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专题04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称性解决函数性质问题
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从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
考点要求 考题统计 考情分析
函数的性质 2023年新高考II卷第4题，5分2023年新高考I卷第4题，5分 2022年乙卷第12题，5分 2022年新高考II卷第8题，5分 2021年甲卷第12题，5分 2021年新高考II卷第8题，5分 【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力． （2）热点是单调性、奇偶性、对称性结合在一起．
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
（2023 新高考Ⅱ）
1．若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
（2023 新高考Ⅰ）
2．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023 乙卷）
3．已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
（2022 乙卷）
4．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
（2022 新高考Ⅱ）
5．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
（2021 甲卷）
6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2021 新高考Ⅱ）
7．已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2020 新课标Ⅱ）
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023 甲卷）
9．若为偶函数，则 ．
（2023 全国）
10．为上奇函数，，， ．
（2021 新高考Ⅰ）
11．已知函数是偶函数，则 .
考点一：函数单调性的综合应用
例1．
（2023·河南新乡·统考一模）
12．已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例2．
（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）
13．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例3．
（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）
14．已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例4．
（2023·江苏镇江·高三统考期中）
15．已知，，，.则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
例5．
（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）
16．若，则（ ）
A． B．
C． D．
考点二：函数的奇偶性的综合应用
例6．
（2023·广东惠州·高三校考阶段练习）
17．已知函数满足：对任意的，，，且是上的偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例7．
（2023·江西萍乡·高三统考期中）
18．定义在上的偶函数满足：对任意，有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例8．
（2023·江苏连云港·高三统考阶段练习）
19．已知函数，若对任意，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9．
（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）
20．已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例10．
（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）
21．已知函数,则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
考点三：已知f(x)=奇函数+M
例11．
（2023·山西大同·高三统考阶段练习）
22．函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．与m值有关
例12．
（2023·全国·高三专题练习）
23．已知函数在上的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例13．
（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）
24．已知，若，则等于（ ）
A． B． C．0 D．1
例14．
（2023·广西桂林·统考一模）
25．是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
例15．
（2023春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）
26．已知关于的函数在上的最大值为M，最小值N，且，则实数t的值是（ ）
A．674 B．1011 C．2022 D．4044
考点四：利用轴对称解决函数问题
例16．
（2023·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）
27．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例17．
（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）
28．函数满足：对，都有，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例18．
（2023·全国·高三竞赛）
29．函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（ ）
A．3 B． C． D．
例19．
（2023·全国·高三专题练习）
30．设函数，则不等式的解集为（ ）
A．(0，2] B．
C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞)
例20．
（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）
31．已知函数，则的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五：利用中心对称解决函数问题
例21．
（2023·陕西汉中·高三校联考期中）
32．已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A．0 B．m C． D．
例22．
（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）
33．已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例23．
（2023·北京通州·高一统考期中）
34．我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
例24．
（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）
35．设函数的定义域为D，，，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．利用对称中心的上述定义，研究函数，可得到（ ）
A．0 B．2023 C．4046 D．4047
例25．
（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）
36．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
例26．
（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）
37．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
例27．
（2023·全国·模拟预测）
38．已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
例28．
（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）
39．已知函数是定义域为的非常数函数，为偶函数，，则（ ）
A．函数为偶函数 B．关于点中心对称
C． D．的最小正周期为4
例29．
（2023·四川·高三校联考阶段练习）
40．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
例30．
（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）
41．已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，，，则正确的有（ ）
①；②；③；④.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
考点七：类周期函数
例31．
（2023·四川·高三阶段练习）
42．定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
例32．
（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）
43．定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例33．
（2023·全国·高三专题练习）
44．定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例34．
（2023·全国·高三专题练习）
45．已知定义域为R的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前n项和的值为（ ）
A． B． C． D．
考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
例35．
（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）
46．已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．是上的偶函数
D．函数有6个零点
例36．
（2023·河南·高三校联考阶段练习）
47．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．的图象关于直线对称
C． D．
例37．
（2023·江西·高三校联考阶段练习）
48．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ）
A． B． C． D．
例38．
（2023·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）
49．已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例39．
（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期中）
50．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A．是奇函数
B．
C．的值域是
D．方程在区间内恰有1518个实数解
考点九：函数性质的综合
例40．
（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）
51．已知函数是R上的奇函数，且，，若，则不等式的解集是 .
例41．
（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）
52．已知函数，若，则实数的解集为 .
例42．
（2023·四川绵阳·统考模拟预测）
53．已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则 ．
例43．
（2023·四川泸州·高三校考阶段练习）
54．给出下列命题：对于定义在上的函数，下述结论正确的是 ．
①若，则的图象关于直线对称；
②若是奇函数，则的图象关于点对称；
③若函数满足，则；
④若关于的方程有解，则实数的取值范围是．
例44．
（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）
55．设定义在上的函数与的导函数分别为和， 若，， 且为奇函数， 则下列说法中一定正确的是 .
（1）函数的图象关于对称；
（2）；
（3）；
（4）
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
2．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
3．D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
4．D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
5．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
6．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
7．B
【分析】根据奇偶性得到其周期性和对称性，再进行合理赋值即可得到答案.
【详解】函数为偶函数，，
为奇函数，，
用替换上式中，得，，
，，即，
故函数是以4为周期的周期函数，
由，得，B正确；
显然，没有条件求出的值，ACD错误.
故选：B
8．A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
9．2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
10．
【分析】根据函数的周期性，奇偶性求解即可.
【详解】由，可知函数的周期为4，
又为上奇函数，，令，
则，解得，
令，则，，
所以
故答案为：．
11．1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
12．A
【分析】先利用赋值法求及，然后利用单调性解不等式即可.
【详解】令，得.
令，得，解得，
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A
13．C
【分析】首先分析出函数单调递增，再根据函数单调性定义得到不等式组，解出即可.
【详解】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.
故选：C.
14．A
【分析】利用偶函数的性质结合函数的单调性计算即可.
【详解】由题意是偶函数，可知关于对称，且，
又时，单调递增，所以时，单调递减，
则在区间上时，函数值为正，在区间上，函数值为负，
又易知，
所以的解集为.
故选：A
15．A
【分析】作差，构造函数和，，利用导数求解函数的单调性，即可结合三角函数的单调性求解.
【详解】，∴，，
令，，，
∴在单调递减，所以，∴，∴.
，
令，，
，在单调递减，，∴，
∴，∴，
故选：A.
16．A
【分析】等价变形给定的不等式，构造函数并探讨其单调性，由此可得，再判断选项即得.
【详解】由，得，
令，显然函数在上单调递增，且，
因此，即，则，于是，A正确，B错误；
由，显然当时，，CD错误.
故选：A
17．D
【分析】是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，然后由题判断出的单调性，即可求解.
【详解】根据题意，是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由函数满足对任意的，，，
则函数在上是增函数，
又函数的图象关于直线对称，则函数在上是减函数，
若，则有，即，解得：或，
所以的取值范围是．
故选：D．
18．B
【分析】根据判断函数的单调性，结合偶函数和单调性进行求解即可.
【详解】不妨设，由，所以该函数是上的增函数，
，或，
，
，或，
因此有，
或，或，
综上所述：不等式的解集是，
故选：B
19．C
【分析】先求导得出函数的单调性，然后结合函数的奇偶性可将不等式转换成不等式在上的恒成立问题，由此即可进一步求解.
【详解】对函数求导得，
对函数继续求导得，
由基本不等式得，
所以在上单调递增，
又注意到，
所以、随的变化情况如下表：
由上表可知在上单调递减，在上单调递增，
又函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以函数是偶函数，
结合函数的单调性可知，成立当且仅当，
而成立当且仅当，
所以原问题转化成了对任意，不等式组恒成立，
将不等式组变形为，
所以对任意，只需，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
综上所述：满足题意的实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合函数的奇偶性、单调性将原问题转换为对任意，不等式组恒成立，从而根据恒成立问题的求解方法即可顺利求解.
20．C
【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有，
另一方面若有成立，
结合以上两方面有，
且注意到，
所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，
因此当且仅当；
又已知，
所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解.
21．B
【分析】化简，得到，令，令，求得，得到在上单调递增，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又由，
所以函数为偶函数，则在上单调递减，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
22．C
【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.
【详解】由题意可知，，
设，则的定义域为，
所以，
所以为奇函数，
所以，
所以,
故选：C.
23．B
【分析】令，转化为，令，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据奇偶性，可得在最大值与最小值之和为0，分析即可得答案.
【详解】由
令，
因为，所以；
那么转化为，，
令，，
则，
所以是奇函数
可得的最大值与最小值之和为0，
那么的最大值与最小值之和为2．
故选：B．
24．A
【分析】先结合解析式得出，再代入计算可得答案.
【详解】，
，
，，
故选：A.
25．A
【分析】由奇函数定义得，及即可求值
【详解】是定义在R上的函数，为奇函数，则
.
∴.
故选：A
26．B
【分析】化简函数，构造奇函数，利用奇函数的性质得解.
【详解】，，
∴令，，则，
定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，
∴（奇函数的性质），
∴，
∴，即.
故选：B
27．A
【分析】由题意可得，问题转化为，再判断函数的单调性，利用单调性求解即可得解.
【详解】，，，
所以不等式可转化为，
又在R上单调递增，在R上单调递增，
进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，
，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
28．C
【分析】根据题意易得方程组，解出方程组即可得结果.
【详解】因为函数满足：对，都有，
所以，即，解得，
经检验满足题意，所以，
故选：C.
29．D
【分析】首先求函数关于直线对称的函数解析式，再利用解析式相等，求的值.
【详解】设点在函数的图像上，则点关于直线的对称点，则，则，则，即与关于直线对称，则，得.
故选：D
30．B
【分析】由题意得到函数为的偶函数，且在上为单调递减函数，令，化简不等式为，结合函数的单调性和奇偶性，得的，即，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，
且，
所以函数为的偶函数，且在上为单调递减函数，
令，可得，
则不等式可化为，
即，即，
又因为，且在上单调递减，在为偶函数，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
31．A
【解析】首先设函数判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数的对称性和单调性，再将，，以及转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.
【详解】令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增.
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴.
故选：A
【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化.
32．B
【分析】根据函数与的图象都关于点中心对称即可求解.
【详解】由得，函数的图象关于点中心对称，
显然也是函数的对称中心，
所以当为偶数时，；当为奇数时，；
综上.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据确定函数的图象关于点中心对称，也是函数的对称中心，再根据中心对称性求解是本题的解题关键.
33．B
【分析】由题意知，与两个图象都关于对称，进而可得两个图象的交点也关于对称，进而可求得结果.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以关于对称，
因为，
所以的对称中心为，，
所以也关于对称，
所以与两个图象的交点也关于对称，
所以对于每组对称点和均满足，，
所以.
故选：B.
34．A
【分析】，根据定义域得到，根据得到，得到对称中心.
【详解】，为奇函数，
定义域为关于原点对称，故，，
，即，
即，故，
故，即对称中心为.
故选：A.
35．D
【分析】根据题中定义可知的图象关于点对称，然后根据对称性即可求解.
【详解】的定义域为R.
因为，
所以的图象关于点对称.
所以.
故选：D
36．D
【分析】先求出的表达式，得出，进而推得.将不等式转化为.求导得出，结合基本不等式得出恒成立，得出函数的单调性，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
所以，.
所以，，
即，所以.
则由不等式可得，
.
又恒成立，
当且仅当，即时等号成立，
所以，在R上单调递增.
则由可得，，解得.
所以，满足的的取值范围是.
故选：D.
37．A
【分析】由已知奇偶性质得到的周期性与对称性，借助已知条件与待定系数，再利用周期性得，由对称性转化为，代入解析式求解即得.
【详解】由为奇函数，得，
故①，函数的图象关于点对称；
由为偶函数，得②，
则函数的图象关于直线对称；
由①②得，
则，
故的周期为，所以，
由，令得，即③，
已知，
由函数的图象关于直线对称，得，
又函数的图象关于点对称，得
所以，即，
所以④，联立③④解得
故时，，
由关于对称，可得.
故选：A.
38．C
【分析】由题意，从而是周期函数，又的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称，由，从而即可求解.
【详解】因为，所以，
从而可得，所以，所以函数的一个周期为6．
因为的图象关于直线对称，
所以， 即函数的图象关于直线对称．
又，，
所以，所以，
所以．由于23除以6余5，
所以．
故选：C．
【点睛】易错点点睛：对于“系数不为1”的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型，涉及奇偶性（图象的对称性）时处理方法有：①利用奇偶性（图象的对称性）直接替换题中对应的变量；②类比三角函数；③引入新函数，如令，则．本题中，的图象关于直线对称，令，则，从而，即，函数的图象关于直线对称，不能误认为函数的图象关于直线对称．
39．A
【分析】根据为偶函数，可得，即，再结合，可得，进而可得出函数的周期，再结合函数的对称性逐一判断即可.
【详解】因为为偶函数，
所以，即，
又因，
所以，即，
所以，所以函数是以为周期的一个周期函数，故D错误；
因为，所以函数图象关于对称，
所以函数图象关于对称，即函数为偶函数，故A正确；
对于B，若关于点中心对称，则关于点中心对称，
即函数为奇函数，则，
因为为偶函数，所以，
所以，所以，
所以，
这与函数是定义域为的非常数函数矛盾，故假设不成立，故B错误；
对于C，由，可得，
又因为不关于点中心对称，
所以无法判断是否相等，故C错误.
故选：A.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
40．B
【分析】根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.
【详解】由，令，得，所以，
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得，
又④，
由③④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
.
故选：B．
41．C
【分析】根据与奇偶性之间的关系，结合函数对称性和周期性，即可判断求解.
【详解】因为为奇函数，则，
因为，，
故可得，
所以，函数的图象关于点对称，
在等式中，令可得，则，
因为函数为奇函数，即，可设，为常数，
则，故，即，
所以，函数为偶函数，
由可得，
从而可得，则，即，
所以，函数为周期为的周期函数，
故，
在等式两边同时求导可得，
即，
在等式中，令可得，
因为函数是周期为的周期函数，则，
等式两边求导可得，
所以，函数是周期为的周期函数，
所以，.
而、的值根据已知条件无法推导其值，则②③对，①④错.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
42．D
【详解】当x∈[0,1)时，f(x)=x2 x∈[ ,0]当x∈[1,2)时，f(x)= (0.5)|x 1.5|∈[ 1, ]，
∴当x∈[0,2)时，f(x)的最小值为 1，
又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，
当x∈[ 2,0)时，f(x)的最小值为，
当x∈[ 4, 2)时，f(x)的最小值为，
若x∈[ 4, 2]时，恒成立，
∴恒成立．
即t2 4t+3 0，
即(t 3)(t 1) 0，
即1 t 3，
即t∈[1,3]，
本题选择D选项.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
43．C
【分析】由f（x+2）=2f（x）-1，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由恒成立即为，，解不等式即可得到所求范围
【详解】当x∈(2,3),则x 2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x 2) 1=2(x 2)2 2(x 2) 1，
即为f(x)=2x2 10x+11，
当x∈[3，4]，则x 2∈[1，2]，
则f(x)=2f(x 2) 1=.
当x∈(0,1)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为 ；
当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为；
当x∈(2,3)时,当x=时,f(x)取得最小值,且为 ；
当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为 .
若x∈(0,4]时, 恒成立，
则有.
解得.
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[ , 1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由，即为，解得，
综上，即有实数t的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数最值的求解以及函数恒成立问题的求解，根据函数性质和函数解析式可求得函数最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是关键，着重考查转化能力以及分析解答能力，属于中档题.
44．B
【分析】先将不等式转化为函数最值问题，再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值，最后解不等式得结果.
【详解】因为当时，不等式恒成立，所以，
当时，
当时，，当时， ，因此当时，，选B.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
45．D
【解析】根据函数的定义，得出是等比数列，公比为，求出后可求得和．
【详解】时，，最大值为，
时，，易知时，递增，时，递减，因此最大值为，
综上，，，即，
又，即，
当时，，∴，
∴是等比数列，公比为，
∴．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查求等比数列的前项和，解题关键是确定函数的性质，由函数的性质得出数列的性质．对分段函数需要分段求出最大值，然后比较才能得出最值．函数式的递推关系提示了数列是等比数列，且得出其公比．然后只要应用等比数列的前项和公式即可得结论．
46．AD
【分析】根据给定条件分析可得函数是周期函数，是上的奇函数，在上递增，关于直线对称等函数性质，对于A，利用周期求解判断；对于B，由单调性结合周期可判断；对于C，利用特值法及偶函数定义判断；对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，作出函数图象，数形结合可求解判断.
【详解】对都有，则，
所以函数是周期函数，周期为4，
函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，
又函数的图像关于点对称，
因此函数的图象关于点对称，即函数是上的奇函数，
当时，，即函数在上递增，在上单调递增，
而，因此在上递增，
由得，则的图象关于直线对称，
则函数在上递减，
对于A，，故A正确；
对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，
则在上递增，故B错误；
对于C，因，即有，
则函数不是R上的偶函数，故C错误；
对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的大致图象，如图，
因函数的最大值为1，而当时，，
因此函数与图象的交点在内，
观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，
所以函数有6个零点，故D正确.
故选：AD.
47．ABD
【分析】根据偶函数的定义可判定A，利用抽象函数的对称性、周期性可判定B、C、D.
【详解】因为，所以，
所以函数为偶函数，故A正确；
因为，两边求导得.令，得.
因为，所以，
所以，，
所以，即，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
因为，又，所以，
所以，
所以是周期为4的周期函数，所以，故C错误；
因为，所以，
所以，所以，
又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
48．AC
【分析】根据知关于对称，根据知关于对称，根据 ， 知，周期为 ，求值即可.
【详解】由为奇函数得，
令 ，则，即，
所以的图象关于点对称，所以，
因为，所以关于直线对称，所以，
由和知，，
所以，所以的周期为8，
由知，当时，，A正确；
因为关于直线对称，所以，
由的周期为8知，，C正确；
因为的周期为8，所以，题干所给条件不足，所以BD错.
故选：AC
49．ABD
【分析】由奇函数的性质得出的图象关于点中心对称，且，判断A，对求导，得出的对称性，从而判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D．
【详解】因为为奇函数，所以，即，即，
所以的图象关于点中心对称，且，故A正确；
由，两边求导，得，即.
由的图象关于点中心对称，得，因此，故B正确；
因为为函数的导函数，且，即，
所以，即，
所以的图象关于直线对称，
所以.又，
所以，所以的图象关于点中心对称，
，
，
所以是周期函数，4为它的一个周期，所以，故错误；
由，得.又，
所以3，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
50．ACD
【分析】由判断奇函数，即判断A选项；求周期再结合奇偶性计算的值，即判断B选项；利用导数判断上的单调性，再求最值，最后利用奇偶性，对称性即判断C选项；将的解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，画出图象先求出上的交点个数，再利用周期计算上的交点个数，即判断D选项.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以，
又因为，所以，所以是奇函数，A正确；
由，得，所以以4为周期，
因为，所以，故B错误；
因为当时，，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，所以．
因为为奇函数，所以当时，，
因为的图象关于直线对称，所以当时，，
因为的周期为4，所以当时，，故C正确；
方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．
因为的周期为4，且当时，与有3个交点，
所以当时，与有个交点，故D正确．
故选：ACD.
51．
【分析】根据单调性的定义判断的单调性，然后利用函数值的符号结合单调性解不等式即可.
【详解】函数是上的奇函数，在区间单调递增，
所以函数在上单调递增，且，
因为，即.所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
那么，即或，
所以得或.
故答案为：.
52．
【分析】通过计算可得，从而构造，并可知为奇函数，再根据的单调性列不等式求解即可.
【详解】由题意可知，
所以
，
所以，
令，则，即为奇函数，
不等式等价于，即，
令，则，
所以是奇函数，
又因为在单调递增，
所以根据指数函数的性质可知在上单调递增，
又由对数函数的性质可知在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，解得，
故答案为：
53．
【分析】由的对称性及得，再由为奇函数得，从而得，即是周期为8的周期函数，再利用周期可得答案.
【详解】由为奇函数，得，即，
由，得，又，
于是，即，从而，
即，因此，函数的周期为8的周期函数，
显然，又，
所以.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数关于直线对称，则有；函数关于中心对称，则有；函数的周期为，则有.
54．②③
【分析】根据函数的对称性与周期性即可判断①；根据奇函数的图象即可判断②；根据分析即可判断③；关于的方程有解，即函数的图象有交点，作出函数的图象，即可判断④.
【详解】对于①，若，则，所以函数是以2为周期的周期函数，无法得出其对称轴，故①错误；
对于②，若是奇函数，则函数关于原点对称，
而函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到的，
所以的图象关于点对称，故②正确；
对于③，若函数满足，令，则，所以，
即，故③正确；
对于④，关于的方程有解，即函数的图象有交点，
作出函数的图象如图所示，
由图可知，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点点睛：判断①的关键是它只能说明是周期函数；判断②的关键是利用奇函数的性质以及函数平移的特点；判断③的关键是利用函数的中心对称性质，结合倒序相加法即可验证；判断④的关键是画出图形，并数形结合，从而即可顺利求解.
55．（1）（3）
【分析】根据 为奇函数推出对称中心 , 根据 逆向思维得到 , 代入 推出 的对称轴 , 进一步得出周期 4 , 周期也为 4 , 算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解.
【详解】因为, 则,
因为 ，所以,
用去替x，所以有，所以有,
取 代入得到 则 ，
故，用换x，可得，函数的图象关于对称,故（1）正确；
在上为奇函数, 则 过, 图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，; ，而，所以有，则 的周期 ;
又因为图像关于对称，;函数的图象关于对称,，故
,
,故（3）正确；
, 是由 的图像移动变化而来, 故 周期也为 4 ,
因为 ,
所以 ，,
所以，故（2）错误；
，周期为 4 , ，,,
故，
由于的值未知，不一定为0，所以无法判断的值为-4046，
故（4）错误;
故答案为：（1）（3）
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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