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正比例与反比例
知识盘点
知识点1：变化的量
生活中存在着大量互相依赖的变量，一个量变化，另一个量也随着变化。
知识点2：正比例
1、意义：①两个相关联的量，且一个量随着另一个量的变化而变化；
②相对应的两个量的比值（商）一定
2、关系式：（一定）
3、判断：两个相关联的量变化方向相同
两个相关联的量的比值一定
4、图象：经过原点的一条直线
知识点3：反比例
1、意义:①两个相关联的量，且一个量随着另一个量的变化而变化；
②相对应的两个量的积一定
2、关系式：（一定）
3、判断：两个相关联的量变化方向相反
两个相关联的量的积一定
4、图形：当两个变量呈反比例关系时，所绘成的图形时一条光滑的曲线。
易错集合
易错点1：变量及相关变量间的关系
典例 下图是一辆汽车行驶的路程和时间的图象。
（1）汽车2时行驶的路程是（ ）千米，行驶400千米用了（ ）时。
（2）图中有哪两个变化的量？
（3）说说路程是怎样随着时间的变化而变化的。
解析 观察图象，2时对应的路程是160千米，400千米对应的时间是5时。图中反映了时间和路程这两个变化的量，1时行驶80千米，2时行驶160千米，3时行驶240千米……所以路程随着时间的增加而增加。
解答 （1） 160 5
（2）图中的两个变化的量是路程和时间。
（3）路程随着时间的增加而增加。
针对练习1
圆柱形是被中水的高度和水的体积如下表。
水的高度/厘米 2 4 6 8 10 12
水的体积/立方厘米 50 100 150 200 250 300
（1）表中有哪两个变化的量？
（2）水的体积是怎样随着水的高度的变化而变化的？
易错点2：判断两个量是否成正比例
典例 一列火车行驶的时间与路程的变化情况如下表：
路程/千米 70 140 210 280 350 420 490 560 …
时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 …
（1）表中有哪两个量？它们是不是相关联的量？
（2）写出几组这两个量中相对应的两个数的比，并比较比值的
大小。说说这个比值表示什么。
（3）表中相关联的两个量成正比例吗？为什么？
解析 从表中数据可以看出，表中有路程和时间两个量，而且这两个量是相关联的量。因为路程是随着时间的变化而变化的。时间增加，路程也随着增加时间减少路程也随着减少。它们增加（减少）的规律是路程和时间的比值总是一定的如，，
，…比值70实际就是这列火车的速度。用式子表示它们之间的关系就是＝速度（一定）。
解答 （1）表中有路程和时间两个量，它们是相关联的量。
（2），比值都是79 ，它表示这列火车的速度。
（3）成正比例关系。因为速度（一定），所以路程和时间成正比例关系。
针对练习2
下表是橘子的总价和质量的情况。
总价/元 3.4 6.8 10.2
质量/千克 1 2 3 4 5 6
把表格补充完整，从中你发现了什么？橘子的总价和质量成正比例吗？
易错点3：画正比例图形
典例 一台织布机的织布时间和织布长度如下表示：
织布时间/时 1 2 3 4 5 6 7 8 …
织布长度/米 8 16 24 …
（1）把上面的表格补充完整。
（2）根据表中的数据，在下图中描出表中的数据，并连接各点，你发现了什么？
解析 这是一道关于正比例知识的应用体。（1）观察前三组数据可以发现，，，据此算出表格中的其他数据。
（2）图像横轴表示织布时间，纵轴表示织布长度，根据表格中的数级，描点、连线。观察图像可以看出，连起来后是一条直线。，也就是织布长度和织布时间之间成正比例关系。
解答 （1）32 40 56 64 （2）画图略，连起来后是一条直线。
针对练习3
如图示，一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成（ ）比例。照这样计算，5.5时行驶（ ）千米。
易错点4：反比例的应用和判断
典例 如下图示：抢运救灾物资的载重量和需要卡车的数量关系
卡车的载重量/吨 2 4 5 10
需要卡车的数量/辆 50 25 20 10
卡车的载重量和需要卡车的数量书否成反比例？
解析 卡车的载重量和需要卡车的数量是两种相关联的量，需要的卡车的数量随着卡车的载重量的变化面变化，且“卡车的载重量×需要卡车的数量一货物的总质量（100吨）”，因为货物的总质量不变，所以卡车的载重量和需要卡车的数量成反比例。
解答 卡车的载重量和需要卡车的数量成反比例。
针对练习4
给一间教室铺地砖，每块地砖的面积和地砖的数量如下表：
每块地砖的面积/dm 9 18 36 …
数量/块 600 300 150 …
（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小。
（3）表中相关联的两种量成反比例吗？为什么？
跟踪训练
一、选择题
1、在汽车每次运货吨数、运货次数和运货总吨数这三种数量中，成正比例关系的是（ ），成反比例关系的是（ ）。
A、汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数
B、汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数
C、汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数
2、因为24÷x=y，所以x和y（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
3、三角形的高一定，它的面积和底（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
4、一辆车的车轮转动的转数和所行的路程（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
5、圆锥的体积一定，底面积和高（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
二、填空题
1、两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之（ ）。当这两个量的（ ）
一定时，这两个量成正比例关系。
2、儿歌“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条
腿……”中青蛙的只数和对应的腿数成（ ）比例。
3、如果x=3y（x和y都不为0），那么x和y成（ ）比例，如果xy =3（x和
y都不为0），那么x和y成（ ）比例。
4、4：5=（ ）÷15==（ ）%
5、利用关系判断：（x、y≠0），y和x成（ ）比例。
三、判断题
1、妈妈8月1日花了10元买菜，随着时间的变化，8月2日妈妈也一定会花钱。
( )
2、总路程一定，已走的路程和剩下的路程成正比例。( )
3、图像成一条直线的两个变量成正比例关系。 ( )
4、长方形的周长一定，长和宽成反比例。( )
5、两个相关联的量，不是成正比例就是成反比例。（ ）
四、判断下面各题中的两个量成不成比例，成什么比例？并说明理由。
1、海水的出盐率一定，晒出盐的质量和海水的质量
2、梯形的面积一定，它的上底和下底
3、六年级全体同学队做操，每排人数与排成的排数
4、三八妇女节，学校为每位女教师购买了同等价钱的热水杯，需要的钱数和买热水杯的个数。
5、植树节，六年级同学植树，每班植树棵数相同，植树总棵树和六年级的班数。
五、解答题
1、下图中线段表示汽车行驶路程和耗油量的关系。
（1）汽车行驶了多少千米？耗油多少升？
（2）汽车行驶25km，耗油约多少升？
（3）汽车耗油4升，可行驶多少千米？
（4）汽车每行驶1km耗油多少升？
2、买笔记本的数量和钱数的关系如下表。
数量/本 0 1 2 3 4 5 6 7
总钱数/元 0 1.5 3 4.5 6 7.5
（1）将表格补充完整，根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。
（2）哪个量没变？数量和总价之间呈比例？
（3）从图中可以看出，如果买9本笔记本，需要多少元钱？
3、修一条水渠，每天修的长度和所需的天数如下表。
每天修的长度/m 10 20 30 40
需要的天数/天 30 15 10 7.5
（1）每天修的长度和所需要的天数有什么关系？
（2）如果每天修15m，修完这条水渠共需要多少天？
（3）修完这条水渠一共用了25天，每天修多少米？
4、右图表示甲车和乙车的行驶时间和路程的情况。
（1）甲车所行的路程和时间是否成正比例？乙车呢？
（2）从图像上看，甲车跑得快还是乙车跑得快？
（3）甲车和乙车18分各行驶了多少千米？
参考答案
针对训练
针对训练1：（1）水的高度和水的体积
（2）谁的体积随着水的高度增加而增加
针对训练2：13.6 17 20.4
橘子的总价和质量的比值是橘子的单价，单价一定；
橘子的总价和质量成正比例。
针对训练3：正 550
针对训练4：（1）每块地砖的面积与地砖的数量 是相关联的量
（2）9×600=18×300=36×150=5400 积相等
（3）成反比例 因为每块地砖的面积与地砖的数量的乘积一定，所
以成反比例关系。
跟踪训练
一、1、A、B C
【解析】A、因为：运货总吨数÷运货次数=每次运货吨数（一定），所以运
货次数和运货总吨数成正比例；B、因为：运货总吨数÷每次运货吨数=运货
次数（一定），所以每次运货的吨数和运货总吨数成正比例；C、因为：每次
运货的吨数和运货的次数=运货总吨数（一定），所以每次运货的吨数和运货
的次数成反比例。
2、B
【解析】因为24÷x=y，xy=24（一定），是x和y对应放入乘积一定，所以
是成反比例。
3、A【解析】三角形的面积=底×高÷2，高一定，底越大面积越大，所以面
积与底成正比例关系。
4、A【解析】所行的路程÷车轮转动的转数=车轮滚动一圈的距离。商一定
5、B【解析】圆锥的底面积×高=体积×3（一定），是乘积一定，圆锥的底
面积和高成反比例。
二、1、变化 比值 2、正 3、正 反 4、12 20 80
5、反
【解析】分析要想研究x、y的关系，必须明确x和y之间的运算关系，根
据，可以变式得到xy＝6×3＝18，18是一个确定的数，也就是x和y
的积一定，说明x和y成反比例。
三、1、×
【解析】花钱是一种随机现象，有需要就会花钱，没有需要就不会花钱，所
以花钱与日期之间不是一对相关联的量。相关联的量之间的关系是指一个量
变化，另一个量也随着变化，它不包括随机现象。
2、×
【解析】当两个相关联的变量的和一定时，容易错认为这两个变量成正比例
关系。因为“已走的路程＋剩下的路程=总路程”，这里是和一定，而不是比
值（商）一定，所以已走的路程和剩下的路程不成正比例。
3、×
【解析】成正比例的两个量的图形一定是一条直线，反过来说，成一条直线
的两个量不一定都成正比例关系。
4、×
【解析】虽然长和宽是两个相关联的量，且长方形的周长一定，但“长方形
的周长=（长+宽）×2”，这里的长和宽是加法运算关系，也就是它们的和一
定，而不是积一定，所以不成反比例。注意，此题中，长和宽也不成正比例
关系。
5、×
【解析】两种相关联的量中相对应的两个数，如果商一定，就成正比例关系；
如果积一定，就成反比例关系；如果不符合以上两种情况，则不成比例；所
以本题两种相关联的量，不成正比例，一定成反比例，说法错误。
四、1、成正比例 因为盐的质量÷海水的质量=出盐率（一定）
2、不成比例
3、成反比例 因为每排人数×拍成的排数=总人数（一定）
4、成正比例 因为需要的钱数÷水杯的个数=水杯的价格（一定）
5、成正比例 因为植树总棵树÷六年级的班数=每班植树的棵数（一定）
五、1、（1）汽车行驶了45千米，耗油6升。
（2）25×（6÷45）=（升）
答：汽车行驶25km，耗油约升。
（3）4×（45÷6）=30（千米）
答：汽车耗油4升，可行驶30千米。
（4）6÷45=（升）
答：汽车每行驶1km耗油升。
2、（1）9 10.5
（2）单价没有变，数量与总价之间成正比例．
（3）9×1.5=13.5（元）
答：需要13.5元。
3、（1）每天修的长度×需要的天数=水渠的长度（一定）
乘积一定，每天修的长度和需要的天数成反比例。
（2）10×30÷15=300÷15=20（天）
答：修完这条水渠共需要20天。
（3）10×30÷25=300÷25=12（米）
答：每天修12米。
4、（1）甲、乙两车所行的路程和时间都成正比例，因为他们行驶的速度是
一定的。
（2）甲车跑得快。
（3）甲车：24÷20×18=21.6（km） 乙车：24÷30×18=14.4（km）

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