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第四单元比例（单元复习讲义）
（知识梳理+精讲例题+专项练习）
知识点一：图像的放大和缩小
理解掌握：
把图形按1：n的比缩小，就是把图形的每条边都放大到原来的1/n；
把图形按n：1的比放大，就是把图形的每条边都缩小到原来的n倍。
知识点二：比例的意义
理解掌握：
1、比例：表示两个比相等的式子。任何一个比例都是由两个内项和两个外项组成。
2、比和比例的区别：
（1）比是表示两个数相除的关系。比例是表示两个比相等的关系。
（2）比由两项组成（前项、后项）。比例由四项组成（两个内项、两个外项）。
知识点三：应用比的含义组成比例
理解掌握：
判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不想等， 则不能组成比例。
知识点四：比例的基本性质
理解掌握：
比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
若a:b=c:d，那么ad=bc。
若用分数表示比a/b=c/d，那么ad=bc。------十字交叉法
知识点五：解比例
理解掌握：
解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出另外一项。
例1： 5:8=x:16 1/9 : 1/4 =x:18
8x=5×16 4:9 =x:18
x=10 9x =4×18
x =8
知识点六：用比例解应用题
解题方法：审题列出比例等量关系式------设未知数列出比例方程------解比例并检验写答
例1：A、B两种商品的价格比是5：3，如果它们的价格分别上涨了420元后，价格比是6：5。那么A商品原来多少元？
解析：本题中告诉我们A、B两种商品涨价前后的价格比，利用比例的基本性质可以得到等量关系是：
（A商品原来的价格+420元）：（B商品原来的价格+420元）=6：5
利用比例基本性质，设A商品原来的价格是5x元，B商品原来的价格是3x元 列出比例方程
（5x+420）：（3x+420）=6：5
（5x+420）×5 =（3x+420）×6------比例基本性质
25x+2100 =18x+2520------乘法分配率
25x-18x=2520-2100------等式基本性质
x =60
5×60=300元
答：A商品原来300元。
知识点七：比例尺的意义
理解掌握：
比例尺就是图上距离与实际距离的比。 图上距离是比的前项，实际距离是比的后项，比例尺是一个最简单的整数比。
相关公式：（1）比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=比例尺×实际距离
实际距离=图上距离÷比例尺
知识点八：比例尺的应用
理解掌握：
（1）注意比例尺的前后单位是否统一。一般比例尺的单位是厘米，而题目往往会给出以千米做单位的比例 尺。如1：40千米=1：4000000厘米
（2）因为图上距离是比例的前项，实际距离是比例的后项，所以当比例尺的图上距离大于实际距离时，表示设计图纸大于实际物体，如比例尺是10：1（经常在精密仪器、化学领域中出现）；当比例尺的图上距离小于实际距离时，表示设计图纸小于实际物体，如比例尺1：100（比如设计一栋教学楼）。
【例题一】在比例尺是1∶8的图纸上，甲、乙两个圆的半径比是2∶3，那么甲、乙两个圆的实际面积比是（　　）。
A．1∶8 B．4∶9 C．2∶3 D．1∶12
【分析】设图纸上甲的半径为2r，则乙的半径为3r。根据比例尺，表示出实际两个圆的半径，再根据圆的面积公式分别求出两个圆实际的面积，最后把两个圆实际面积比化到最简即可。
【详解】设图纸上甲的半径为2r，则乙的半径为3r。实际甲的半径是2r×8=16r，甲的面积是π（16r）2乙的半径是3r×8=24r，乙的面积是π（24r）2。甲、乙两个圆的实际面积比是π（16r）2∶π（24r）2，化简得4∶9。
故答案为B。
【分析】在比例尺的图纸上，无论比例尺是多少，两个圆的实际面积比=两个圆半径平方的比。
【例题二】如图，一列货车和一列客车同时从甲、乙两地相向而行，2小时后相遇。已知客车每小时行78千米，货车每小时行多少千米？
【分析】根据线段比例尺可以看出，图上1厘米等于实际60千米，从甲到乙一共6个线段长度，也就是5×60＝300千米，然后用总路程除以相遇时间，再减去客车速度，即是货车速度。
【详解】总路程：5×60＝300（千米）
300÷2－78
＝150－78
＝72（千米）
答：货车每小时行72千米。
【分析】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程。
【例题三】甲、乙两城相距420千米，在一幅地图上量得甲、乙两城的距离是6厘米，在这幅地图上还量得甲、丙两城的距离是10厘米。甲、丙两城之间的实际距离是多少千米？
【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，求出这幅地图的比例尺，再根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，即可求出甲、丙两城之间的实际距离。
【详解】420千米＝42000000厘米
6∶42000000＝1∶7000000
10÷＝70000000（厘米）
70000000厘米＝700千米
答：甲、丙两城之间的实际距离是700千米。
【分析】本题考查比例尺的应用，解答本题的关键是求出这幅地图的比例尺。
一、选择题
1．下面（ ）和能够组成比例。
A．5∶4 B．20∶1 C．1∶20
2．下列说法中，正确的有（ ）句。
（1）钟面上，分针与时针转动的速度比是60︰1。
（2）0既不是正数也不是负数。
（3）将一张正方形纸连续对折2次，展开后其中一份是这张纸的。
（4）一根圆木锯成5段要8分钟，照这样计算，如果锯成10段需要16分钟。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下面（ ）组中的两个比不可以组成比例。
A．3∶9和5∶7 B．5∶8和 C．和12∶3
4．一个长方形操场长108米，宽64米，画在练习本上，选（ ）比例尺合适。
A． B． C．
5．把比例尺，改写成数值比例尺是（ ）。
A．1∶30 B．1∶900000 C．1∶3000000 D．
6．下面不能与、、2组成比例的是（ ）。
A． B． C． D．3
二、填空题
7．已知甲数和乙数的比是4∶3，乙数是45，甲数是( )。
8．在一个比例中，两个外项的积是最大的一位数，其中一个内项是2.7，则另一个内项是( )。
9．如果＝y，那么x与y成( )比例，如果x＋y＝6，那么x和y( )比例。（x、y不为0）
10．一条公路长95千米，已修的长度和未修的长度( )比例。
11．甲乙两地间的实际距离是250千米，在一幅地图上量的甲乙两地的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是( )。
12．，则( )，如果，则( )。
13．在比例尺为1∶2000000地图上，量得甲、乙两地间的距离是1.2厘米，甲、乙两地间的实际距离是( )千米。在另一幅地图上，甲、乙两地间的距离是6厘米，另一幅地图的比例尺是( )。
三、判断题
14．在农业生产中，粮食、棉花、蔬菜等农作物的收成，常用“成数”来表示，“八成五”用百分数表示就是85%。( )
15．在6x＝8y中，x：y＝6：8。( )
16．一幅图的比例尺为100∶1，表示实际距离是图上距离的100倍。( )
17．已知∶a＝b∶5，则a、b互为倒数。( )
18．李明在电脑上把长6厘米、宽4厘米的照片按比例放大，放大后照片宽9厘米，长x厘米，根据以上条件列比例为x∶4=9∶6。( )
19．一张长方形照片放大后与放大前的长和宽的比一定能组成比例。 ( )
四、计算题
20．解方程。
x－25%x＝3 0.3x－4.4＝1
五、作图题
21．把平行四边形按1∶2的比缩小，画出缩小后的图形，再按2∶1的比画出梯形放大后的图形。
六、解答题
22．小明用240毫升的酸梅原汁加水调制了600毫升酸梅汤，妈妈说，当酸梅汤原汁和水的比是3：7时，口感最佳。为了使调制的酸梅汤口感最佳，小明应再往酸梅汤中加水多少毫升？
23．下面是小明从家坐出租车去展览馆的路线图，已知出租车在3千米以内(含3千米)按起步价9元计算，以后每增加1千米，车费就增加2.4元．请你按图中提供的信息算一算，小明从家到展览馆要付多少元车费？
24．在比例尺是的地图上，量得从甲地到乙地的图上距离是1.5cm，甲、乙两地的实际距离是多少千米？
25．今年三毛和二毛的年龄比是7∶5，五年后，三毛与二毛的年龄比是13∶10，问两人今年各几岁？
26．如图所示，小明家到学校的路线图上距离为6厘米，书店到学校的路线图上距离为3.2厘米，且两路线所成夹角的度数是120°.
（1）请说出学校在小明家的什么方向上？
（2）如果从小明家到学校需要15分钟，从学校到书店需要10分钟，求由小明家经过学校到书店的平均速度？
（3）若电影院距离学校500米，位置刚好在学校的北偏东方向，并且路线与学校到小明家的路垂直，请你在图中画出学校到电影院的路线，并标出电影院的位置．
27．按要求完成下面各题。
①在方格图中有一个直角三角形，其中两个锐角的顶点分别在A（5，7）和B（1，3），那么直角的顶点C的位置可以是（ ）。
②把三角形绕点A按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形。
③把三角形按1∶2的比缩小，在合适的位置画出缩小后的图形。缩小后三角形的面积是原来面积的。
28．汾河是山西的“母亲河”，也是黄河的第二大支流。为了“让一泓清水入黄河”，人们在汾河周边植树造林。已知甲队植树棵数的正好等于乙队植树棵数的，请求出甲队和乙队植树棵数的最简整数比，把你的方法写在下面。
29．“神舟十号”载人飞船返回舱着落在内蒙古的四子王旗。在比例尺是1∶2000000的地图上，量得四子王旗与北京的距离是22.5厘米。张叔叔乘一辆汽车从北京出发到四子王旗迎接“神舟十号”航天员，每小时行驶60千米，几小时可以到达？
参考答案：
1．C
【分析】根据比例的意义，只有两个比的相等的式子叫作比例，据此解答。
【详解】
A．，不能与组成比例；
B．，不能与组成比例；
C．，能与组成比例；
故答案为：C
【分析】此题考查了比例的意义，只有两个比的比值相等的才可能组成比例。
2．B
【详解】略
3．B
【分析】根据比例的基本性质：内项积＝外项积，符合公式的则成比例，否则不成比例；
【详解】A．6∶8和12∶16；6×16＝8×12；可以组成比例；
B．3∶9和5∶7，3×7≠9×5；不可以组成比例；
C．5∶8和∶，5×＝8×，可以组成比例；
D．∶和12∶3，×12＝×3；可以组成比例；
故答案为：B
【分析】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。
4．B
【分析】根据“操场的长是108米，宽是64米，”把长和宽化成以厘米作单位，再根据比例尺的意义，求出相应的图上距离，即可判断用哪种比例尺比较合适。
【详解】108米＝10800厘米；64米＝6400厘米
A．10800×＝54（厘米），图上距离太大不合适。
B．10800×＝5.4（厘米），6400×＝3.2（厘米），图上距离较合适。
C．10800×＝0.54（厘米），图上距离太小不合适。
故选择：B
【分析】此题主要考查了比例尺的意义，及选择合适的比例尺作图。
5．C
【分析】根据这个线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离30千米，即3000000厘米。根据图上距离∶实际距离＝比例尺，即可改写成数值比例尺。
【详解】30千米＝3000000厘米
则这个线段比例尺改写成数值比例尺是1∶3000000。
故答案为：C
【分析】掌握线段比例尺和数值比例尺的意义是解题的关键。
6．D
【分析】根据比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积；据此从三个选项中选出一个数，看看能否写出等式即可得解。
【详解】A．×＝×2
B．×＝×2
C．×2＝×
D．无法构成等式。
故答案为：D
【分析】此题考查比例性质的灵活运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积。
7．60
【分析】根据比例的意义，设甲数是x，直接列比例解答即可。
【详解】解：设甲数是x。
4∶3=x∶45
x=60
【分析】本题主要考查比的应用，注意甲数和乙数的比是4∶3，甲数在比号前面，乙数在比号后面。
8．
【分析】根据两个内项之积＝两个外项的积，最大的一位数是9，以此解答即可。
【详解】9÷2.7＝
【分析】此题主要考查学生对比例的基本性质的理解与应用。
9． 正 不成
【分析】根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，进行辨识即可。
【详解】＝y，可得x÷y＝8，所以x与y成正比例；x＋y＝6，是和一定，所以x和y不成比例。
【分析】本题考查了辨识正比例和反比例的量，商一定是正比例，积一定是反比例。
10．不成
【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例。
【详解】因为已修的长度＋未修的长度＝一条路的长度（一定），不符合反比例的意义，
所以已修的长度和未修的长度不成反比例。
【分析】本题主要考查正、反比例的判定，解题的关键是牢记判定方法。
11．1∶5000000
【详解】略
12． 5∶7 10
【分析】根据比例的基本性质：内项积＝外项积，即a和是外项，b和是内项，据此写出比例，再化简即可；把b＝14代入，即a＝×14，根据等式的性质2，等式两边同时除以即可求出a的值。
【详解】由分析可知：
则a∶b＝∶
∶
＝（×35）∶（×35）
＝5∶7
所以a∶b＝5∶7
当b＝14时
14×÷
＝2÷
＝2×5
＝10
，则a∶b＝5∶7，如果b＝14，则a＝10。
【分析】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握它的基本性质并灵活运用。
13． 24 1∶400000
【分析】先通过图上距离÷比例尺＝实际距离，求出实际距离，再通过比例尺＝图上距离∶实际距离即可求解。
【详解】甲、乙两地间的实际距离：1.2÷＝1.2×2000000＝2400000（厘米），
2400000厘米＝24千米；
另一幅地图的比例尺：6∶2400000＝（6÷6）∶（2400000÷6）＝1∶400000。
【分析】此题需熟练掌握图上距离、实际距离以及比例尺之间的关系。
14．√
【分析】根据“成数”、“折扣”和百分数之间的关系：几成即十分之几、百分之几十，几成几就是百分之几十几。
【详解】农业生产中常用成数来表示产量，成数越大，说明产量越高；几成就是十分之几、百分之几十，“八成五”用百分数表示为85%，所以题目描述正确。
故答案为：√。
【分析】本题主要考查了对成数的理解，几成就是十分之几或者百分之几十。
15．×
【分析】根据比例的基本性质，把两个内项的积等于两个外项的积的形式，进一步改写成比例的形式，再做判断。
【详解】在6x＝8y中，则有x：y＝8：6，题目描述错误。
故答案为：×。
【分析】本题主要考查比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。
16．×
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，所以一幅图的比例尺为100∶1，就是图上100厘米表示实际1厘米，据此分析判断。
【详解】一幅图的比例尺为100∶1，就是图上100厘米表示实际1厘米，
所以一幅图的比例尺为100∶1，表示实际距离是图上距离的100倍，这是错误的；
故答案为错误。
【分析】本题主要考查比例尺的意义，100∶1为放大比例尺。
17．√
【分析】乘积是1的两个数互为倒数，已知∶a＝b∶5，则ab＝×5＝1；据此判断。
【详解】由分析得：
ab＝×5＝1
所以a、b互为倒数，原题说法正确。
故答案为：√
【分析】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。
18．×
【分析】根据“图形放大或缩小后，对应边长的比相等”，列出比例即可。
【详解】长边放大前后的比是：6∶x；宽边放大前后的比是：4∶9；
列比例为：6∶x ＝4∶9
故答案为：×
【分析】本题主要考查图形放大与缩小，牢记“图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等。”可以快速解题。
19．√
【详解】略
20．x＝4；x＝18；
【分析】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式，（2）等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；
比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答。
【详解】x－25%x＝3
解：75%x＝3
x＝4
0.3x－4.4＝1
解：0.3x＝5.4
x＝18
解：
21．图见详解
【分析】把平行四边形的底和高分别缩小到原来的 ，画出缩小后的图即可；把梯形的上下底和高分别扩大2倍，画出放大后的图形即可。
【详解】作图如下：
【分析】此题考查了图形的放大与缩小，注意是对应边的放大与缩小。
22．200毫升
【分析】根据酸梅汤原汁和水的比是3∶7，可设需要加水x毫升，列出比例240∶（600－240＋x）＝3∶7计算求解即可。
【详解】解：设需要加水x毫升，
240∶（600－240＋x）＝3∶7
（360＋x）×3＝240×7
1080＋3x＝1680
1080＋3x－1080＝1680－1080
3x＝600
3x÷3＝600÷3
x＝200；
答：小明应再往酸梅汤中加水200毫升。
【分析】当酸梅汤原汁和水的比是3∶7时，关键为“酸梅原汁的质量不变”，只是改变水的质量。
23．25.8元
【详解】(3＋1)×250000÷100000＝10(千米)
9＋(10－3)×2.4＝25.8(元)
答：小明从家到展览馆要付25.8元车费．
24．1800千米
【分析】要求甲、乙两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可。
【详解】（厘米）
180000000厘米千米
答：甲、乙两地的实际距离是1800千米。
【分析】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。
25．21岁；15岁
【分析】设今年三毛7x岁，二毛5x岁，根据（三毛今年年龄＋5）∶（二毛今年年龄＋5）＝13∶10，列出比例求出x的值，再根据x的值求出7x和5x的值，就是三毛和二毛年龄。
【详解】解：设今年三毛7x岁，二毛5x岁。
（7x＋5）∶（5x＋5）＝13∶10
10（7x＋5）＝13（5x＋5）
70x＋50＝65x＋65
5x÷5＝15÷5
x＝3
7×3＝21（岁）
5×3＝15（岁）
答：今年三毛21岁，二毛15岁。
【分析】关键是找到比例关系，用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。
26．（1）学校在小明家的东偏南60方向上 （2）92米分
（3）
【分析】（1）以小明家为观测点，画出横纵坐标，再在学校画出横纵坐标即可得到学校在小明家的什么方向上.
（2）根据实际距离＝图上距离除以比例尺先算出从小明家到学校和从学校到书店的实际距离，再算出从小明家到学校再到书店的总路程，算出从小明家到学校再到书店的所用的总时间，用总路程除以总时间即可得到平均速度．
（3）根据图上距离＝实际距离乘比例尺先算出学校与电影院的图上距离，再根据地图上的方向确定学校与电影院的方向，即可在图上找到电影院的位置．
【详解】（1）学校在小明家的东偏南60方向上．
（2）6÷＝150000厘米＝1500米
3.2÷＝80000厘米＝800米
（1500＋800）÷（15＋10）＝92米分
（3）
27．①（5或1，3或7）；
②见详解
③
【分析】①根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可在网格图中描出点A（5，7）和点B（1，3）的位置；根据直角三角形的特征，即可确定直角顶点C所在列与行，然后用数对表示出来。
②根据旋转的特征，三角形ABC绕点A逆时针旋转90°，点A的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。
③根据图形放大与缩小的意义，把三角形ABC的两直角边均缩小到原来的，所得到的三角形就是原三角形按1∶2缩小后的图形。根据三角形面积计算公式“S＝ah÷2”即可分别计算出缩小后三角形的面积、原三角形的面积，再用缩小后三角形的面积除以原三角形的面积。
【详解】①在方格图中两一个直角三角形，其中两个锐角的顶点分别在A（5，7）和B（1，3），那么直角的顶点C的位置可以是（5或1，3或7）（下图红色部分）。
②把三角形绕点A按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图形（下图绿色部分）。
③把三角形按1∶2的比缩小，在合适的位置画出缩小后的图形（下图蓝色部分）。缩小后三角形的面积是原来面积的：
（2×2÷2）÷（4×4÷2）
＝2÷8
＝
或
【分析】此题考查的知识点：数对与位置、作旋转一定度数后的图形、图形的放大与缩小、三角形面积的计算等。
28．（方法见详解）
【分析】根据题意可知，甲队棵数×＝乙队棵数×，即甲队棵数∶乙队棵数＝，化为最简整数比即可解答。
【详解】根据题意可知，甲队棵数×＝乙队棵数×
所以，甲队棵数∶乙队棵数＝
答：甲队和乙队植树的棵树的最简整数比为。
29．7.5小时
【详解】22.5÷ =45000000（厘米）
45000000厘米=450千米
450÷60=7.5（小时）

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