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专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题
【目录】
考点一：正方体、长方体外接球
考点二：正四面体外接球
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
考点四：直棱柱外接球
考点五：直棱锥外接球
考点六：正棱锥与侧棱相等模型
考点七：侧棱为外接球直径模型
考点八：共斜边拼接模型
考点九：垂面模型
考点十：二面角模型
考点十一：坐标法
考点十二：圆锥圆柱圆台模型
考点十三：锥体内切球
考点十四：棱切球
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度.
考点要求 考题统计 考情分析
外接球 2022年乙卷第12题，5分2022年II卷第7题，5分 2022年I卷第8题，5分 2021年甲卷第11题，5分 【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立.具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力. （2）热点是锥体内切球与棱切球问题.
内切球 2020年III卷第16题，5分
棱切球 2023年 I卷第1题，5分
1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示.
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
（2022 乙卷）
1．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
（2022 新高考Ⅱ）
2．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（2022 新高考Ⅰ）
3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2021 天津）
4．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
（2021 甲卷）
5．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
（2023 甲卷）
6．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
（2023 甲卷）
7．在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 .
（2020 新课标Ⅲ）
8．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
考点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.
例1.
（2023·四川·高三统考学业考试）
9．若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为（ ）
A．256 B．64 C．27 D．8
例2.
（2023·四川巴中·统考一模）
10．已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为 .
例3.
（2023·重庆渝北·高三重庆市南华中学校校考阶段练习）
11．在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为 ．
考点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为.
例4.
（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）
12．已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
例5.
（2023·天津北辰·统考三模）
13．中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（ ）
A． B． C． D．6
例6.
（2023·陕西西安·校联考模拟预测）
14．已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以.
例7.
（2023·四川凉山·二模）
15．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
例8.
（2023·广东揭阳·高三校联考期中）
16．在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
例9.
（2023 五华区校级期中）
17．如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm，cm，则该“鞠”的表面积为（ ）
A．cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．29cm2
考点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
例10.
（2023·湖南·高三校联考阶段练习）
18．在直三棱柱中，为等边三角形，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例11.
（2023·山东潍坊·统考模拟预测）
19．在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12π B．24π C．48π D．96π
例12.
（2023·陕西咸阳·统考一模）
20．在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为（ ）．
A．4 B．3 C． D．
例13.
（2023·广东·统考一模）
21．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，，是线段的三等分点，且．若该三棱柱的外接球的表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
考点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径.
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②.
例14.
（2023·江西萍乡·高三统考期末）
22．三棱锥A-BCD中，平面BCD，，，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例15.
（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）
23．如图，四棱锥中，平面，底面为边长为的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例16.
（2023·河南开封·统考三模）
24．在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点六：正棱锥与侧棱相等模型
1、正棱锥外接球半径： .
2、侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出.
例17.
（2023·重庆·高三重庆八中校考期末）
25．已知球O为三棱锥S﹣ABC的外接球， ，则球O的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例18.
（2023·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）
26．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
例19.
（2023·福建福州·高三福建省福州屏东中学校考期末）
27．已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为
例20.
（2023·河南·模拟预测）
28．已知正四棱锥的底面边长为，高为，且，该四棱锥的外接球的表面积为，则的取值范围为 ．
考点七：侧棱为外接球直径模型
找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.
例21.
（2023·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）
29．在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球O的直径，PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
例22.
（2023 云南校级月考）
30．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
例23.
（2023 防城港模拟）
31．体积为的三棱锥的所有顶点都在球的球面上,已知是边长为的正三角形,为球的直径,则球的表面积为（ ）.
A． B． C． D．
考点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径.
例24.
（2023·四川德阳·统考模拟预测）
32．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱锥D-ABC的外接球表面积等于（ ）
A． B． C． D．不确定的实数
例25.
（2023·安徽·芜湖一中高二期中）
33．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例26.
（2023·江西赣州·高二期中）
34．在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和.
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为.
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则.
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径.
例27.
（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）
35．在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
例28.
（2023·全国·模拟预测）
36．如图1，平面五边形，，，，，将沿折起至平面平面，如图2，若，则四棱锥的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
例29.
（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）
37．已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点十：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和.
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为.
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则.
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径.
例30.
（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）
38．已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
例31.
（2023·广东·统考模拟预测）
39．在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例32.
（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）
40．如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点十一：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度.
例33.
（2023·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）
41．已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为 ．
例34.
（2023·浙江·高三校联考阶段练习）
42．空间直角坐标系中， 则四面体ABCD外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
例35.
（2023·安徽·高三校联考阶段练习）
43．如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（ ）

A． B． C． D．
例36.
（2023·浙江金华·模拟预测）
44．三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点十二：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为.通常在中，由勾股定理建立方程来计算.如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.
由图、图可知，或，故，所以.
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足.
3、球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高.
例37.
（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）
45．如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（ ）

A．64 B． C． D．
例38.
（2023·全国·高三专题练习）
46．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例39.
（2023·全国·高三专题练习）
47．已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例40.
（2023·全国·高三专题练习）
48．如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（ ）
A． B． C． D．
考点十三：锥体内切球
等体积法，即
例41.
（2023·浙江温州·统考一模）
49．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为 .
例42.
（2023·湖南郴州·统考三模）
50．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 .
例43.
（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）
51．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为 .
例44.
（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）
52．如图，四边形为平行四边形，，，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球表面积为 ．

考点十四：棱切球
找切点，找球心，构造直角三角形
例45.
（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）
53．已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A．9 B． C． D．
例46.
（2023·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）
54．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ．
例47.
（2023·全国·高三校联考阶段练习）
55．已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，
(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．
故选：C.
【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
2．A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

3．C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
4．B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
5．A
【分析】由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面的距离，进而求得体积.
【详解】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.
6．
【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.
【详解】设球的半径为.
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；

分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，
连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.
综上，.
故答案为：
7．12
【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等且等于球体半径，故可得解.
【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，

由题意可知，为球心，在正方体中，，
即，则球心到的距离为，
所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.
故答案为:12.
8．
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，

由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
故答案为：.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
9．B
【分析】根据正方体体对角线为外接球直径计算即可.
【详解】因为球的表面积为，
所以，解得，
设正方体的棱长为，
因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，
所以，即，
所以.
故选：B
10．
【分析】令长方体的长、宽、高分别为，由已知条件及、外接球半径与各棱的关系得到，应用球体面积公式求面积即可.
【详解】令长方体的长、宽、高分别为，则，
由，则，
而长方体外接球半径，故，其表面积.
故答案为：
11．
【分析】由题知，长方体的体对角线为外接球的直径，进而根据公式求解即可.
【详解】解：由题意，根据长方体外接球的性质，可得，
，该长方体的外接球的表面积.
故答案为：.
12．C
【分析】求出正四面体的外接球半径，将正四面体放入正方体中，求出正方体的棱长，即可求得该正四面体的棱长.
【详解】设正四面体的外接球半径为，则， 解得，
将正四面体放入正方体中，设正方体的棱长为，如下图所示：
则，所以，，故该正四面体的棱长为.
故选：C.
13．A
【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长．
【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，
则该球半径，如图：
可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，
设正四面体的棱长为，则，，
在中，则，即，
解得，即．
故选：A
14．D
【分析】正四面体的外接球球心在正四面体的高上，由可构建外接球半径与棱长的关系，求出半径．
【详解】
如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为，
∵正四面体棱长为，∴，，，，
由得，
解得，∴．
故选：D．
15．B
【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解.
【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.
所以四面体外接球表面积是.
故答案为：B.
16．A
【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可．
【详解】因为，
所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有，整理得，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有，
所以所求的球体表面积为：．
故选：A．
17．D
【分析】由于，所以可以把四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径，求出体对角线长，从而可求出该“鞠”的表面积
【详解】因为“鞠”表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm，cm，
所以可以把四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径，
设该长方体的长、宽、高分别为，“鞠”的半径为，则
，
由题意得,
所以，即，
所以该“鞠”的表面积为，
故选：D
18．A
【分析】根据直三棱柱的体积得到，根据直三棱柱外接球半径的求法得到，然后构造函数，求导得到的最小值，即可得到外接球表面积的最小值.
【详解】设直三棱柱的高为，外接球的半径为，外接圆的半径为，则，所以，又，令，则，易知的最小值为，此时，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为.
故选：A.
19．C
【分析】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，根据三棱柱的体积得，根据直三棱柱外接球半径的求法可求出，然后构造函数，求导得到的最小值，即可得到该三棱柱外接球表面积的最小值
【详解】设为等腰直角三角形的直角边为，三棱柱的高为，
则，所以，则，
外接圆的半径为，
所以棱柱外接球的半径为，
令，则，则，
在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
则该三棱柱外接球表面积最小值为.
故选：C.
20．D
【解析】由题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，利用直三棱柱的外接球表面积为，可求出外接球的半径，从而可求得直三棱柱的高
【详解】解：因为，所以将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为，则，解得，
设直三棱柱的高为，则，即，
解得，所以直三棱柱的高为，
故选：D
21．D
【分析】根据展开图，得到直观图为直三棱柱，求得底面的外接圆半径，由外接球体积求得外接球的半径，进而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距离，乘以2即得三棱柱的高，即为的长.
【详解】由展开图可知，直三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
其外接圆的半径满足，所以．
由得．
由球的性质可知，球心到底面的距离为，
结合球和直三棱柱的对称性可知，，
故选D．
【点睛】本题考查直正三棱柱的判定与性质，球面的性质，球的表面积，属基础题，关键是由侧面展开图得到几何体的形状，并注意球心到球的截面圆心距离与球的半径，截面圆半径之间的关系.
22．C
【分析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.
【详解】由平面BCD，，知三棱锥A-BCD可补形为以AD，DC，BD为三条棱的长方体，如图所示，
三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，所以该三棱锥的外接球表面积为.
故选：C．
23．D
【分析】首先确定底面外接圆半径，则所求外接球半径为，代入球的表面积公式即可求得结果.
【详解】四边形为边长为的正方形，四边形的外接圆半径，
又平面，，四棱锥的外接球半径，
四棱锥的外接球表面积.
故选：D.
24．A
【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值.
【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，
则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．
设，则，，，
所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，
所以．
故选：A
25．A
【分析】根据题意能够求出弦的中垂面，那么中垂面一定经过球心，设出球心O位置，作⊥平面SAC，可得为等边三角形SAC的中心，在三角形ABM中求球的半径，需要用到四点共圆的性质解题．
【详解】解：取SC中点M，连接AM、MB，
因为△SAC是等边三角形，且SB＝BC，
∴AM⊥SC，MB⊥SC，
∴SC⊥平面AMB，
∴球心O在平面AMB上，作⊥平面SAC，可得为等边三角形SAC的中心，
所以＝，
取AB中点N，连接ON，∴ON⊥AB，
∴四点共圆，AO为这四点共圆的直径，也是三棱锥S ABC外接球的半径，连接，
在△ABM中：，
，
∴∠MAB＝90°，
∴在直角三角形中，
由勾股定理，得＝，
∴三棱锥S ABC外接球的半径长为AO==，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了表面积的求法，关键是四点共圆的判断及四点共圆性质的应用，是难题．
26．
【分析】根据题意，画出大致图像，确定球心在的延长线上，再结合几何关系和勾股定理进行求解即可.
【详解】如图设底面的中心为，连接，则球心在直线上，
由几何关系可知，，先将三角形转化成平面三角形，
如图：

因为，由勾股定理可得，设球心为，
则在的延长线上，且，则，
由勾股定理可得，即，
解得，所以球体的表面积．
故答案为：．

27．
【分析】作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解．
【详解】如图，正三棱锥中，设点Q为的中心，则PQ⊥平面ABC，

∴，∴，PQ＝3．
球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，
则，，
在中，，即，解得，
∴球O的表面积为．
故答案为：.
28．
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，列出方程，求出半径与的关系式，利用导函数得到其单调性和最值情况，得到表面积的取值范围.
【详解】连接相交于点，连接，则⊥平面，
球心在上，连接，则，，
因为正四棱锥的底面边长为，所以，
在直角三角形上，由勾股定理得，
即，，解得，
由，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在取得极小值，也是最小值，此时，
又当和时，，
所以，则.
故答案为：
29．D
【分析】将点P到底面ABC的距离转化为外接球的球心到底面ABC的距离，再利用三棱锥是棱长为2的正四面体进行求解.
【详解】设点P到底面ABC的距离为，点到底面ABC的距离为，
则.
连接、，则三棱锥是棱长为2的正四面体，
取的中点，连接，作，则平面，
即，在正中，，
在中，，
即，即点P到底面ABC的距离为.
故选：D.
30．A
【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点到平面的距离，进而求出点到平面的距离，即可计算出三棱锥的体积．
【详解】解：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的半径，
所以点到平面的距离，
为球的直径，点到平面的距离为，
此棱锥的体积为，
故选：A．
31．C
【分析】球心位于中点,且在平面内的投影为的外心,设球的半径,结合图形,根据题目条件求出三棱锥的高,再由棱锥的体积求出即可求解.
【详解】根据题意作出图形:
设球心为,球的半径,过三点的小圆的圆心为,则平面,
延长,做,垂足为,则平面.
因为,
所以,
则高,
因为是边长为的正三角形,
所以,
则,
解得,
则球的表面积为.
故选:C.
32．B
【分析】设矩形的边长分别为、，则，矩形周长最小时，，由此能求出外接球表面积．
【详解】设矩形的边长分别为、，则，
所以矩形周长，
，
，当且仅当时取等号，
矩形周长最小时，，
，
，
因为
外接球的半径，
外接球表面积．
故选：B．
33．C
【分析】根据题意，利用勾股定理，分别证得，，和，进而求得外接球的半径，结合表面积公式，即可求解.
【详解】因为，，，则，所以，
又因为，，，则，所以，
由，，，则,所以，
又由，，，则，所以，
可得为三棱锥的外接球的直径，
又由，
所以此三棱锥的外接球半径为，
所以球的表面积为.
故选：C.
34．D
【分析】设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，根据，得到 ，则O为其外接球的球心，易证平面AOB，由，求得半径即可.
【详解】如图所示：
设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD，
因为，
所以,
则，
所以O为其外接球的球心，设球的半径为R，
因为，，
所以，
所以，
因为，
所以平面AOB，
所以，
解得，
所以其外接球的体积为，
故选：D
35．C
【分析】根据题干确定球心所在的平面，利用弦长公式得球的半径，再利用球的表面积公式计算即可.
【详解】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；
又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ，点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，
解得，则外接球的表面积为.
故选：C.
36．A
【分析】作，，由题意计算得，，，证明得平面，从而判断得外接球球心在平面的垂线上，再计算出，可得就是外接球球心，从而得半径，代入球的体积公式计算.
【详解】由，易得，由题可知四边形为等腰梯形，过点作，在中，，，由三角函数知，所以，取中点，过点作交于点，连接，，又因为平面平面，所以平面，易求，所以为中点，且外接球球心在平面的垂线上，又因为中，，，所以；同理可得，所以在平面内，，即就是外接球球心，所以半径，所以四棱锥外接球体积为.
故选：A.
37．C
【分析】过点作于E，则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】
设正方形的边长为，在等边三角形中，过点作于E，
由于平面平面，∴平面．
由于是等边三角形，则，
∴，解得．
设四棱锥外接球的半径为，为正方形ABCD中心，为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知为矩形，
则，，
，
∴外接球表面积．
故选：C．
38．C
【分析】先找截面圆的圆心，过圆心作截面的垂线，球心在垂线上，找到球心再利用勾股定理即可得到答案.
【详解】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；
取中点E，连接，
因为，，
所以，
因为和是正三角形，
所以，
由得，
所以由，即球半径为，
所以球体积为．
故选：C.
39．C
【分析】由球的截面性质确定球心的位置，结合条件求出球的半径，由此可求外接球的表面积
【详解】如图所示，为直角三角形，又，
所以，
因为为正三角形，所以，
连接，为的中点，E为中点，
则，所以为二面角的平面角
所以．
因为为直角三角形，E为中点，
所以点为的外接圆的圆心，
设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．
则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，
，
所以,，
∴．
所以，
故选：C.
40．B
【分析】由题作出图形，易得外接圆圆心在中点，结合正弦定理可求外接圆半径，结合图形知，，再结合二面角大小求出，进而得解.
【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，
又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，
故选：B
41．
【分析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设为的中点，为三棱锥外接球的球心，则为外接圆的圆心，平面，，设，根据求出的范围，从而可求得半径的范围.
【详解】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
设为的中点，为三棱锥外接球的球心，
则为外接圆的圆心，平面，，
设，
则，
所以，
化简得，
所以，
所以球的半径.
故答案为：.
42．B
【分析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体外接球的直径．
【详解】取，则是长方体，
其对角线长为，
∴四面体外接球半径为．
，
故选：B．
43．B
【分析】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，根据得到，从而得到四棱锥外接球的直径得到答案．
【详解】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
则，，，
于是，
则，∴，四棱锥外接球直径为，故其表面积为．
故选：B.

【点睛】本题考查了求内接四棱锥的问题，关键点是建立空间直角坐标系，考查了学生的空间想象能力和计算能力.
44．C
【分析】先将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，由题目条件分析出点P的轨迹方程，再有三棱锥的外接球的球心满足，找到球心满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决问题.
【详解】
如图，将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，
由，由面，可知P点在面上，
又，面，所以为直角三角形，
故，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在上的圆，
设点，则 —①，
因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心在直线上，
设点，由，得—②，
联立①②得：，
设过点和点的直线斜率为，则，
由直线与圆相切，可得，
则，所以，所以．
故选：C
45．B
【分析】先求得台体的高，然后利用勾股定理列方程，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】设外接球球心为，等边三角形的外心为，等边三角形的外心为，
三点共线，则是正三棱台的高，
设台体的高为，设外接球的半径为，
过作，垂足为，根据正棱台的性质可知，
所以平面，平面，所以，
设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.
设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.
在直角三角形中，，
所以.
当球心O在线段上，则，解得，
当球心O在的延长线上时，则，无解，
所以正三棱台的外接球表面积为.

故选：B
46．C
【分析】设球心到圆锥底面的距离为，由题设可得关于的方程，求出其解后可得球的半径，从而可求其表面积.
【详解】因为，故球心在圆锥的内部且在高上，
设球心到圆锥底面的距离为，
则有，解得，则圆半径，
表面积.
故选：C
47．C
【分析】先求出圆台的高及上下底面半径，设出外接球半径，由勾股定理解出半径，再由表面积公式求解即可.
【详解】
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则；
设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，易得圆台两底面在球心同侧，则，且，
解得，则该圆台外接球的表面积为.
故选：C.
48．D
【分析】设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，利用三角函数求出圆柱的表面积的最大值，即可求出球的表面积与圆柱的表面积之差.
【详解】如图.
设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，则，，
圆柱的高，
圆柱的侧面积为，
当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，为，
球的表面积与圆柱的表面积之差为.
故选：D．
49．
【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可.
【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.
则由题意可得：，
.
因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.
故答案为：
50．##
【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解．
【详解】如图所示：
依题意得 ，
底面的外接圆半径为，
点到平面的距离为 ，
所以 ，
所以
设球的半径为，所以
则，得
设球的半径为，则，又 得
所以球的表面积为
故答案为：.
51．
【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可.
【详解】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，

设该内切球的球心为，内切球的半径为，为切点，
所以，，
由已知得，，
所以，在中，，即，解得，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为：.
52．##
【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可.
【详解】中，，，，
由余弦定理得，
则折成的三棱锥中，，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，

设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为，
则，解得，
又因为三棱锥是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维的体积为，
又三棱锥四个侧面是全等的，
故三棱锥的表面积为，
设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故，故内切球表面积为.
故答案为：
53．A
【分析】将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，即可求解.
【详解】由，，将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，，正方体的棱长为，则正四面体棱长为，高，，
故选:A．
54．
【分析】由球与正方体的各棱相切可得球的半径，从而可求其表面积.
【详解】过正方体的对角面作截面如图，故球的半径，
其表面积．
故答案为：.

55．
【分析】将三棱锥补全为正方体，各条棱分别为正方体各面的对角线，由此确定正方体内切球即为所求的球，由此可确定球的半径，从而得到所求的球的体积.
【详解】将三棱锥补全为正方体，如下图所示：
则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球，
设正方体棱长为，则，解得：，
所求的球的半径，球的体积.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过将三棱锥补全为正方体，确定正方体的内切球即为所求的球.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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