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专题16 妙解离心率问题
【目录】
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形
考点八：焦点到渐近线距离为b
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
考点十一：渐近线平行线与面积问题
考点十二：数形结合转化长度角度
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
考点要求 考题统计 考情分析
离心率 2023年新高考I卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分 2022年甲卷第10题，5分 2022年浙江卷第16题，4分 2021年甲卷第5题，5分 2021年天津卷第8题，5分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
（2023 新高考Ⅰ）
1．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023 甲卷）
2．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
（2022 甲卷）
3．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2021 甲卷）
4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2021 天津）
5．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
（2022 甲卷）
6．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
（2022 全国）
7．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A．5 B． C． D．
（2022 乙卷）
8．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2023 新高考Ⅰ）
9．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
（2022 浙江）
10．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
【例1】
（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）
11．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】
（2024·高三单元测试）
12．已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】
（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）
13．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】
（2024·河南驻马店·高三统考期末）
14．已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．
【例2】
（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）
15．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，
若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】
（2024·江西抚州·高三统考期末）
16．设是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】
（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）
17．已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】
（2024·高三课时练习）
18．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【例3】
（2024·全国·高三专题练习）
19．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式3-1】
（2024·湖南·高三校联考期末）
20．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于 ．
【变式3-2】
（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）
21．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即
【例4】
（2024·河南新乡·高三统考期末）
22．设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】
（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）
23．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】
（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）
24．已知椭圆的左 右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体
如左图，若，过原点，且，，则可得离心率．
如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率．
【例5】
（2024·山东济南·校联考）
25．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】
（2024·安徽池州·高三统考期末）
26．设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【变式5-2】
（2024·湖北黄冈·高三统考期末）
27．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（ ）
A． B．2 C． D．3
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
【例6】
28．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
【变式6-1】
（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）
29．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】
（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）
30．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形
当或者时，令,则一定存在①，②
【例7】
（2024·河南·高三校联考阶段练习）
31．设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】
（2024·贵州·校联考模拟预测）
32．设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】
（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）
33．设双曲线的左 右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左 右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【变式7-3】
（2024·全国·模拟预测）
34．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．2
考点八：焦点到渐近线距离为b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，.
【例8】
（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）
35．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【变式8-1】
（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）
36．已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】
（2024·山西运城·高三统考期末）
37．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】
（2024·辽宁·统考模拟预测）
38．已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式8-4】
（2024·广西南宁·统考）
39．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）
A． B． C． D．
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
【例9】
（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习）
40．是双曲线的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式9-1】
（2024·广西玉林·校考模拟预测）
41．过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【变式9-2】
（2024·江西新余·统考）
42．已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则，
【例10】
（2024·全国·校联考）
43．过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是( )
A．2. B． C． D．
【变式10-1】
（2024·山西晋城·统考）
44．设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
【变式10-2】
（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）
45．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】
（2024·陕西宝鸡·统考）
46．已知双曲线的左 右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点十一：渐近线平行线与面积问题
①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，，
【例11】
（2024·北京·人大附中校考）
47．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式11-1】
（2024·山东潍坊·高三统考期末）
48．已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 .
【变式11-2】
（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）
49．过双曲线：（，）右支上一点作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点，，为坐标原点，设的面积为，若，则双曲线的离心率取值范围为 ．（用区间作答）
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
【例12】
（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）
50．已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 .
【变式12-1】
（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）
51．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
【变式12-2】
（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）
52．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
2．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线为，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
3．A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
4．A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
5．A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
6．B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
7．D
【分析】由题意求出，再根据离心率公式即可得解.
【详解】由双曲线的方程可得渐近线方程为，
由题意可得，
所以双曲线的离心率，
故选：D．
8．AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
9．##
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
10．
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
11．B
【分析】设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，从而有，由，可得，再根据椭圆的定义计算即可得解.
【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，
则四边形为矩形，
则，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
12．A
【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，．则四边形为矩形．因此．而．，．可得，求出即可．
【详解】解：如图所示，
设椭圆的左焦点为，连接，．
则四边形为矩形．
因此．．所以，．
．
，
，
，
，
其中，
．
．
故选：A．
13．A
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，可知四边形为矩形，从而可知，且，由，可得，，结合，可得，根据，求出范围即可.
【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形，
所以，，
由，可得，，
，即，
∵，，
，，
.
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的简单性质的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.
14．C
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，然后可得四边形为矩形，然后可得，，，然后可得，即可求出答案.
【详解】
如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，
因为，所以四边形为矩形，
所以，
因为，，，
所以，
所以 ，
∵，∴，，
∴，
故选：C
15．C
【详解】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以，
故选：C．
16．D
【分析】根据椭圆焦半径公式和余弦定理得，则，则得到离心率范围.
【详解】，设P，则．
在△中，由余弦定理得，
解得．∵，∴，
即．且，
∴．故椭圆离心率的取范围是，
故选：D.
17．B
【分析】先确定点的轨迹是圆，联立圆的方程及椭圆方程，解出，得到不等式即可求解.
【详解】若椭圆C上存在点，使得，即以为直径的圆与椭圆有交点，设， ，解得，即，，又，故.
故选：B.
18．B
【分析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得到关于的不等式，从而可得结果.
【详解】
当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．
∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，
∴ 中，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．
【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.
19．A
【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，，根据，利用余弦定理得到，进而得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，
所以，
即．
∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．
故选：A．
20．
【分析】利用椭圆、双曲线的定义及性质，结合勾股定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图，

由椭圆和双曲线定义与对称性知，，
四边形为平行四边形，，
，而，则，因此，
即，于是有，则，，
所以，当且仅当，时取等号．
故答案为：
21．B
【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果.
【详解】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，
，
即，，且，，
，，解得：．
在双曲线中，，；
在椭圆中，，；
；
，，则，，
可得：，
的取值范围为.
故选：B.
22．B
【分析】利用双曲线的定义结合已知条件求出、各边边长，由余弦定理结合诱导公式可出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
，由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
，
因为，
故，整理可得，故该双曲线的离心率为.
故选：B.
23．B
【分析】设，，，根据，利用勾股定理可得的关系，再根据椭圆的定义可将，，用表示，从而可得，在中，利用余弦定理构造的齐次式，即可的解.
【详解】解：因为，
所以可设，，，
因为，所以，解得，
因为，所以，，，
所以，
在中，，，
由，可得，
即椭圆的离心率为.
故选：B.
24．D
【分析】设，则，利用椭圆的定义及勾股定理解得，
表示出，，再利用锐角三角函数表示出，由余弦定理表示出，即可得到方程，解得，即可求出离心率.
【详解】如图所示，设，，设，则，
在中，，
由椭圆定义可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以椭圆离心率.
故选：D.
25．C
【分析】因为，不妨令，根据椭圆定义，得到，，再由，得到和都是直角三角形，由勾股定理求出，再由，化简整理，即可求出离心率.
【详解】因为，不妨令，
过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，
则，，
又，所以，则和都是直角三角形，
则，即，解得，
所以，，又，，
所以，因此，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
26．D
【详解】设 ，再由 是等腰直角三角形
，故选D,
【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合程度高，属于较难题型. 设 ，进而求得 ， 代入 是等腰直角三角形，从而求得离心率.
27．D
【分析】设，根据椭圆的定义求出，，利用即可求解.
【详解】因为，设，由椭圆的定义可得：，则，因为，所以，
所以，即，又因为椭圆的离心率为，
所以，则有，
所以，则，则，
由，所以，因为，所以，
所以，即，解得：，
故选：.
28．B
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
29．C
【分析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率．
【详解】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C．
30．C
【分析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率．
【详解】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C．
31．D
【分析】取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中垂线，，然后结合双曲线的定义得到，进而利用勾股定理求得，于是根据直线l的斜率，得到a,c的关系，从而求得离心率
【详解】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，
故选：D．

【点睛】本题考查双曲线的几何性质——离心率的求法，涉及向量的运算和数量积，关键是取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中垂线，结合双曲线的定义得到是关键，根据直线l的斜率，得到a,c的关系是求得离心率的方向.
32．C
【分析】设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，利用已知得出，由双曲线的定义结合勾股定理求出和，利用直线l的斜率列出方程，求出双曲线的离心率．
【详解】设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．
因为，所以，即，则．
设．因为，
所以，则，从而，故，解得．
因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率和双曲线的定义，考查平面向量数量积的应用，解决本题的关键点是取线段的中点H，连接，利用已知等式得出，进而可由双曲线的定义和勾股定理求出和，利用直线l的斜率为列方程解出离心率，考查学生数形结合能力和计算能力，属于中档题．
33．A
【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】如图，设为的中点，连接.
易知，所以，所以.
因为为的中点，所以.
设，因为，所以.
因为，所以.
所以.
因为是的中点，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因为直线的斜率为，
所以，所以，
，所以离心率为.
故选：A
【点睛】求双曲线离心率的方法有：
（1）直接法：利用已知条件将求出，从而求得离心率；
（2）方程法：利用已知条件列出关于或的方程，化简求得离心率.
34．D
【解析】设，则由双曲线定义可得，，，由可得，再在中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.
【详解】设，则由双曲线定义可得，
，则，
则，解得，从而.
在中，，
即，解得.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是利用已知条件结合双曲线定义正确表示出各线段长度，利用余弦定理建立关于的方程求解.
35．D
【分析】利用中位线关系求得，再利用双曲线的定义，表示的三边，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.
【详解】连结，因为点分别为和的中点，
所以，且
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，
中，满足，
整理为：，
双曲线的离心率.
故选：D
36．A
【分析】设出渐近线方程并根据平行关系判断出点位置，通过联立渐近线方程与的方程求解出的坐标，即可求解出点坐标，再根据点在双曲线上将坐标代入方程并化简，由此求解出双曲线离心率的值.
【详解】不妨设渐近线的方程为，因为，为的中点，
所以为的中点，
将直线，的方程联立，可得，
又，所以即，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以该双曲线的离心率为，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于通过已知位置关系判断出点位置，其余则是通过坐标运算结合点在曲线上这一条件进行相关计算.
37．C
【解析】根据题意，不妨取点在第二象限，题中条件，得到，记，求出，根据双曲线定义，得到，，在中，由余弦定理，即可得出结果.
【详解】
因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限，
所以，则，
因为双曲线的渐近线方程为，则，所以；
记，则，由解得，
因为，由双曲线的定义可得，所以，，
由余弦定理可得：，
则，所以，整理得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
【点睛】思路点睛：
求椭圆或双曲线的离心率的问题时，通常需要根据椭圆或双曲线的定义，以及题中条件，结合余弦定理，建立关于之间关系式，即可求解.
38．A
【分析】设出双曲线的右焦点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得，，运用直角三角形的面积公式可得，的关系，再由离心率公式计算可得所求值.
【详解】解：设双曲线：的右焦点，
双曲线的一条渐近线方程设为，
可得，，
的面积为，即有，
化为，，解得.
故选：A.
【点睛】思路点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
39．C
【分析】根据题意作出图示，根据角度以及长度关系分别求解出，然后根据二倍角的正切公式求解出的关系式，则离心率可求.
【详解】不妨设在第二象限，在第三象限，如下图所示：
因为，，所以，
所以，，
又，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以.
故选：C.
40．D
【分析】设为直线与交点，为直线与交点，由垂直关系可得，从而得到直线的方程，与渐近线方程联立可求得；利用可得关于的齐次方程，解方程求得；由对称性知为直线与交点，为直线与交点时，结论一致.
【详解】由题意得：，双曲线渐近线方程为：
若为直线与交点，为直线与交点
则 直线方程为：，与联立可得：
直线方程与联立可得：
由得：，即
，即，解得：或（舍）
由双曲线对称性可知，当为直线与交点，为直线与交点时，结论一致
故选：
【点睛】本题考查双曲线离心率问题的求解，求解离心率问题的关键是能够根据已知的等量关系得到关于的齐次方程，进而构造出离心率的方程.
41．A
【分析】依题意求出双曲线的渐近线方程与右焦点坐标，不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为，与另一焦点联立求交点坐标，根据交点在第二象限，即可得到、的关系，即可得解；
【详解】解：由题意双曲线C：的渐近线，右焦点，
不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即
故选：A
42．A
【分析】作出图形，计算出，设，可得出，由二倍角的正切公式可得出关于的等式，求出的值，利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，，则，
因为，则，
设，则，所以，，
，，
由二倍角的正切公式可得，即，可得，
因此，.
故选：A.
43．D
【分析】由题设条件求出点A，B的坐标，再由给定的向量等式建立关于a，b，c的关系式而得解.
【详解】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到，
而，，即点A是线段FB的中点，
所以，所以.
故选：D
44．A
【分析】首先推得为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】由题意可得，
即有为等腰三角形，
设，
则，
所以
即为，
所以，
故选：A
【点睛】关键点点睛：由题意得出为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于的方程，是求出离心率的关键，属于中档题.
45．C
【分析】先设，由题意知△是直角三角形，利用且恰好为正三角形，求出、，根据双曲线的定义求得，之间的关系，则双曲线的离心率可得．
【详解】解：连接， 设，
则由题意可得是直角三角形，
由恰好为正三角形得，，
∴，∴，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质．考查数形结合的思想的运用，属于基础题．
46．A
【解析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得点坐标，由可表示出点坐标，点坐标代入双曲线方程整理后可求得．
【详解】，圆方程为，
由， 由，，解得，即，
设Q(x0，y0)，由，，得，，
因为在双曲线上，
∴，，
解得（舍去），
故选：A
【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得．
47．C
【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.
【详解】易知MN关于x轴对称，令，，
∴，，∴，∴．

，，，
∴，
∴．
故选: C.
48．或
【分析】设过点且与渐近线平行的直线与渐近线相交于点，将直线的方程与联立，可求得点的坐标，从而得的长，再利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，结合与，即可得解．
【详解】解：由题意知，，
双曲线的渐近线方程为，
设过点且与渐近线平行的直线与渐近线相交于点，如图所示，
直线的方程为，
将其与联立，解得，，即，，
，
点，到直线的距离为，
所围图形面积等于1，
，即，
化简得，
点，在双曲线上，，即，
，
又，，或，，
离心率或．
故答案为：或．
49．
【分析】设，是过P与渐近线平行的直线，交y轴于点，与渐近线交于，用m，n表示出d和，利用求得四边形面积，结合条件得到不等关系，从而求得离心率取值范围.
【详解】设，是过P与渐近线平行的直线，交y轴于点，与渐近线交于，
则，即，
联立解得，
则，由题知四边形是平行四边形，
又在双曲线上，应满足，即
则
则，解得，
可得离心率
所以离心率的范围为，
故答案为：
50．
【分析】根据题意，由条件可得，，再由双曲线的定义，结合离心率的公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为，所以是的中点，又为的中点，
所以，因为，所以，所以，
设，则，，且在双曲线上，
则，即，又，即，
所以.
故答案为：.
51．
【分析】由双曲线的对称性，结合定义与垂直关系转化将已知条件集中在与中，建立方程组消参化简可得的齐次关系，从而得到离心率.
【详解】由双曲线的对称性得，由，得，
不妨设点在的右支上，且，
在中，由双曲线定义知，
由勾股定理得，
则，
且
又，，所以，
则在中，由，得，
化简得，
即，所以，
所以，化简得.
所以的离心率为.
故答案为：.

52．
【分析】利用双曲线的定义和内切圆的性质结合求出离心率即可.
【详解】设的内切圆在边的切点分别为，如图：
则得，
又，则，
得，
又，得，所以双曲线的离心率为，
故答案为：.
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