、对复数几何意义的理解及应用
（1）复数，复平面上的点及向量相互联系，即；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
（2022 上海）
1．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2021 乙卷）
2．下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
（2021 上海）
3．已知两两不相等的x1，y1，x2，y2，x3，y3，同时满足①x1＜y1，x2＜y2，x3＜y3；②x1+y1＝x2+y2＝x3+y3；③x1y1+x3y3＝2x2y2，以下哪个选项恒成立（ ）
A．2x2＜x1+x3 B．2x2＞x1+x3 C．x22＜x1x3 D．x22＞x1x3
（2023 新高考Ⅰ）
4．已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
（2023 新高考Ⅱ）
5．在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023 甲卷）
6．（ ）
A． B．1 C． D．
（2023 乙卷）
7．（ ）
A．1 B．2 C． D．5
（2022 新高考Ⅱ）
8．（ ）
A． B． C． D．
（2022 甲卷）
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2022 乙卷）
10．已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
（2022 新高考Ⅰ）
11．若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
（2021 甲卷）
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2021 新高考Ⅰ）
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2021 新高考Ⅱ）
14．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2021 乙卷）
15．设，则（ ）
A． B． C． D．
（多选题）
（2022 新高考Ⅱ）
16．若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023 上海）
17．已知正实数a、b满足，则的最大值为 ．
（2021 天津）
18．若，则的最小值为 ．
（2023 上海）
19．设且，满足，则的取值范围为 ．
考点一：基本不等式二元式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
不等式可变形为：或，其中．
（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）
例1．
20．已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
（2023·山西太原·高三统考期中）
例2．
21．已知（，且），，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）
例3．
22．实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）
例4．
23．已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点二：和式与积式
已知式 目标式 方法选取
和式 积式 基本不等式
积式 和式 基本不等式
和式 和式 柯西不等式
积式 积式 柯西不等式
（多选题）
（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）
例5．
24．已知a，b为正实数，且，则（ ）
A．ab的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
（多选题）
（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）
例6．
25．已知，，则（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
（多选题）
（2023·湖北·高三校联考期中）
例7．
26．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
（多选题）
（2023·广东佛山·统考一模）
例8．
27．已知，，且，则（ ）
A．的最小值是1 B．的最小值是
C．的最小值是4 D．的最小值是4
（多选题）
（2023·新疆·高三校联考期中）
例9．
28．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
考点三：柯西不等式二元式
设，，，，有 当且仅当时等号成立．
（2023·全国·高三专题练习）
例10．
29．已知，且，则的最小值是
（2023·浙江台州·高三统考期末）
例11．
30．已知正实数满足，则的最小值为 ．
（2023·天津南开·高三统考期中）
例12．
31．已知正实数a，b满足，则的最小值为 .
（2023·浙江宁波·高三镇海中学校考开学考试）
例13．
32．若非负实数a，b，c的和为1，则的最小值是 .
考点四：齐次化与不等式最值
关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。
（2023·陕西咸阳·高二统考期中）
例14．
33．已知（），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·重庆·高三校联考阶段练习）
例15．
34．对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）
例16．
35．已知，，，则的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．
（2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）
例17．
36．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．
C． D．
（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）
例18．
37．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）
例19．
38．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东青岛·高一统考开学考试）
例20．
39．已知，，，则（ ）
A．S的最大值是 B．S的最大值是
C．S的最大值是 D．S的最大值是
考点五：复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）
例21．
40．已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
（2023·全国·模拟预测）
例22．
41．（ ）
A．2 B． C． D．
（2023·浙江·统考一模）
例23．
42．若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江杭州·高三统考期中）
例24．
43．设复数（i为虚数单位），则（ ）
A． B．0 C． D．2
（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）
例25．
44．已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
考点六：复数的几何意义
复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
（2023·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）
例26．
45．若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023·山西·校考模拟预测）
例27．
46．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
（2023·青海西宁·高三统考开学考试）
例28．
47．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）
例29．
48．设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（ ）
A．+i B．+i C．i D．i
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
2．C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
3．A
【分析】设，，，根据题意，则有，可得，通过求解，可得，可得A正确，B错误；利用作差法可得，而上面已证，因无法知道的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断CD，即可得解.
【详解】设，，，，
根据题意，应该有，
且，则有，
则，
因为，
所以，
所以A项正确，B错误；
，而上面已证，
因为不知道的正负，所以该式子的正负无法恒定，CD无法判断.
故选：A.
4．A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
5．A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
6．C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
7．C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
8．D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
9．C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
10．A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
11．D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
12．B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
13．C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
14．A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
15．C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
16．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
17．
【分析】由，代入即可得出答案.
【详解】，
当且仅当“”，即时取等，
所以的最大值为.
故答案为：
18．
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
19．
【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围.
【详解】设，
，则，
所以，
，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.
，对应点为，
与关于对称，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示与两点间的距离，
圆与圆相交，圆心距为，如图所示，
所以的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为.
故答案为：
20．A
【分析】根据已知条件，应用基本不等式求的最大值，注意取值条件.
【详解】，当且仅当时取等号.
即的最大值为.
故选：A
21．D
【分析】直接根据指数幂的运算性质或结合基本不等式来逐一验证每一个选项即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，首先，所以由基本不等式有，但是由于的单调性不能确定，故不能比较大小，故C错误；
对于D，由于，所以由基本不等式可得，故D正确.
故选：D.
22．D
【分析】用已知条件消元后用基本不等式即可.
【详解】因为，
所以
所以，当且仅当取等号
故选：D．
23．B
【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
又因为，且函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
对任意的正数、，满足，则，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
24．ABC
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
则，
解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确；
，
当且仅当，即时取等号，C正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．
故选：ABC
25．BCD
【分析】根据基本不等式即可求解BD，由乘“1”法即可求解A,代换后利用二次函数的性质即可求解C.
【详解】对于A，，，当且仅当，即取等号，故A错误，
，当且仅当，即取等号，故B正确，
，故当时，取到最小值，此时，满足题意，故C正确，
，当且仅当，即时等号成立，所以D正确
故选：BCD
26．ABC
【分析】利用基本不等式及对数的运算性质判断A，利用基本不等式及对数函数的性质判断B，利用乘“1”法及基本不等式判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】因为，，且，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
易知，即，所以，
所以，故，当且仅当时取等号，故B正确；
因为，又，所以，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
因为，，且，所以，
当且仅当时取等号，又，
所以，故D错误.
故选：ABC
27．BC
【分析】利用基本不等式可以判断选项ACD的真假，利用二次函数可以判断选项B的真假.
【详解】对于A，由，得，当且仅当等号成立，A错误；
对于B，由，，
当且仅当时，的最小值是，故B正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当，时等号成立，故D错误，
故选:BC.
28．ACD
【分析】根据题意结合不等式，以及运算求解.
【详解】对于选项A、B：由，整理得，
因为，当且仅当时，等号成立，
即，解得，
故A正确，B错误；
因为，整理得，
对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，
即，解得，故C正确；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
即，解得，故D正确；
故选：ACD.
29．36
【分析】应用柯西不等式可得，注意等号成立条件，即可得目标式的最小值.
【详解】由 ，
所以，当且仅当，即时取等号．
故答案为：36
30．##0.5
【分析】由柯西不等式的二元形式即可求得最小值.
【详解】由柯西不等式
而，所以时等号成立，
故答案为：.
31．##
【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，则，
又，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故答案为：.
32．2
【分析】先根据对称性求出最小值，再利用不等式，其中，，（将该不等式两边平方，其等价于，证明结论成立即可．
【详解】由于非负实数，，的和为1，即，
根据对称性知，当时，，即取得最小值为2，
不妨设，，，，，，
则，，
此时，
利用不等式，得，
要证不等式成立，只需证明，
两边平方，化简得，由柯西不等式知该不等式成立，
所以不等式成立，当且仅当或其中一个为1、其余两个为0时等号成立．
所以的最小值为2．
故答案为：2．
33．A
【分析】依题意可得，又，即可得到，从而得到，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值是；
故选：A
34．B
【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值.
【详解】由题设，令，则，
所以，在上恒成立，
当，则，不满足题设；
当，对称轴为，只需，可得.
综上，，故整数的最小值为2.
故选：B
35．A
【分析】构造齐次式结合基本不等式计算即可.
【详解】∵，，，
∴，
当且仅当，即时取得等号.
故选：A
36．D
【分析】由于，所以，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为，，，
所以原式
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
37．D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.
故选：D.
38．B
【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值．
故选：B
39．B
【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值.
【详解】∵，
令，
∵，，则，当且仅当，即时等号成立，
故，可得，
又∵在上单调递增，则，
∴，即S的最大值是.
故选：B.
40．A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求其模.
【详解】因为，
所以.
故选：A
41．B
【分析】利用复数的乘方及乘法运算求解即得.
【详解】.
故选：B
42．A
【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.
【详解】由，
所以.
故选：A
43．B
【分析】先化简，进而求得，进而根据复数的模的公式计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：B.
44．D
【分析】利用复数的除法运算直接求解即可.
【详解】由题意得．
故选：D．
45．A
【分析】先化简复数，然后求其共轭复数，再根据复数的几何意义求解即可.
【详解】在复平面上对应的点为，该点在第一象限，
故选：A.
46．B
【分析】利用复数的运算法则求出，根据复数的几何意义得出答案.
【详解】由题意可得，
则复数在复平面内对应的点为，该点位于第二象限.
故选：B.
47．A
【分析】根据复数乘除法运算化简求出复数再判断所在象限即可.
【详解】因为，所以，
在复平面内复数对应的点为，位于第一象限．
故选:A．
48．A
【分析】复数的模转化为距离，是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案．
【详解】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，
要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点．
点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以．
故对应的复数为．
故选：A
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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