资源简介

长方体和正方体
知识盘点
知识点1长方体和正方体的认识
1、长方体和正方体都有6个面，12条棱和8个顶点
2、长方体相对的面完全相同，正方体的6个面完全相同
3、长方体的棱分为3组:长、宽、高，每组棱的长度相等；正方体所有的棱长度都相等
知识点2：长方体和正方体的表面积
1、表面积：物体表面的面积总和。
2、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用字母可表示为S＝2（ab＋ah＋bh）
正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用字母可表示为S＝6a2
知识点3：体积的认识
1、体积：物体所占空间的大小。
2、常用的体积单位:立方厘米、立方分米、立方米
3、体积单位之间是进率：立方米、立方分米、立方厘米：每相邻两个体积单位
间的进率是1000。
4、体积单位间的换算：1立方米＝1000立方分米（1m3＝1000dm3）
1立方分米＝1000立方厘米（1dm3＝1000cm3）
知识点4：长方体和正方体的体积
1、长方体的体积＝长×宽×高，用字母可表示为V＝abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用字母可表示为V＝a
2、求不规则物体的体积：用排水法求体积时，要把不规则物体浸没在水中
知识点5：容积的认识
1、容积：容器所能容纳物体的体积
2、容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高
3、客积单位：升、毫升
4、容积单位间的换算:1升＝1000毫升（1L＝1000mL）
1升＝1立方分米（1L＝1dm3）1毫升＝1立方厘米（1mL＝1cm3）
易错集合
易错点1：长方体的棱长的应用
典例 如图示，有一个长60厘米，宽50厘米，高30厘米的长方体木箱，按图示用绳子捆扎，绳子的总长度是多少米？（接头处忽略不计）
解析 把绳子分为三类，长度分别与长方体的长、宽、高相等。由图知，与长相等的绳子有4根；与宽相等的绳子有6根，与高相等的绳子有6各边，所以绳子的总长度=长×4+宽×6+高×6
解答 60×4+50×6+30×6=720（厘米） 720厘米=7.2米
答：绳子总长为7.2米。
针对练习1
如图示，用绳子捆扎一个长方体的礼盒，接头处需要25厘米，求捆扎这个礼盒需要多长的绳子？
易错点2：倒推法解决正方体的棱长
典例 用一根铁丝做一个长8厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体框架。如果用这根铁丝改做成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少厘米？
解析 分析题意可知，铁丝的长度不变，即棱长总和不变，根据已知条件求出长方体的棱长总和，即为正方体的棱长总和，再求正方体的棱长。
解答 （8+7+3）×4=72（厘米） 72÷12=6（厘米）
答：正方体框架的棱长为6厘米。
针对练习2
用一根铁丝做了一个棱长是8厘米的正方体框架，如果把这个正方体框架改做成长8厘米，宽4厘米的长方体框架，求这个长方体框架的高是多少厘米？
易错点3：长方体、正方体表面积的实际应用
典例 一间教室长10米，宽8米，高3.6米，要粉刷教室的屋顶和四周墙壁。（门窗和黑板的面积为43.2平方米）求粉刷的面积是多少平方米？
解析 要给教室粉刷就是求教室的四周墙壁和屋顶的面积和，再减去门窗和黑板的面积即可。
解答 10×8+10×3.6×2+8×3.6×2-43.2=166.4（平方米）
答：粉刷的面积是166.4平方米。
针对练习3
做6节长1米的烟囱，口径是边长为2分米的正方形，需要多少平方米的铁皮？
易错点4：长方体、正方体切割后表面积问题
典例 把一个棱长为30厘米的正方体木块的八个角各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，剩下的立体图形的表面积是多少？
解析 将原正方体的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体后,减少的表面积正好被新增加的表面积所补充,因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积,根据正方体的表面积公式即可求解。
解答 30×30×6=5400（平方厘米）
答：剩下的立体图形的表面积是5400平方厘米。
针对练习4
如图示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米。宽为3厘米，高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？
易错点5：求不规则物体的体积
典例 在一个长120厘米，宽60厘米的长方体水箱里，浸没一块铁块，水面上升了2厘米，水未溢出。求铁块的体积。
解析 铁块完全浸没在水中，铁块的体积与水箱里水面上升的体积是一样的，所以铁块的体积等于水箱的底面积与上面上升高度的乘积。
解答 120×60×2=14400（立方厘米）
答：铁块的体积是14400立方厘米。
针对练习5
有一个长方体的鱼缸，从里面量长是30厘米，宽是20厘米，高是18厘米，里面水高10厘米。放入10条金鱼后，水面上升到11厘米，这10条金鱼的体积是多少立方厘米？
跟踪训练
一、选择题
1、一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的（ ）倍。
A、3 B、9 C、27
2、加工一个长方体的油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（ ）。
A、表面积 B、体积 C、容积
3、比较右图中甲乙的表面积（ ）。
A、甲＞乙 B、甲＜乙 C、甲=乙
4、将两个一样大的正方体，拼成一个长方体，总的表面积（ ）。
A、减少了 B、增加了 C、不变
5、一个热水瓶的容量估计大约是1.6（ ）。
A、m B、dm C、L D、mL
二、填空题
1、在下面的括号里填上合适的单位。
一瓶橙汁的容量大约是500（ ） 一个西瓜的体积大约是20（ ）
2、单位换算。
9.36dm =（ ）L=（ ）mL 450mL=（ ）cm =（ ）dm
3、（ ）个棱长是1厘米的小正方体，可以拼成一个长6厘米，宽5厘米，高
4厘米的长方体。
4、如右图示，这块石头的体积是（ ）cm 。
5、将30L的盐水装入容积是250mL的盐水瓶里，能装（ ）瓶。
三、判断题
1、长方体的6个面一定都是长方形。( )
2、一个物体的表面积比体积大。( )
3、把一块正方体的橡皮泥捏成一个长方体，体积没有变。( )
4、相邻连个体积单位之间的进率是1000。( )
5、物体的体积就是它的容积。（ ）
四、求下面图形的表面积和体积。
1、
2、
五、解答题
1、一种长方体铁皮通风管长3米，管口是边长为2分米的正方形，做20根这样的通风管只要需要多少平方米的铁皮？（接口忽略不计）
2、学校活动中心要油漆5根长方体的柱子（只粉刷珠子的侧面）柱子横截面是边长3分米的正方形，柱子高4米，每平方米的油漆需要4.5元。买油漆共要多少元？
3、一块长方形铁皮，长30厘米，宽20厘米，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成长方体的盒子，这个盒子的容积是多少？
4、一个底面长和宽都是2分米的长方体玻璃容器，里面装有5升水，将一个铁球浸没在水中，这时水深1.5分米。这个铁球的体积是多少？
5、一个油箱，从里面量，长是8分米，宽是3分米，高是25厘米。
（1）这个油箱最多能装多少升汽油？
（2）如果一辆汽车每千米耗油量是0.08L，这箱油最多可供车行驶多远？
参考答案
针对训练
针对训练1：12×2+15×2+8×4+25=111（cm）
答：捆扎这个礼盒至少需要111厘米的绳子。
针对训练2：8×12÷4-（8+4）=12（厘米）
答：这个长方体框架的高是12厘米。
针对训练3：2分米=0.2米 1×0.2×4×6=4.8（平方米）
答：做6节这样的烟囱需要4.8平方米的铁皮。
针对训练4：10×10×6=100×6=600(平方厘米)
答：剩下的几何体的表面积是600平方厘米。
针对训练5：30×20×（11-10）=600（cm ）
答：这10条金鱼的体积是600立方厘米。
跟踪训练
一、1、C
【解析】如果一个正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的体积就扩大到
原来的n3倍。
2、A 3、C
4、A
【解析】把两个同样大小的正方体拼成一个长方体，重合了2个面故表面积
比原来两个正方体的表面和减少了。
5、C
二、1、mL dm 2、9.36 9360 450 0.45
3、120【解析】6×5×4÷（1×1×1）=120（个）
4、23 【解析】78-55=23（mL） 23mL=23cm
5、120【解析】30升=30000毫升；30000÷250=120（瓶）
三、1、×
【解析】长方体的6个面一般情况下都是长方形，但特殊情况下，有两个相
对的面是正方形。
2、×
【解析】体积是指物体所炸空间的大小，表面积是物体表面的面积之和，它
们是两种不同的概念，所以它们两者无法进行大小比较。
3、√
【解析】橡皮泥由正方体变成长方体，只是形状发生了变化，橡皮泥的本身
既没增加，也没减少，所占的空间大小没有变，所以，体积不变。
4、√
【解析】相邻两个体积单位之间的进率是1000，说法正确，注意“相邻”不
能丢掉。
5、×
【解析】容积指的是物体内部空间的大小，也就是容器所能容纳物体的体积；
体积指的是物体自身所占空间的大小。计算容积时，数据要从物体里面测量；
计算体积时，数据要从物体外面测量。
四、1、表面积：4×4×6=96（cm ） 体积：4×4×4=64（cm ）
2、表面积：8×20×2+8×5×2+20×5×2=600（cm ）
体积：20×8×5=800（cm ）
五、1、2分米=0.2米 3×0.2×4=2.4（m ） 2.4×20=48（m ）
答：做20根这样的通风管只要需要48平方米的铁皮。
2、3分米=0.3米 0.3×4×4=4.8（平方米） 4.8×5×4.5=108（元）
答：买油漆共要108元。
3、（30-10）×（20-10）×5=1000（立方厘米）
答：这个盒子的容积是1000立方厘米。
4、5升=5立方分米
原来的水的高度：5÷（2×2）=1.25（分米），
升高的水的高度：1.5-1.25=0.25（分米）；
铁球的体积：2×2×0.25=1（立方分米）；
答：这个铁球的体积是1立方分米。
【解析】首先要明确：升高的那部分水的体积就等于铁球的体积，因此需要
先求出升高的水的高度，由原来有水5升，利用长方体的体积公式即可求出
原来的水的高度，用现在的水的高度减去原来的水的高度，就是升高的水的
高度，进而可以求出升高的那部分水的体积，问题即可得解。
5、（1）25厘米=2.5分米 8×3×2.5=60（立方分米） 60立方分米=60升
答：这个油箱最多能装60升汽油。
（2）60÷0.08=750（千米）
答：这箱油最多可以供汽车行驶750千米。

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