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圆柱与圆锥
知识盘点
知识点1：圆柱的认识
1、圆柱的特征：圆柱是由3个面围成的。它的上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。
2、圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆。圆柱的侧面是一个曲面，沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长（或边长）等于圆柱的底面周长，宽（或边长）等于圆柱的高。
知识点2：圆柱的表面积
1、圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示：S侧＝Ch。如果已知底面直径，底面周长的计算公式是C＝πd，圆柱的侧面积公式就是S侧 =dh；如果已知底面半径，底面周长的计算公式就是C＝2πr，圆柱的侧面积公式就是S侧=2πrh。
2.圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，用字母表示为S表＝Ch+2πr
知识点3：圆柱的体积
1、圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积。
2、圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，如果知道圆柱的底面半径r和高h，圆柱的体积公式就是V圆柱=πr h
3、在求不规则的物体的体积或容积时，可以利用转化思想，将其转化成规则图形进行计算。
知识点4：圆锥的认识
1、圆锥的特征：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的立体图形。圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。
2、圆锥高的测量方法：①把圆锥的底面水平放好；②把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面；③平板和底面之间的距离就是圆锥的高。
知识点5：圆锥的体积
1、圆锥的体积公式：V圆锥=Sh。已知圆锥的底面半径和高，可以直接利用公式
V圆锥=πr h来计算体积。
2、圆柱与圆锥的关系：
（1）等体积等高时，圆柱底面积是圆锥的，圆锥底面积是圆柱的3倍；
（2）等体积等底时，圆锥高是圆柱的3倍，圆柱高是圆锥的。
易错集合
易错点1：圆柱表面积的应用时，没有考虑实际情况
典例 如图，做一个这样的笔筒，底面直径是24厘米，高是30厘米，至少需要多少平方厘米的材料？
解析 观察图片可知，这个笔筒是圆柱形的，求需要的材料就是求这个笔筒的表面积。需要注意的是这个笔筒的表面积是由一个底面+一个侧面组成。
解答 半径：24÷2=12（厘米）
侧面积：3.14×24×30=2260.8（平方厘米）
底面积：3.14×12 =452.16（平方厘米）
2260.8+452.16=2712.96（平方厘米）
答：至少需要2712.96平方厘米的材料。
针对练习1
如图示，一台压路机的前轮是圆柱形的。滚筒长是1.2米，直径是0.5米，它转动10周压过的路面是多少平方米？
易错点2：求组合体图形的表面积，忽略被遮住的面积
典例 如图示，一根路边的路灯柱，要给它的表面刷上油漆，涂刷油漆的面积是多少平方米？（圆柱的下地面不刷漆）
解析 观察图示可知，长方体和圆柱重合的部分不需要刷油漆，所以算出长方体的表面积后需要减去圆柱的一个底面的面积。圆柱与底面接触的下地面不需要刷漆，所以只需要求出圆柱的侧面积即可。
解答 长方体的表面积：12×12×2+12×16×4=1056（平方厘米）
圆柱一个底面面积：3.14×（12÷2） =113.04（平方厘米）
圆柱的侧面积：3.14×12×55=2072.4（平方厘米）
刷漆的面积：1056-113.04+2072.4=3015.36（平方厘米）
3015.36平方厘米=0.301536平方米
答：涂刷油漆的面积是0.301536平方米。
针对练习2
如图示，将高都为1米，底面半径分别为1.5米，1米，0.5米的三个圆柱组合成一个物体，求这个组合体的表面积。
易错点3：圆柱纵切或横切导致表面积增加问题
典例 一根圆柱形木料，底面直径是40厘米，高是100厘米。把它切成两个小圆柱，表面积增加了多少平方厘米？
解析 将圆柱切成两个小圆柱，切面是两个圆，如下图示：
增加的面积就是两个这个圆柱的底面圆的面积，据此求解。
解答 3.14×（40÷2） ×2=2512（平方厘米）
答：表面积增加了2512平方厘米。
针对练习3
一根圆柱形的木料，底面直径是40厘米，高100厘米，如图示沿着底面直径垂直于底面把这个圆柱切成两个半圆柱，则表面积增加了多少平方厘米？
易错点4：圆柱的表面积和体积的综合问题
典例 已知一个圆柱的底面周长是6.28厘米，高是3厘米，求这个圆柱的体积。
解析 解答此题的关键是求出圆柱的底面积
解答 3.14×（6.28÷3.14÷2） ×3=9.42（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是9.42立方厘米。
针对练习4
一个圆柱形空心玻璃瓶，量得底面周长是6.28厘米，高是4厘米，这个玻璃瓶的容积是多少毫升？（厚度忽略不计）
易错点5：圆锥体积公式的应用
典例 天坛祈年殿塔的顶端近似于一个圆锥,它的底面周长是18.84米,高度是6米,求塔顶端的体积。
解析 塔顶端近似于一个圆锥，求塔顶端的体积，就是求圆锥的体积。计算时现根据公式S=π（C÷π÷2） 求出圆锥的底面积，再根据公式V=Sh求出圆锥的体积。
解答 圆锥的底面积：3.14×（18.84÷3.14÷2） =28.26（平方米）
圆锥的体积：×28.26×6=56.52（立方米）
答：塔顶端的体积是56.52立方米。
针对练习5
有一个圆锥形沙滩，它的占地面积是35平方米，高是2.4米。每立方米沙子的质量为1.5吨，那么这堆沙子有多重？
跟踪训练
一、选择题
1、一个高20厘米的圆柱，如果高增加2厘米，表面积就增加62.8平方厘米。原来这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。
A、1256 B、1570 C、1727
2、直径和高相等的圆柱，侧面沿着高剪开后是一个（ ）。
A、长方形 B、正方形 C、圆
3、一个圆柱的侧面积是62.8dm ，高是4分米，它的底面半径是（ ）dm。
A、2.5 B、5 C、10
4、24个完全相同的圆锥形实心铁块可以熔铸成（ ）个与它们等底、等高的圆柱形实心铁块。
A、4 B、8 C、12
5、有一个圆柱形的容器，高是2.4米，现在里面装满水，把一个与该容器等底等高的铁圆锥放入容器中，溢出的水的体积相当于容器容积的（ ）。
A、 B、 C、
二、填空题
1、把圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，它的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ）。
2、一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积大24立方分米，圆柱的体积是（ ），圆锥的体积是（ ）。
3、把2个完全一样的圆柱形钢材，熔铸成等底等高的圆锥，能熔铸成（ ）个。
4、把棱长3分米的正方体木块，切削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是（ ）立方分米。
5、一种圆柱形罐头食品包装如右图，侧面有一圈商标纸，商标纸的面积至少是（ ）平方厘米。
6、一个圆柱形水池，底面直径是20米，深是2米，这个水池占地面积是（ ）平方米，挖成这个水池共需要挖土（ ）立方米。
三、判断题
1、一个圆柱的侧面展开图一定是长方形。( )
2、计算制作一个水桶或一根通风管需要的铁皮的面积就是求圆柱的表面积。( )
3、圆柱的高不变，底面积直径扩大到原来的几倍，它的体积也扩大到原来的几倍。 ( )
4、任意一个圆锥都有无数条高。( )
5、圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ）
四、按要求完成练习。
1、看图计算出下面图形的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
2、求出下面图形的表面积。
（1）
（2）小圆柱直径是4厘米，高是2厘米；大圆柱直径是6厘米，高是5厘米。
五、解答题
1、一个圆锥形沙堆，底面积是37.68平方米，高0.6米，把这堆沙子铺入长为5米，宽为2米的长方形坑中，可以铺多厚？
2、一个内直径是8厘米的酱油瓶里，酱油的高是15厘米，如果将它倒置放平，空瓶部分的高度是10厘米，这个酱油瓶的容积是多少？
3、有一根底面直径是6厘米，长是15厘米的圆柱形钢材，要把它削成与它等底等高的圆锥形零件。要削去多少立方厘米的钢材？
4、一个用塑料膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个直径2米的半圆。如图示。
（1）这个大鹏的种植面积是多少平方米？
（2）覆盖在大棚上的塑料薄膜大约有多少平方米？
（4）大棚内的空间有多大？
参考答案
针对训练
针对训练1：3.14×0.5×1.2×10=18.84（平方米）
答：它转动10周压过的路面是18.84平方米。
针对训练2：
2×3.14×0.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×1.5×1+3.14×1.5 ×2 =32.97（平方米）
答：表面积为32.97平方米。
针对训练3：40×100×2=8000（平方厘米）
答：表面积增加8000平方厘米。
针对训练4：6.28÷3.14÷2=1（厘米） 3.14×1 ×4=12.56（立方厘米）
12.56立方厘米=12.56毫升
答：这个玻璃瓶的容积是12.56毫升。
针对训练5：35×2.4××1.5=42（吨）
答：这堆沙子有42吨重。
跟踪训练
一、1、B
【解析】62.8÷2=31.4(cm) 3.14×(31.4÷3.14÷2)2×20=1570(cm3)
2、A
【解析】圆柱的直径和高相等,那么底面周长一定比高长,那么沿高剪开后得
到的是一个长方形。
3、A
【解析】62.8÷4÷3.14÷2 =2.5(dm)
4、B
【解析】熔铸前后的体积不变，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的
3倍，所以3个相同的圆锥形铁块就能熔铸成一个与它等底等高的圆柱形实
心铁块，利用除法的意义求出24里面有几个3即可。
5、C
【解析】
二、1、底面周长 高 2、36 12 3、6 4、 7.065 5、251.2
6、5.314 628
三、1、×
【解析】本题忽略了沿高展开这个条件。只有沿着圆柱的高展开，侧面展示
图才是长方形（正方形是特殊的长方形）。如果不是沿高展开，而是沿着一
条倾斜的直线展开，那么侧面展开图是一个平行四边形。
2、×
【解析】因为水桶没有上地面，通风管两个底面都没有，所以计算制作一个
水桶或计算制作一根通风管需要的铁皮的面积并不是直接计算圆柱的表面
积。
3、×
【解析】圆柱的底面积直径扩大到原来的2倍，它的底面积就扩大到原来的
4倍。圆柱的高不变，根据公式V=Sh，圆柱的体积也扩大到原来的4倍。
4、×
【解析】圆锥的高是从圆锥的顶点到底面圆心的距离，因为圆锥只有一个顶
点和一个底面圆心，所有圆锥只有1条高。
5、×
【解析】只有等底、等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积才是圆柱体积的，否
则，它们之间的关机是不确定的。
四、1、（1）103.62（立方厘米）
（2）3.14×6 ×20-3.14×4 ×20=1256（立方厘米）
2、（1）3.14×8×10+3.14×（8÷2） ×2=351.68（平方厘米）
（2）3.14×（6÷2） ×2+3.14×6×5+3.14×4×2=175.84（平方厘米）
五、1、（平方米） 7.536÷（5×2）=0.7536（米）
答：可以铺厚度为0.7536米。
2、酱油的体积：3.14×（8÷2）2×15=753.6（毫升）
倒放时空余部分的体积：3.14×（8÷2）2×10=502.4（毫升）
瓶子的容积：753.6+502.4=1256（毫升）
答：这个酱油瓶的容积是1256毫升。
3、3.14×（6÷2） ×15×（1-）=282.6（立方厘米）
答：要削去钢材282.6立方厘米。
4、(1)15×2=30(平方米)。
答:这个大棚的种植面积是30平方米。
(2)3.14×2×15÷2+3.14×12=50.24(平方米)。
答:覆盖的薄膜约有50.24平方米。
(3)3.14×1 ×15÷2=23.55(立方米)。
答:大棚内的空间约有23.55立方米。

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