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专题20 概率与统计常考小题归类
【目录】
考点一：抽样方法与随机数表
考点二：统计图表及其数字特征
考点三：传统线性拟合
考点四：非线性拟合处理
考点五：传统独立性检验
考点六：创新类定义统计
考点七：正态分布
考点八：超几何分布与二项分布
考点九：随机变量的分布列、期望、方差
考点十：古典概型
考点十一：条件概率与全概率
考点十二：概统结合问题
考点十三：传统规则的概率问题
考点十四：新赛制概率问题
考点十五：递推型概率命题
概率与统计小题是每年高考必考的内容．一是求统计图表、方差、平均数；二是求古典概型；三是相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．多以选择、填空题的形式考查，难度容易或中等．
考点要求 考题统计 考情分析
统计图表、方差、平均数、中位数 2023年上海卷第14题，4分2022年甲卷第2题，5分 2021年甲卷第2题，5分 2021年I卷第9题，5分 【命题预测】预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查逻辑推理与数学运算两大核心素养． （2）热点是古典概型.
古典概型 2023年乙卷第9题，5分2023年甲卷第4题，5分 2022年I卷第5题，5分 2022年甲卷第6题，5分
相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 2022年乙卷第10题，5分2021年天津卷第14题，5分
回归方程、正态分布 2023年天津卷第7题，5分2021年II卷第5题，5分
1、加强识图能力，理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系；折线图注意上升趋势以及波动性；扇形图数据可先用表格列出，再计算、判断．
2、在频率分布直方图中，注意小矩形的，小矩形的面积，所有小矩形的面积之和为1．
3、求回归方程
（1）根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．
（2）利用公式，求出回归系数．
（3）待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．
4、回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
5、比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法
（1）通过计算的大小判断：越大，两变量有关联的可能性越大．
（2）通过计算的大小判断：越大，两变量有关联的可能性越大．
6、独立性检验的一般步骤
（1）根据样本数据制成列联表．
（2）根据公式，计算的观测值．
（3）比较与临界值的大小关系，进行统计推断．
7、概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力
（1）与数列结合的实际问题
（2）与函数导数结合的实际问题
（3）与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题
（4）与统计结合的实际问题
（5）与其他背景结合的实际问题
（2023 天津）
1．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（ ）
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
（2023 乙卷）
2．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
（2023 甲卷）
3．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
（2023 上海）
4．如图所示，下面是出口，上面是进口，下列选项叙述错误的是（ ）
A．从2018年开始，2021年进出口总增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始， 2020年的进出口总额增长率最小
（2022 新高考Ⅰ）
5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
（2022 乙卷）
6．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
（2022 甲卷）
7．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
（2022 甲卷）
8．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
（2021 甲卷）
9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
（2021 新高考Ⅱ）
10．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
（2021 新高考Ⅰ）
11．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
（2021 天津）
12．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 .
考点一：抽样方法与随机数表
【例1】（2024·青海西宁·高三统考期末）
13．用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8人 B．6人 C．4人 D．2人
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）
14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．02 C．63 D．01
【变式1-2】（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）
15．某饮料厂生产A，B两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A型号饮料15瓶，则每小时B型号饮料的产量为（ ）
A．600瓶 B．750瓶 C．800瓶 D．900瓶
考点二：统计图表及其数字特征
【例2】（2024·江西·高三玉山一中校联考阶段练习）
16．江西省2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ）
A．江西省2017年到2022年这6年的常住人口在2019年取得最大值
B．江西省2017年到2022年这6年的常住人口的极差为148.70万
C．江西省2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为4527.98万
D．江西省2017年到2022年这6年的常住人口的第80百分位数为4647.60万
【变式2-1】（2024·广东惠州·高三惠州一中校考阶段练习）
17．某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地区：平均数为90，方差为10 B．乙地区：平均数为60，众数为50
C．丙地区：中位数为50，极差为70 D．丁地区：极差为20，80%分位数为80
【变式2-2】（2024·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）
18．某单位为了解职工健康情况，采用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，下列说法正确的是（ ）
A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为
C．该单位职工平均体重 D．单位职工的方差
【变式2-3】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）
19．（多选）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（　　）
A．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
【变式2-4】（2024·河南·模拟预测）
20．某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80
C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分
考点三：传统线性拟合
【例3】
21．某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度的部分数据如下表：
温度 4 8 10 18
微生物数量（个） 30 22 18 14
由表中数据算得回归方程为，预测当温度为时，微生物数量为 个.
【变式3-1】（2024·广东深圳·高三统考期末）
22．某同学收集了变量，的相关数据如下：
x 0.5 2 3 3.5 4 5
y 15
为了研究，的相关关系，他由最小二乘法求得关于的线性回归方程为，经验证回归直线正好经过样本点，则 ．
【变式3-2】
23．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:
单价(元)
销量(件)
由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为
考点四：非线性拟合处理
【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）
24．用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A． B． C．35 D．21
【变式4-1】（2024·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）
25．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ）
第个月 1 2 3
繁殖数量
A．百只 B．百只
C．百只 D．百只
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）
26．兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：
时间t/（单位：天） 10 20 70
销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为（ ）
A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日
考点五：传统独立性检验
【例5】（2024·全国·高三专题练习）
27．为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．11 B．12 C．13 D．14
【变式5-1】（2024·四川达州·统考一模）
28．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【变式5-2】（2024·浙江温州·高三苍南中学校联考阶段练习）
29．在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）
选物理 不选物理 总计
男生 340 110 450
女生 140 210 350
总计 480 320 800
表一
选生物 不选生物 总计
男生 150 300 450
女生 150 200 350
总计 300 500 800
表二
试根据小概率值的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（ ）
附:
A．选物理与性别有关，选生物与性别有关
B．选物理与性别无关，选生物与性别有关
C．选物理与性别有关，选生物与性别无关
D．选物理与性别无关，选生物与性别无关
考点六：创新类定义统计
【例6】（2024·全国·模拟预测）
30．教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( )
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·湖北·高三校联考开学考试）
31．定义空间直角坐标系中的任意点的“数”为：在点的坐标中不同数字的个数，如：，若点的坐标，则所有这些点的“数”的平均值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·甘肃兰州·统考一模）
32．一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图
根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式6-3】（2024·江西九江·统考一模）
33．恩格尔系数(Engel’sCoefficien)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．②③
考点七：正态分布
【例7】
34．已知某社区居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为（ ）
A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748
【变式7-1】（2024·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）
35．阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）

A．Y的数据较X更集中
B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）
36．某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．236 B．246 C．270 D．275
考点八：超几何分布与二项分布
【例8】（2023上·上海浦东新·高三统考期末）
37．在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）．
【变式8-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）
38．一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ．
【变式8-2】（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）
39．设随机变量，记，．在研究的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值；若不为正整数，则当且仅当取的整数部分时，取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
考点九：随机变量的分布列、期望、方差
【例9】（2024·全国·高三专题练习）
40．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得分的数学期望为 ，方差为 ．
【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）
41．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则 ， ．
【变式9-2】（2023上·全国·高三专题练习）
42．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为 ．
考点十：古典概型
【例10】（2024·全国·模拟预测）
43．某艺术展览会的工作人员要将A，B，C三幅作品排成一排，则A，B这两幅作品排在一起的概率为 ．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）
44．如图，三个开关控制着号四盏灯，其中开关控制着号灯，开关控制着号灯，开关控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为 ．

【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）
45．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”．假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜（每次只上一道菜），则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 ．
考点十一：条件概率与全概率
【例11】（2024·山东滨州·高三统考期末）
46．甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
【变式11-1】（2024·河南·模拟预测）
47．设同一随机试验中的两个事件A，B满足，，，则 .
【变式11-2】
48．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ．
考点十二：概统结合问题
【例12】（2024·黑龙江大庆·铁人中学校考模拟预测）
49．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（2024·海南·统考模拟预测）
50．我国实行个人所得税专项附加扣除制度，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等多项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有90人、270人、180人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取6人调查专项附加扣除的情况，再从这6人中任选2人，则选取的2人中恰有一名是中年员工的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（2024·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）
51．已知、的对应值如下表所示:
x
y
与具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程近似刻画，则在的取值中任取两个数均不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点十三：传统规则的概率问题
【例13】（2024·浙江宁波·效实中学校考模拟预测）
52．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式13-1】（2024·全国·高三专题练习）
53．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是
A． B． C． D．
【例14】（2024·广东清远·高二统考期末）
54．盒中有a个红球，b个黑球，c个白球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球d个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是（ ）
A． B．
C． D．
考点十四：新赛制概率问题
【例15】（2024·河南信阳·高二统考期末）
55．2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为（ ）
A． B． C． D．2
【变式15-1】
56．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，，据此计算的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-2】（2024·辽宁本溪·高二校考期末）
57．疫情期间，甲、乙、丙三人均来自高风险地区，需要进行核酸检测，假设每个人的检测结果是否为阳性相互独立，若甲和乙都不是阳性的概率为，甲和丙都不是阳性的概率为，乙和丙都不是阳性的概率为，则甲、乙、丙三人中最多有2人是阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式15-3】（2023下·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）
58．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为.
①当时， ；
②已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，估计信号发射次数的最小值为 .
考点十五：递推型概率命题
【例16】（2023·广东佛山·统考二模）
59．有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
【变式16-1】（2023·湖北·校联考模拟预测）
60．盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：
（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为 ；
（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为 .
【变式16-2】（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）
61．某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项.
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误
故选：C
2．A
【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.
【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
乙 甲 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共有36个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有，共6个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.
故选：A
3．D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选：D.
4．C
【分析】根据进出口总额统计图，逐一分析选项即可；
【详解】从2018年开始，进出口总额依次是30.5，31.57，32.22，39.10，
进出口总增长率依次是2019年，2020年，2021年，选项ABD正确；
2019年进口总额比2020年进口总额小，选项C错误；
故选：C
5．D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
6．D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
7．C
【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】[方法一]：【最优解】无序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
[方法二]：有序
从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，
其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.
故选：C.
【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；
方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；
8．B
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
【详解】讲座前中位数为,所以错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，
讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.
故选:B.
9．C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
10．D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
11．CD
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A：且，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
C：，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；
故选：CD
12．
【分析】根据独立事件乘法公式计算出甲获胜的概率，再利用独立重复试验概率公式求出甲至少获胜2次的概率.
【详解】∵一次活动中，甲获胜的概率为，
次活动中，甲至少获胜2次的概率为．
故答案为：，．
13．D
【分析】由分层抽样的概念，求出男、女居民选取的人数即可得解.
【详解】由题可知，男居民选取人，女居民选取人，
则女居民比男居民多选取2人.
故选：D.
14．D
【分析】根据随机数表的取数要求选取数字即可.
【详解】根据题意，依次读出的数据为65（舍去），72（舍去），08，02，63（舍去），14，07，02（舍去，重复），43（舍去），69（舍去），97（舍去），28（舍去），01.即第5个数字为01.
故选:D.
15．B
【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
【详解】设每小时B型号饮料的产量为，
所以有，
故选：B
16．ABD
【分析】观察图表，结合极差、中位数、百分位数公式计算即可.
【详解】由图可知，将江西省2017年到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为4517.40，4518.86，4527.98，4622.10，4647.60，4666.10，
对于A项，这6年的常住人口在2019年取得最大值，故A项正确；
对于B项，极差为万，故B项正确；
对于C项，中位数为万，故C项错误；
对于D项，因为，所以第80百分位数为4647.60万，故D项正确.
故选：ABD.
17．AD
【分析】根据平均数、方差、众数、中位数、极差、百分位数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】设每天的空气质量指数为（，2，…，10），则方差.
对于A，由，得，若这10天中有1天的空气质量指数大于100，则必有，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不大于100，故A正确；
对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的环境治理不达标，故B错误；
对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不达标，故错误；
对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与分位数为80矛盾，故最大值不大于100，故D正确.
故选：AD
18．BCD
【分析】由样本的概念即可判断A，由概率的计算即可判断B，由平均数的计算公式即可判断C，由方差的公式即可判断D
【详解】A项，样本为该单位的职工的健康情况，所以A项错误；
B项，由题可知，每一位职工被抽中的可能性为，所以B项正确；
C项，D项，设设男性人数为，女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
方差，
所以C，D项正确；
故选：BCD.
19．CD
【分析】根据走势图图象，逐个分析选项即可判断出结果.
【详解】在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A错误；
在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，而不是不断减弱，故B错误；
在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C正确；
在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值，故D正确．
故选：CD．
20．BD
【分析】根据题意，由统计图表中的数据，结合频率分布直方图的面积和百分位数，以及平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人，
00后的考生有人，可得人，所以A不正确；
对于B中，由频率分布直方图性质，可得，
解得，则前三个矩形的面积和，
所以试成绩的分位数为分，所以B正确；
对于C中，设面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确；
对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：
分，所以D正确.
故选：BD.
21．9
【分析】求出样本点中心，代入回归方程得到，得回归方程，可进行预测.
【详解】由表格数据可知，，，
因为点在直线上，所以，
即，故当时，，
即预测当温度为时，微生物数量为9个.
故答案为：9
22．69
【分析】结合线性回归方程必过样本中心点求解.
【详解】因为线性回归方程经过样本点，所以.
因为：，所以.
所以：.
故答案为：69
23．##
【分析】根据表中数据可得回归方程，进而确定在回归直线右上方的个数，进而可得概率.
【详解】由已知，，
又样本中心在回归直线上，
即，解得，
所以回归直线方程为，
当时，，所以点在回归直线上；
当时，，所以点在回归直线左下方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线左下方；
所以个样本点中在回归直线右上方的有个，
所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为，
故答案为：.
24．B
【分析】求出，即，得到答案.
【详解】由题意得，
故，
即，
故，解得.
故选：B
25．D
【分析】将回归模型两边取自然对数，并令，由此构建一个与的回归直线模型，根据回归直线必过中心点，可求出a值，利用所得回归模型进行预测.
【详解】由题意，两边取自然对数得，
令，则，
，，
∵回归直线必过样本点的中心，∴，
得，∴，则，
当时，．
故选：D.
26．C
【分析】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，应选取进行描述，将表中数据代入可得，利用配方法结合日期可得答案.
【详解】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，
函数在时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合，
所以应选取进行描述，
将表中数据代入可得
，解得，所以，
，所以当时杨梅销售价格最低，
而6月5日时，6月15日时，6月25日时，7月5日时，
所以时杨梅销售价格最低.
故选：C.
27．B
【分析】设出男性人数，列出列联表，算出的观测值表达式，列出不等式求解作答.
【详解】设男性人数为，依题意，得列联表如下：
喜爱足球 不喜爱足球 合计
男性
女性
合计
则的观测值为，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是，即，解得，而，因此
故选：B
28．C
【分析】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.
【详解】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；
根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.
故选：C.
29．C
【分析】结合题干数据，以及公式，分别计算物理和生物学科的值，与比较，分析即得解
【详解】由题意，先分析物理课是否与性别有关：
根据表格数据，
结合题干表格数据，，
因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关
再分析生物课是否与性别有关：
根据表格数据，
结合题干表格数据，，
因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关
故选：C
30．BD
【分析】根据平均数和方差公式，结合即可计算m和．
【详解】根据平均数与方差公式，得，
，
即，．
故选：BD．
31．A
【分析】根据题意，分为三类：（1）恰有3个相同数字；（2）恰有2个相同数字；（3）恰有0个相同数字，结合平均数的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，点的坐标中不同数字的个数，可分为三类：
（1）恰有3个相同数字的排列为种，则共有个；
（2）恰有2个相同数字的排列为种，则共有个；
（3）恰有0个相同数字的排列为种，则共有个；
所以平均值为
故选：A.
32．C
【分析】利用平均差公式知数据越集中于平均值附近，平均差越小，再结合甲乙数据的频率分布折线图即可得到结果.
【详解】由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小.
甲乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，即指数据落在此处的概率，甲图中，不同组距区间的概率相差不大，即指数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处指代的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了平均差，解题的关键是理解新定义，弄清楚已知条件折线图的纵坐标表示的是概率，考查学生的转化能力，属于基础题.
33．C
【分析】通过对2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图的分析，了解两者间的相关性而作出判断.
【详解】由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，
故两者之间存在负相关关系，结论①正确；
恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；
家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误.
故选：C
34．B
【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.
【详解】由题意得，则，
则，
则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为,
故选：B.
35．D
【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
【详解】观察图象知，，
对于A，的密度曲线瘦高、的密度曲线矮胖，即随机变量的标准差小于的标准差，即，
因此Y的数据较X更集中，A正确；
对于B，显然，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确；
对于C，显然，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确；
对于D，显然，因此，D错误.
故选：D
36．B
【分析】根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解.
【详解】由题可知，，，.
所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天．
故选：B．
37．0.25
【分析】由题意先求出事件总数，再求出恰好有一件二等品的事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】从这批产品中抽取3件，则事件总数为，
其中恰好有一件二等品的事件有，
所以恰好有一件二等品的概率为.
故答案为：0.25
38．
【分析】首先分析出做一次成功试验的概率，设出现成功试验的次数为，则，计算即可．
【详解】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种，
两枚骰子点数之和为5的情况有4种，
两枚骰子点数之和为6的情况有5种，
在一次试验中，出现成功试验的概率，
设出现成功试验的次数为，则，
所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为，
故答案为：．
39．17
【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13概率最大，从而得解.
【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，
由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，
加上前面20次中的4次，所以出现17次的概率最大.
故答案为：17.
40． 28 76.8
【分析】根据题意该同学答对的题目数服从二项分布，设该同学得分为，则，根据二项分布的期望和方差公式结合期望、方差的性质即可求解.
【详解】设该同学答对题目的数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题，
所以，所以，．
设该同学总得分为，则，，．
故答案为：；.
41．
【分析】根据题意分析可得，服从二项分布，所以可以用公式直接求解及方差.
【详解】由题意得服从二项分布，且每次取到次品的概率为，所以，
所以，．
故答案为：；.
42．1.2
【分析】确定随机变量X服从超几何分布，确定相关参数，根据超几何分布的期望公式，即得答案.
【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，其中，，，
于是次品件数X的期望，
故答案为：1.2
43．
【分析】首先可列举出三幅作品的所有可能排列情况，再选出A，B这两幅作品排在一起的情况，即可得出其概率.
【详解】根据题意A，B，C三幅作品排成一行，有ABC，ACB，BAC，BCA，CBA，CAB共6种情况，
A，B这两幅作品排在一起的情况有ABC，BAC，CBA，CAB，共4种，
则A，B这两幅作品排在一起的概率.
故答案为：
44．
【分析】利用分类加法计数原理、排列数分类讨论计算即可.
【详解】先后按动中的两个不同的开关，有（种）按法．
若要1号灯亮，则先按第一个开关时，1号灯灭，再按第二个开关时，1号灯亮，
此时对应的按法有2种，即；
同理可得，若要2号灯亮，有，即2种按法．
综上，要1号灯或2号灯亮有（种）按法，故所求的概率．
故答案为：
45．##0.25
【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果.
【详解】服务员随机上这八道菜有种排法，
“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有种排法，
所以所求概率．
故答案为：.
46．
【分析】由题设求出，，，利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可．
【详解】由题意得，，，
若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则．
，
；
.
故答案为：
47．##0.375
【分析】根据条件，先计算事件对立事件的概率，再利用全概率公式，逆用即可求出的结果.
【详解】由，得；
由全概率公式：，
则.
故答案是：.
48．
【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）.
【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率，
至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率，
所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率.
故答案为：，
49．D
【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.
【详解】解：设这个球落入④号球槽为时间，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查独立重复试验，属于基础题.
50．B
【分析】由分层抽样的性质确定抽取老年、中年、青年员工的人数，应用组合数、古典概率求法求概率即可.
【详解】由分层抽样等比例性质知：老年、中年、青年员工分别抽取了1人、3人、2人，
所以6人中任选2人中恰有一名是中年员工的概率为.
故选：B
51．B
【分析】求出样本中心点的坐标，将其代入回归直线方程，求出的值，可得出的所有取值，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由表格中的数据可得，
，
所以这组数据的样本点的中心的坐标为，
又因为点在回归直线上，所以，解得，
所以的取值分别为、、、、，
在这个数中，任取两个，取到的两个数都不大于的概率为.
故选：B.
52．C
【分析】算出的分布列和期望后可得正确的选项.
【详解】，，
∵，∴ .
∵，，，
∴，
故选：C.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望，概率计算时需仔细审题，弄清黑球变化的规律，本题属于中档题.
53．C
【详解】试题分析：由题可先算出10个元素中取出3个的所有基本事件为；种情况；
而三种粽子各取到1个有种情况，则可由古典概率得；
考点：古典概率的算法．
54．A
【分析】由题，设事件“第一次抽出的是红球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”， 事件“第二次抽出的是黑球”，则两两互斥，，由全概率公式得，求值即可
【详解】设事件“第一次抽出的是红球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”，事件“第二次抽出的是黑球”.
由全概率公式知
由题意，，，，，，则,
故选：A
55．C
【分析】由题意可得门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4，且，从而可求出期望.
【详解】依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为．
门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4．，
，，1，2，3，4．
期望．
故选：C．
56．B
【分析】由题意可知10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，从而可求出，同样的方法可求出，进而可求出比值
【详解】由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，
若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，
故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，
同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，
∴.
故选：B
57．A
【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解.
【详解】记甲、乙、丙三人核酸检测结果是阳性分别为事件，，，
则，所以，
所以，，，
所以，，，
所以男、乙、丙三人核酸检测结果都是阳性的概率为，
所以最多有2人是阳性的概率为．
故选:A．
58． 1250
【分析】①根据二项分布公式计算；②运用二项分布公式算出 和 ，再根据题意求出 中a的表达式，最后利用切比雪夫不等式求解.
【详解】①当时，由已知，
所以
；
②由已知，所以，
若，则，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250.
故答案为：；1250.
59．
【分析】记事件表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得，进而可得，然后构造等比数列，求通项公式即得.
【详解】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
故答案为：；.
60． ##
【分析】（1）根据已知条件求出随机变量的取值，利用相互独立事件的概率的乘法公式分别求出随机变量取值相应的概率，进而写出分布列，结合随机变量的期望公式即可求解；
（2）利用相互独立事件的概率的乘法公式及等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）设取出红球的个数为,则的可能取值为.
,
,
,
的分布列为
（2）次取完表示最后一次是红球，则前次中有一次取得红球，
所以
故答案为：；
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用相互独立事件的乘法公式及等比数列求和公式即可.
61．
【分析】根据全概率公式可得出，可得出，由此可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式.
【详解】当且时，若甲在第天选择了餐厅，
那么在第天有的可能性选择餐厅，
若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅，
所以第天选择餐厅的概率，
即，所以.
又由题意得，，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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