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专题21 概率与统计的综合运用
【目录】
考点一：求概率及随机变量的分布列与期望
考点二：超几何分布与二项分布
考点三：概率与其它知识的交汇问题
考点四：期望与方差的实际应用
考点五：正态分布与标准正态分布
考点六：统计图表及数字特征
考点七：线性回归与非线性回归分析
考点八：独立性检验
考点九：与体育比赛规则有关的概率问题
考点十：决策型问题
考点十一：递推型概率命题
考点十二：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
考点十三：高等背景下的概统问题
概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等．
回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．
考点要求 考题统计 考情分析
统计图表及数字特征 2023年乙卷第17题，12分2023年II卷第19题，12分 2022年II卷第19题，12分 【命题预测】预测2024年高考，以解答题形式出现，具体估计为： （1）以解答题压轴题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养． （2）热点是与体育比赛规则有关的概率问题及高等背景下的概统问题.
期望与方差 2023年上海卷第19题，14分2023年I卷第21题，12分 2022年甲卷第19题，12分 2021年I卷第18题，12分
独立性检验 2023年甲卷第17题，12分2022年I卷第20题，12分
（一）涉及的概率知识层面
主要考查随机变量的概率分布与数学期望，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件还是独立重复试验，以便选择正确的计算方法，进行概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，也要掌握几种常见常考的概率分布模型：离散型有二项分布、超几何分布，连续型有正态分布．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，
1、离散型随机变量的期望与方差
一般地，若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的偏离程度，其算术平方根为随机变量的标准差．
（1）离散型随机变量的分布列的性质
①；②．
（2）均值与方差的性质
若，其中为常数，则也是随机变量，且
（3）分布列的求法
①与排列、组合有关分布列的求法．由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率， 再求出分布列．
③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
④与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
（4）常见的离散型随机变量的概率分布模型
①二项分布； ②超儿何分布．
2、常见的连续型概率分布模型
正态分布．
（二）概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力
1、与数列结合的实际问题
2、与函数导数结合的实际问题
3、与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题
4、与统计结合的实际问题
5、与其他背景结合的实际问题
（2023 乙卷）
1．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记，记的样本平均数为，样本方差为．
(1)求，；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
（2023 新高考Ⅱ）
2．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
（2023 甲卷）
3．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表
对照组
试验组
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
（2023 上海）
4．2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立；
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．
（2023 新高考Ⅰ）
5．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
（2022 新高考Ⅰ）
6．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（2022 新高考Ⅱ）
7．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
考点一：求概率及随机变量的分布列与期望
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
【例1】
（2024·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）
8．一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.
【变式1-1】
（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）
9．某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
(1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．
【变式1-2】
（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）
10．某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.
(1)求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；
(2)用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望.
考点二：超几何分布与二项分布
超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称为超几何分布列．
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．此时有．
【例2】
（2024·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）
11．假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；
②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
【变式2-1】
（2024·云南昆明·统考一模）
12．聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
【变式2-2】
（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）
13．为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）
考点三：概率与其它知识的交汇问题
在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：
1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．
2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．
【例3】
（2024·全国·模拟预测）
14．乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为，每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响．
(1)若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为，求乙每局比赛获胜的概率；
(2)若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为，求的分布列和数学期望，并求当为何值时，最大．
【变式3-1】
（2024·江苏南通·统考一模）
15．已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
(1)求概率的值；
(2)求的分布列，并求其数学期望．
【变式3-2】
（2023·广东·统考一模）
16．已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
（1）求概率的值；
（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.
考点四：期望与方差的实际应用
数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．
（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量的期望，当时，不应认为它们一定一样好，还需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．
（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．
【例4】
（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考阶段练习）
17．为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：
运动鞋款式 A B C D E
回访顾客（人数） 700 350 300 250 400
满意度
注：
1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）
【变式4-1】
（2024·山东潍坊·高三统考期末）
18．某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口.
(1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.
(2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.
【变式4-2】
（2024·北京海淀·高三统考期末）
19．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
考点五：正态分布与标准正态分布
解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴标准差分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为．
【例5】
（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）
20．某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.
(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
(2)甲 乙 丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，
【变式5-1】
（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）
21．某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成，，，，，6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间近似服从正态分布，试估计该地区高三学生数学学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在，内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在内的人数为变量X，求X的期望．
【变式5-2】
（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校联考模拟预测）
22．《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
考点六：统计图表及数字特征
1、制作频率分布直方图的步骤．
第一步：求极差，决定组数和组距，组距
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；
第四步：画频率分布直方图．
2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．
（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；
（2）直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距
（3）直方图中每组样本的频数为频率总体个数．
3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．
（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；
（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．
【例6】
23．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值；
(2)该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准；
(3)以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值.
【变式6-1】
（2024·全国·模拟预测）
24．当代大学生有着购物、精神、文化、社交等多元化需求，这些需求促进大学城商圈的发展．某媒体调查了全国各地大学城中数千名消费者在大学城里的月均消费额及月均消费次数，从中随机抽取500名消费者，把他们的月均消费额（单位：千元）按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图：
统计他们的月均消费次数，得到如下频数分布表：
月均消费次数 1 2 3 4 5 6 7 8
人数 40 60 80 120 120 50 20 10
(1)从全国各地大学城中随机抽取8000名消费者，估计这8000名消费者中月均消费额大于2000元的人数及样本中500名样本消费者的月均消费额的众数及平均数．
(2)从月均消费次数超过5次的样本消费者中按照月均消费次数分层抽样，从中抽取n个人，抽取的月均消费6次的人数比月均消费8次的多4人．
①求n的值；
②若从抽取的n个人中再随机抽取2个人给予礼品奖励，求这2人的月均消费次数不都是6次的概率．
【变式6-2】
（2024·北京·高三东直门中学校考阶段练习）
25．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由）
考点七：线性回归与非线性回归分析
线性回归分析的原理、方法和步骤：
（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．
（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．
（3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．
（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．
【例7】
（2024·河南三门峡·高三统考期末）
26．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
A区 B区 C区 D区
外来务工人数x/万 3 4 5 6
就地过年人数y/万 2.5 3 4 4.5
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程.
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.
①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；
②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，其中，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【变式7-1】
（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）
27．某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12
该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验．
参考公式：，．
(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；
(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．
①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程；
②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．
【变式7-2】
（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）
28．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1 10分别对应年份2013 2022.

根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中，.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型 并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
考点八：独立性检验
解独立性检验应用问题的注意事项．
（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题．
（2）在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．
（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．
（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．
【例8】
（2024·河南·模拟预测）
29．轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.
使用频率
偶尔1次 30 15 5 10
每周1~3次 40 40 30 50
每周4~6次 25 40 45 30
每天1次及以上 5 5 20 10
(1)若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，，求的分布列与期望；
(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：，.
附：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【变式8-1】
（2024·全国·高三专题练习）
30．例 某市近年来空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：
PM2.5指数
空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间内时对企业没有造成经济损失；当x在区间内时对企业造成的经济损失成直线模型；当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元；当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．
(1)试写出的表达式；
(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；
(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该市本年度空气重度污染是否与供暖有关．
非重度污染 重度污染 合计
供暖季
非供暖季
合计 100
附：
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中．
【变式8-2】
（2024·重庆·高三统考期末）
31．2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
(1)在100名受调人群中，得到如下数据：
年龄 了解程度
不了解 了解
30岁以下 16 24
50岁以上 16 44
根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
(2)调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：
①．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
②随机变量X，Y的期望满足：
考点九：与体育比赛规则有关的概率问题
1、在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用．
2、与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ．
3、在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．
4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．
【例9】
（2024·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）
32．甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
(1)求第4个回合甲发球的概率；
(2)设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.
【变式9-1】
（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试）
33．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
(1)求甲通过测试的概率；
(2)设为本次测试中乙的得分，求的分布列，
【变式9-2】
（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）
34．甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；
（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；
②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值.（参考公式）
考点十：决策型问题
求解决策型问题的求解流程为：
第一步：先确定函数关系式；
第二步：列出分布列，求出期望；
第三步：根据期望进行最后的决策．
【例10】
（2024·福建福州·高三福建师大附中校考阶段练习）
35．核酸检测也就是病毒和的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝 丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备份试验用血液标本，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果：份阳性，份阴性.若每次检测费用为元（为常数），记检测的总费用为元.
(1)当时，求的分布列和数学期望.
(2)以检测成本的期望值为依据，在与中选其一，应选哪个？
【变式10-1】
（2024·河北衡水·统考模拟预测）
36．随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝 微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码x 1 2 3 4 5
使用扫码支付的人次y(单位：万人) 5 12 16 19 21
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状 大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点的回归直线为相关数据：(其中.
【变式10-2】
（2024·全国·高三专题练习）
37．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．
(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；
(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
考点十一：递推型概率命题
递推型概率命题，综合性较强，主要有以下类型：
1、求通项公式：关键与找出概率或数学期望的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式.
2、求和：主要与数列中的倒序求和错位求和、裂项求和.
3、利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.
【例11】
（2024·全国·模拟预测）
38．在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立．
(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率；
(2)求第n次射击的人是乙的概率．
【变式11-1】
（2024·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）
39．某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
(1)求的值，并探究数列的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【变式11-2】
（2024·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习）
40．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求，和，；
(2)证明：为等比数列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
考点十二：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
【例12】
41．俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．
(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；
(2)求张老师当天穿西装的概率．
【变式12-1】
（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）
42．某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．
(1)若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．
(2)现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．
【变式12-2】
43．某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：
①用户选择甲公司的频率为，选择乙公司的频率为：
②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为；
③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为；
④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为.
将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.
(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.
(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.
考点十三：高等背景下的概统问题
高等背景下的概统问题，综合性较强，主要有以下类型：
1、马尔科夫链背景命题.
2、马尔科夫不等式与切比雪夫不等式背景命题.
3、最大似然估计背景命题.
4、卡兰特数背景命题
5、逻辑斯蒂方程背景命题
6、二维离散型随机变量背景命题
7、布尔代数背景命题
8、假设检验原理背景命题
【例13】
44．某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产.
(1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次品率为.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.
已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信.
【变式13-1】
（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）
45．统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
(1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
【变式13-2】
46．五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)，；
(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可；
（2）根据公式计算出的值，和比较大小即可.
【详解】（1），
，
，
的值分别为: ，
故
（2）由（1）知:，，故有,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
2．(1)，；
(2)，最小值为．
【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出；
（2）根据题意确定分段点，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得：，
．
（2）当时，
；
当时，
,
故，
所以在区间的最小值为．
3．(1)
(2)（i）；列联表见解析，（ii）能
【分析】（1）直接根据均值定义求解；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）试验组样本平均数为：
（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，
由原数据可得第11位数据为，后续依次为，
故第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
4．(1)，，事件和事件不独立．
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出.
（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可.
【详解】（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率，
若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即，
则，
，，
即事件和事件不独立．
（2）由题意知，，，
则外观和内饰均为同色的概率，
外观和内饰都异色的概率，
仅外观或仅内饰同色的概率，
，
，，，
则的分布列为：
150 300 600
则（元）．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．
6．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
【详解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
7．(1)岁；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：
,
则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
8．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则由题意可知事件包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果；
（2）由题意知可能的取值为，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望.
【详解】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，
则
故所求的概率为.
（2）由题意知可能的取值为，
则，
则的分布列为
0 2 4
9．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）由题意知，取值可能为，分别求出对应的概率，写出分布列，再由数学期望公式即可.
（2）由独立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出结果.
【详解】（1）取值可能为，
；
；
，
所以的分布列为
0 10
．
（2）由（1）可知在一局比赛中，乙获得10分的概率为，乙获得0分的概率为，乙获得分的概率为．
在3局比赛中，乙获得30分的概率为；
在3局比赛中，乙获得20分的概率为；
在3局比赛中，乙获得10分的概率为，
所以乙最终获胜的概率为．
10．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据甲选择建模与乙同学未选中建模的概率求解即可；
（2）由题意可能的取值有0，1，2，3，再分别分情况求解即可.
【详解】（1）由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为；
乙同学没有要求，则选中建模的概率为.
故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为.
（2）由（1）甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为，
由题意可能的取值有0，1，2，3，故
，
，
，
.
故的分布列：
0 1 2 3
11．(1)，，，
(2)①各组应该抽取的人数分别为3，4，5，6；②分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）结合题意及频数与频率，频率之和为1等知识建立方程组，计算即可;
（2）根据分层抽样的定义即可求得各组应该抽取的人数；根据古典概型概率公式结合组合数可求得分布列，进一步求得数学期望.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为，又因为第五小组的频数为2400，所以样本容量．
因为第六小组的频率为，所以第六小组的频数是．
由频率之和为1，得，所以．
因为频率分布直方图中的满足，
所以．
所以代入中，得，
得，解得．所以．
（2）①因为前4组的频率之比为，
且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
所以在应该抽取的人数分别是
．
②由题意，随机变量的所有可能取值是．则
故随机变量的分布列为
0 1 2 3
故随机变量的数学期望为．
12．(1)0.75
(2)6
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，则
，
.
（2）依题意，，，
当最大时，有
即解得：，，
故当最大时，.
13．(1)分布列见解析，数学期望为
(2)N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布
【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【详解】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人.
服从超几何分布，，
，，
，，
∴的分布列为
0 1 2 3
数学期望为.
（2），
，
由于，则，
即，
即，
由题意易知，
从而，
化简得，
又，于是.
由于函数在处有极小值，
从而当时单调递增，
又，.
因此当时，符合题意，
而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是.
即N至少为145，
我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
14．(1)
(2)分布列见解析，，当时，最大
【分析】（1）根据题意求出甲每局比赛获胜的概率，即可求得乙每局比赛获胜的概率；
（2）由题意知，的所有可能取值分别为，分别求出每种取值的概率得到分布列和期望，然后求导得单调性即可求最大值.
【详解】（1）设事件A为“前三局比赛中，甲至少嬴得一局比赛”，
则，
化简得，即，
所以或（舍去），
所以乙每局比赛获胜的概率为．
（2）由题意知，的所有可能取值分别为，
且，
，
．
则的分布列为
2 3 4
所以，，
令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以当且仅当时，最大．
15．(1) .
(2)分布列见解析，.
【详解】分析：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果；(2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．
详解：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，
共有种取法，其中的三角形如，
这类三角形共有个
因此.
（2）由题意，的可能取值为
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
因此
所以随机变量的概率分布列为：
所求数学期望
.
点睛：在解古典概型概率题时，首先把所求样本空间中基本事件的总数，其次所求概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率；求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.
16．（1）（2）见解析
【分析】（1）由题意，分别得出“从5个顶点中随机选取3个点构成三角形”和“”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；
（2）先由题意得到的可能取值，求出对应的概率，进而可得到分布列，求出期望.
【详解】解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，
共有种取法.其中的三角形如，
这类三角形共有个.
因此.
（2）由题意，的可能取值为，2，.
其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；
其中的三角形有两个，和.
因此，.
所以随机变量的概率分布列为：
2
所求数学期望
.
【点睛】本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及随机变量的分布列与期望的概念即可，属于常考题型.
17．(1)顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．
(2)的分布列见解答．的期望是1
(3)
【分析】（1）求出款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．
（2）的取值为0，1，2，设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，说明事件与相互独立．然后求解的概率，得到分布列，然后求解期望．
（3）由两点分布的方差公式计算比较与的大小．
【详解】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为，
故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．
（2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
且事件与相互独立．
根据题意，，．
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
0.24 0.52 0.24
的期望是：．（3）都服从两点分布，，，
，，
所以.
18．(1)应选择第一条路线，理由见解析
(2)
【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可比较，得出结论.
（2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解.
【详解】（1）应选择第一条路线，
理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、，
则，，
，，，
所以；
又，，，
所以；
因为，所以应选择第一条路线.
（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为，
所以；，
设随机变量，取值为，其概率分别为，且，
所以
，
又因为，所以.
19．(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率；
（2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望.
（3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系.
【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.
设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，
分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以的所有可能取值为0，1，2.
，，.
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，
而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以
，，
故.
20．(1)0.499
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记“至少有一人进入面试”，由正态分布可得，再根据对立事件和独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）由题意可得：的可能取值为，根据独立事件概率乘法公式求分布列，进而可得期望.
【详解】（1）记“至少有一人进入面试”，由已知得，
所以，
则，
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）由题意可得：的可能取值为，则：
，
，
，
，
可得随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以.
21．(1)
(2)1087人
(3)0.75
【分析】（1）由概率之和为1计算即可得；
（2）根据正态分布的性质计算即可得；
（3）结合分层抽样的性质与期望计算公式计算即可得.
【详解】（1）由题意得，解得；
（2）
则，
所以估计该地区高三学生数学学习时间在(8，9.48]内的人数约为1087人；
（3），对应的频率比为，即为3∶1，
所以抽取的8人中学习时间在，内的人数分别为6人，2人，
设从这8人中抽取的3人学习时间在内的人数为，
则的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以.
22．(1)；
(2)，.
【分析】（1）分析可得，由，解出的范围，即可得出结论；
（2）由可得出，计算得出，分析可知，利用二项分布的期望和方差公式可求得结果.
【详解】（1）解：由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为，
由且，可得，
由，可得，
估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分.
（2）解：若，则，，
由题意可知，
，.
23．(1)0.0625
(2)19.2
(3)12
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解.
（2）由频率分布直方图求第p百分位数的计算公式即可求解.
（3）设与各数据的差的平方和为，由题意得，利用二次函数性质即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图知，家庭月均用水量在中的频率为，
同理，在中的频率分别为.
由，解得；
（2）由（1）知，前4组的总频率为，
前5组的总频率为，所以，
所以根据百分位数的计算方法有，解得；
（3）设与各数据的差的平方和为，
则
，
由二次函数的性质知，当时，取得最小值，
故.
24．(1)960，750，1140
(2)①8；②
【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，从而即可求出月均消费额大于2000元的人数，根据频率分布直方图即可求出众数和平均数；
（2）①根据频数分布表即可求解；②利用分层抽样的定义，列举法及古典概型即可求解．
【详解】（1）由频率分布直方图可得500名样本消费者中月均消费额大于2000元的频率为，
所以这8000名消费者中月均消费额大于2000元的人数为，
500名样本消费者的月均消费额的众数为750元；
500名样本消费者的月均消费额的平均数为
（千元）（元）．
（2）①月均消费次数超过5次的样本消费者有80人，
由题意可得，解得．
②利用分层抽样抽取的8人中，
月均消费6次的有5人，分别记为，，，，，
月均消费7次的有2人，分别记为，，
月均消费8次的有1人，记为c，
从这8人中随机抽取2人，
所有可能的结果有，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，
，，，，，共28种，
其中这2人的月均消费次数不都是6次的结果有，，，，，，，
，，，，，，，，，，，共18种，
所以所求概率．
25．(1)
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）由题意，根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1，，能求出的值，进而估计出概率；
（2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列；
（3）求出的式子进行判断．
【详解】（1）由概率和为1得：，
解得；
（2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为：
人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
数学期望．
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在,内的概率为0.50，
从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，恰有名学生日平均阅读时间在,内的分布列服从二项分布，
，由组合数的性质可得时最大．
26．(1)y与x之间的线性相关程度非常强，
(2)①1750万元；②
【分析】（1）根据相关系数的绝对值越接近1，线性回归模型的拟合效果越好，即可以根据直接计算相关系数的值来判断与之间的线性相关程度的强弱；关于的线性回归方程直接用参考公式求解.
（2）（i）将代入（1）中的线性回归方程，即可求出E区就地过年的人数；
（ii）由X的所有可能取值为0，1，2，并分别求出相应的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出的取值范围.
【详解】（1））由题，，，
，
，
，
所以相关系数，
因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.
，，
故y关于x的线性回归方程为.
（2）①将代入，得，
故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.
②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
.
所以，
所以，
由，得，
又，所以，
故p的取值范围为.
27．(1)
(2)① ；②14人
【分析】（1）利用列举法求解，先列出从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况，然后找出其中2组数据都是20日的情况，然后利用古典概型的概率公式求解，
（2）①根据表中的数据和公式求出y关于x的线性回归方程，②把代入回归方程求解即可
【详解】（1）记6组依次为1，2，3，4，5，6，从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中2组数据都是20日，即都取自2，4，6组的情况有3种．
根据古典概型概率计算公式，剩余的2组数据都是20日的概率．
（2）①由所选数据，得，，
所以，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为．
②当时，，
所以某日的昼夜温差为7℃，预测当日就诊人数约为14人．
28．(1)选择模型②更适宜，理由见解析
(2)（i）；（ii）该公司2028年的年利润最大
【分析】（1）根据残差图确定；
（2）根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解；
【详解】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.
（2）（i）设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为
（ii）由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润L有最大值，
故该公司2028年的年利润最大.
29．(1)有关
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）根据频数分布表完善列联表，再计算的观测值并与临界值表比对作答.
（2）利用分层抽样求出8人中这两个年龄段的人数，求出的可能值及各个值及各个对应的概率，列出分布列并求出期望作答；
（3）利用全概率公式即可得解.
【详解】（1）补全的列联表如下：
青少年 中老年 合计
食用轻食频率低 125 95 220
食用轻食频率高 75 105 180
合计 200 200 400
所以，
所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
P
所以的数学期望为.
（3）记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件，
晚餐选择低卡甜品为事件，
则，，
所以，
所以小李晚餐选择低卡甜品的概率为.
30．(1)
(2)
(3)列联表见解析；认为该市本年度空气重度污染与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
【分析】（1）由题意列出分段函数即可得；
（2）由概率公式计算即可得；
（3）由题意得出列联表，计算出并与比较即可得.
【详解】（1）当时，设，当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元；
当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元，代入解得，即；
综上，可得
（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A，
由，即，
得，频数为，
故．
（3）根据题中数据得到如下2×2列联表：
非重度污染 重度污染 合计
供暖季 22 8 30
非供暖季 63 7 70
合计 85 15 100
零假设为：重度污染与供暖无关，
因为，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该市本年度空气重度污染与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
31．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）计算出参考独立性检验常用小概率值和相应临界值表比较可得答案；
（2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，求出、，由可得答案.
【详解】（1），
根据小概率值的独立性检验，
认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异；
（2）用分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，
则，所以，
则可取则，
所以，，，
所以，
由，
该受调者答对题目数量的期望为.
32．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分类讨论结合独立事件乘法公式计算即可；
（2）分情况讨论列出分布列并计算期望即可.
【详解】（1）由题可知，第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.
所以第3回合甲发球的概率为，
乙发球的概率为.
可得第4个回合甲发球的概率为.
故第4个回合甲发球的概率为；
（2）由题意可知：可以取1，2，3，4.
当时，；当时，；
当时，前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：
第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为.
第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为.
第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，其概率为.
故前4个回合甲发球两次的概率为；
当时，，
故的分布列为：
1 2 3 4
.
33．(1)
(2)分布列详见解析
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算方法，计算出甲通过测试的概率.
（2）的可能取值为，根据相互独立事件概率计算方法，计算出的分布列.
【详解】（1）甲通过测试包括种情况：
①第一次得分，第二次得分，概率为；
②第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为；
③第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为.
所以甲通过测试的概率为.
（2）的可能取值为，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
34．（1）；（2）①答案见解析；②.
【解析】（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，根据相互独立事件的概率公式，即可求解.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，求得相应的概率，得到分布列；②得到，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，
则
.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，
则，
，
，
，
，.
故的分布列如下图所示：
0 1 2 3 4 6
②，，
，，
∴，.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及数学期望，其中解答中熟记相互独立事件概率的计算公式，以及求得随机变量取值的概率，得到分布列是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
35．(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)时的方案更好一些
【分析】（1）分成份阳性在一组和份阳性各在一组两种情况，由此可确定检测次数及所有可能的取值，计算出每个取值对应的概率即可得到分布列，由数学期望公式可求得；
（2）与（1）的方法相同，计算出时检测费用的取值和对应概率，由此可得分布列，由数学期望公式可求得，根据可得结论.
【详解】（1）当时，共分组，
当份阳性在一组时，第一轮检测次，第二轮检测次，共检测次，
若份阳性各在一组，第一轮检测次，第二轮检测次，共检测次，
检测的总费用的所有可能值为，，任意检测有种等可能结果，份阳性在一组有种等可能结果，
，，
检测的总费用的分布列为：
数学期望.
（2）当时，共分组，当份阳性在一组，共检测次，
若份阳性各在一组，共检测次，
检测的总费用的所有可能值为，，
任意检测有种等可能结果，份阳性在一组有种等可能结果，
，，
检测的总费用的分布列为：
数学期望，
，时的方案更好一些.
36．（1）回归方程为，2021年该商场使用移动支付的有23万人次；（2）（i）分布列答案见解析，数学期望：(元)；（ii）小张选择方案二付款优惠力度更大.
【分析】（1）先求出，再选择数据代入求出，由求出，再将替换成即可求出y与x之间的回归方程，将2021年年份代号为6代入即可求解对应人次；
（2）（i）由题设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，结合超几何分布求出对应概率，列出分布列求出期望即可；
（ii）结合离散型随机变量公式求出方案二对应的付款期望值，与方案一比较即可
【详解】（1）计算知14.6，
所以=10，
，
所以所求的回归方程为，
当时，(万人次)，
估计2021年该商场使用移动支付的有23万人次；
（2）（i）若选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，
，
，
故X的分布列为
140 160 200
所以(元)；
（ii）若选择方案二，记需支付的金额为Y元，
则Y的可能取值为160，180，190，
则其对应的概率分别为，
所以，
由（1）知，
故从概率角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大.
37．(1)0.8
(2)答案见解析
(3)决策部门应选择方案2，理由见解析
【分析】（1）先用表示出，结合题意即可求出的最小值；
（2）由题意可知，满足二项分布，故易得能正常工作的设备数的分布列；
（3）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策.
【详解】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为，
则，
解得，故的最小值为0.8．
（2）设为正常工作的设备数，由题意可知，，
，
，
，
，
从而的分布列为：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
（3）设方案1 方案2的总损失分别为，，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，
可知计算机网络断掉的概率为：，
故万元．
采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”，
计算机网络断掉的概率为：，
故万元．
因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．
38．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，把3次射击后甲得20分的情况，第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶和第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，结合相互独立的概率乘法公式，即可求解；
（2）设“第n次射击的人是乙”为事件，得到，得到为等比数列，得到数列的通项公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，3次射击后甲得20分的情况有以下两种：
第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶，其概率；
第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，
其概率．
所以3次射击后甲得20分的概率．
（2）解：设“第n次射击的人是乙”为事件，
则，
所以，又由，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
故第n次射击的人是乙的概率为．
39．(1)，
(2)第二次，证明见解析
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，
（2）根据，即可对分奇偶性求解.
【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
40．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）列举出所有交换的情况，分别求出概率即可求解，
（2）由根据独立事件的概率乘法公式，分类逐一讨论，即可求解，，由等比数列的定义即可求证；
（3）利用等比数列的通项求解，进而根据期望的计算公式即可求解．
【详解】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为，
所以，
①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
综上可知：，.
（2）经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为，
①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时：
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
故.
，
因此，
因此为等比数列，且公比为.
（3）由（2）知为等比数列，且公比为，首项为，
故，所以，
.
【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望.
（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，
可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．
41．(1)分布列见解析；，
(2)
【分析】（1）结合古典概型即可写出分布列，进而可求期望与方差；
（2）结合条件概率即可求解.
【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，
掷出的点数之和是3的倍数有：
，12种；
则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，
随机变量的取值为0，1，
，
所以的分布列为：
0 1
．
；
（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装．
根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，
穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，
则当天穿西装的概率为．
所以张老师当天穿西装的概率为．
42．(1)
(2)分布列见解析；；
【分析】（1）利用组合数和古典概率求解；
（2）分别计算不同计分的概率，列出分布列，算出期望，再求出获得优秀学员的概率即可.
【详解】（1）设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，
则.
（2）由题意可知的取值可为，
前两道题答错的概率为，后两道题答错的概率也为，
，
，
，
，
，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
数学期望为，
因为累积计分不低于5分的学生为优秀学员，
所以张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率为.
43．(1)答案见解析
(2)该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析
【分析】（1）利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；
（2）利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：设事件用户选择甲公司的网约车出行，事件用户对等待时间满意，
事件用户对乘车舒适度满意，事件用户对乘车费用满意.
则，
，
所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.
（2）解：由题知，，
，
所以，，故该用户选择乙公司出行的概率更大.
44．(1)
(2)不可信
【分析】（1）根据已知条件，结合条件概率公式即可求解；
（2）根据题意结合切比雪夫不等式，求出有效份数不超过60份的概率即可得出结论.
【详解】（1）设批次I的血液试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件，
由已知得，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率为
.
（2）设份血液样本中检测有效的份数为，假设该企业关于此新试剂有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下，，
，
由切比雪夫不等式，有，
即在假设下，100份血液样本中显示有效的份数不超过60份的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断该企业的宣传内容不可信.
45．(1)分布列见解析，
(2)（i）200；（ii） 199或200
【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，
（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.
【详解】（1）,
故分布列为：
0 1 2
.
（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,
当时，
当时，
当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
46．(1)分布列见解析，；
(2)时，游戏胜利的概率最大；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据向前或向后行走的步数分类可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，即可得到的分布列和数学期望；
（2）根据题意可知，，再由的单调性即可判断；
（3）根据机器人第一步以及最后第步的行走方向讨论，即可得出的表达式，从而将所证等式转化为，再根据组合数公式即可证出．
【详解】（1）依题可知，的可能取值为.
，，，
所以，的分布列如下：
0 2 4
所以，．
（2）依题可知，时，，所以时胜利的概率最大.
（3）记事件“机器人行走步时恰好第一次回到初始位置”，“机器人第一步向前行走”，则“机器人第一步向后行走”.
下面我们对事件进行分析.
发生时，假设机器人第步是向前行走，则之前的步机器人向前走的步数比向后走少一步，而因为机器人第一步为向前行走，
这说明存在使得机器人走了步时回到了初始位置，这与的发生矛盾，所以假设不成立.即机器人第步为向后行走，
从而机器人第2步到第步向前和向后行走的步数均为，且从第2步开始，到第步的这步，任意时刻机器人向前走的步数均不少于向后走的步数(否则在这过程中机器人会回到初始位置).
根据卡特兰数，从第2步到第步共有种行走方式.通过上述分析知，，
所以．
由于，
，故等式成立．
【点睛】本题的解题关键是根据机器人第一步和最后一步的行走方

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