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专题01 相交线
1.对顶角的概念：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 2.对顶角的性质：对顶角相等. 注：相等的角不一定是对顶角. 3.邻补角的概念：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角． 4.邻补角的性质：邻补角互补． 注：互补的两个角不一定是邻补角，但互为邻补角的两个角一定互补. 5.垂直：垂直是相交的一种特殊情况.当两条直线相交成90°（或直角）时，叫做两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 6.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注：（1）前提条件是“在同一平面内”； “有且只有”说明垂线的存在性和唯一性； “过一点”包括直线外一点或直线上一点. 7.垂线段的概念：过直线外一点向已知直线作垂线，这个点与垂足之间的线段，叫做垂线段． 8.垂线段的性质：垂线段最短． 注意“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”的区别. 9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.点到直线的距离是一个长度. 注意“点到直线的距离”和“两点间的距离”的区别. 10.三线八角： 角的名称角的特征基本图形引申图形共同特征同位角截线：同侧 被截线：同旁F这三类角都没有公共顶点.内错角截线：两侧 被截线：之间Z同旁内角截线：同侧 被截线：之间U
考向1 对顶角
1.（2024 金水区校级开学）下列各图中，与是对顶角的是　　
A． B．
C． D．
2.（2023秋 沙坪坝区期末）下列各图中，与互为对顶角的是　　
A． B．
C． D．
3.（2023秋 固始县期末）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是　　，用它测量角的原理是　　．
名师点拨 1.对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的． 2.互为对顶角的两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 3.对顶角相等；但相等的角不一定是对顶角.
考向2 邻补角
1.（2023春 闽侯县期末）如所示四个图形中，和是邻补角的是　　
A． B．
C． D．
2.（2023春 新华区期末）下列图形中，一定成立的是　　
A． B．
C． D．
3.（2023秋 阜宁县期末）如图，，为平角，若平分，则　　．
名师点拨 1.互为邻补角的两个角只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线. 2.互为邻补角的两个角互补，但互补的两个角不一定是邻补角. 3.求一个角的度数时，常常用到角平分线、平角、垂直、对顶角、邻补角等知识.
考向3 垂线（段）
1.（2023秋 卫辉市期末）如图，要在河岸上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　 　．
2.（2023秋 泉州期末）如图，下列线段中，长度最短的是　　
A． B． C． D．
3.（2023秋 射洪市期末）如图，在河边的处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是　　
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
名师点拨 用数学原理解释生活中的现象时，要抓住现象的本质特征，灵活运用所学知识.
考向4 点到直线的距离
1.（2023秋 杭州期末）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是　　
①线段的长度是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③在，，三条线段中，最短；④线段的长度是点到直线的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
2.（2023春 承德县期末）点为直线外一点，，，三点在直线上，，，，则点到直线的距离不可能是　　
A． B． C． D．
3.（2023秋 东港区校级期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
名师点拨 1.垂线性质的前提条件“在同一平面内”不能省略. 2.点到直线的距离必须具备两点：一是垂线段；二是长度.
考向5 三线八角
1.（2023春 诸暨市期末）如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成内错角的是　　
A． B．
C． D．
2.（2023春 禅城区期末）如图，直线，被直线所截，下列说法正确的是　　
A．与是内错角 B．与是对顶角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
3.（2023春 新罗区期中）如图，直线、、两两相交于点、、，生成如图所示的的12个小于平角的角中，互为同位角、内错角、同旁内角的对数分别记为、、，则的值为　　
A．18 B．24 C．30 D．36
名师点拨 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手．同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．
1.（2024 金水区校级开学）下列各图中，与是对顶角的是　　
A． B．
C． D．
2.（2023秋 姑苏区期末）小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为　　
A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
3.（2023秋 淮阳区期末）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是　　
A． B． C． D．
4.（2023秋 新安县期末）下列图形中，和不是同位角的是　　
A． B．
C． D．
5.（2023秋 沭阳县期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是　　
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
6.（2023秋 东坡区期末）如图，在中与构成同旁内角的角有　　
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7.（2023秋 庐阳区期末）如图，、相交于，，那么下列结论错误的是　　
A．与是对顶角 B．与互为余角
C．与互为余角 D．与互为补角
8.（2023秋 南关区校级期末）如图，直线、相交于点，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
9.（2023秋 邹城市期末）如图：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有 　　． 专题01 相交线
1.对顶角的概念：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 2.对顶角的性质：对顶角相等. 注：相等的角不一定是对顶角. 3.邻补角的概念：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角． 4.邻补角的性质：邻补角互补． 注：互补的两个角不一定是邻补角，但互为邻补角的两个角一定互补. 5.垂直：垂直是相交的一种特殊情况.当两条直线相交成90°（或直角）时，叫做两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 6.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注：（1）前提条件是“在同一平面内”； “有且只有”说明垂线的存在性和唯一性； “过一点”包括直线外一点或直线上一点. 7.垂线段的概念：过直线外一点向已知直线作垂线，这个点与垂足之间的线段，叫做垂线段． 8.垂线段的性质：垂线段最短． 注意“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”的区别. 9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.点到直线的距离是一个长度. 注意“点到直线的距离”和“两点间的距离”的区别. 10.三线八角： 角的名称角的特征基本图形引申图形共同特征同位角截线：同侧 被截线：同旁F这三类角都没有公共顶点.内错角截线：两侧 被截线：之间Z同旁内角截线：同侧 被截线：之间U
考向1 对顶角
1.（2024 金水区校级开学）下列各图中，与是对顶角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：、图中，与不是对顶角，不符合题意；
、图中，与不是对顶角，不符合题意；
、图中，与是对顶角，符合题意；
、图中，与不是对顶角，不符合题意；
故选：．
2.（2023秋 沙坪坝区期末）下列各图中，与互为对顶角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．
【解答】解：、与不是对顶角，故选项不合题意；
、与的两边互为反向延长线，是对顶角，故选项符合题意；
、与互补，在同一条直线上，故选项不合题意；
、与不是对顶角，故选项不符合题意．
故选：．
3.（2023秋 固始县期末）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是　　，用它测量角的原理是　　．
【答案】，对顶角相等．
【分析】根据对顶角相等，由量角器所得度数就是要测量的角的度数．
【解答】解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为，
原理：对顶角相等，
故答案为：，对顶角相等．
名师点拨 1.对顶角是相对于两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它是在两直线相交的前提下形成的． 2.互为对顶角的两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 3.对顶角相等；但相等的角不一定是对顶角.
考向2 邻补角
1.（2023春 闽侯县期末）如所示四个图形中，和是邻补角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【解答】解：、和是对顶角，故不符合题意；
、和是邻补角，故符合题意；
、和没有公共顶点，故不符合题意；
、和是同旁内角，故不符合题意．
故选：．
2.（2023春 新华区期末）下列图形中，一定成立的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据邻补角的定义逐一分析解答即可．
【解答】解：、不一定等于，故不符合题意；
、不一定等于，故不符合题意；
、和是邻补角，则，故符合题意；
、不一定等于，故不符合题意．
故选：．
3.（2023秋 阜宁县期末）如图，，为平角，若平分，则　　．
【分析】根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式进行计算即可得解．
【解答】解：，
，
平分，
，
为平角，
．
故答案为：135．
名师点拨 1.互为邻补角的两个角只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线. 2.互为邻补角的两个角互补，但互补的两个角不一定是邻补角. 3.求一个角的度数时，常常用到角平分线、平角、垂直、对顶角、邻补角等知识.
考向3 垂线（段）
1.（2023秋 卫辉市期末）如图，要在河岸上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 　 　．
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
2.（2023秋 泉州期末）如图，下列线段中，长度最短的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可判断．
【解答】解：点是直线外一点，从点向直线引，，，四条线段，其中只有与垂直，这四条线段中长度最短的是．
故选：．
3.（2023秋 射洪市期末）如图，在河边的处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是　　
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】
【分析】根据垂线段最短判断．
【解答】解：在河边的处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短．
故选：．
名师点拨 用数学原理解释生活中的现象时，要抓住现象的本质特征，灵活运用所学知识.
考向4 点到直线的距离
1.（2023秋 杭州期末）如图，是直线外一点，，，三点在直线上，且于点，，则下列结论中正确的是　　
①线段的长度是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③在，，三条线段中，最短；④线段的长度是点到直线的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解．
【解答】解：于点，
线段的长度是点到直线的距离，故①正确，④错误；
，
线段的长度是点到直线的距离，故②正确；
根据垂线段最短，在，，三条线段中，最短，故③正确；
故选．
2.（2023春 承德县期末）点为直线外一点，，，三点在直线上，，，，则点到直线的距离不可能是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可判断．
【解答】解：点到直线的距离不大于，
点到直线的距离不可能是．
故选：．
3.（2023秋 东港区校级期末）下列四个说法：①两点确定一条直线；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，其中正确的说法的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据两点确定一条直线，垂线的性质，垂线段最短，点到直线的距离的定义，逐项分析即可求解．
【解答】解：①两点确定一条直线，正确，符合题意；
②同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线，不正确，不符合题意；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，符合题意；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不正确，不符合题意．
故选：．
名师点拨 1.垂线性质的前提条件“在同一平面内”不能省略. 2.点到直线的距离必须具备两点：一是垂线段；二是长度.
考向5 三线八角
1.（2023春 诸暨市期末）如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成内错角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可得到答案．
【解答】解：、构成的一对角不可以看成内错角，故不符合题意；
、构成的一对角可以看成同旁内角，故不符合题意；
、构成的一对角可以看成内错角，故符合题意；
、构成的一对角可以看成同位角，故不符合题意．
故选：．
2.（2023春 禅城区期末）如图，直线，被直线所截，下列说法正确的是　　
A．与是内错角 B．与是对顶角
C．与是同旁内角 D．与是同位角
【答案】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角的定义进行判断即可．
【解答】解：．与是直线、直线被直线所截的同位角，因此选项不符合题意；
．与是邻补角，因此选项不符合题意；
．与是直线、直线被直线所截的同旁内角，因此选项符合题意；
．与是对顶角，因此选项不符合题意；
故选：．
3.（2023春 新罗区期中）如图，直线、、两两相交于点、、，生成如图所示的的12个小于平角的角中，互为同位角、内错角、同旁内角的对数分别记为、、，则的值为　　
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】
【分析】根据内错角、同位角、同旁内角的定义即可判断．
【解答】解：依题意，得：
与、；与、；与、；与、；与；与；与；与互为同位角，
；
与；与、；与；与；与互为内错角，
；
与；与、；与；与；与互为同旁内角，
；
．
故选：．
名师点拨 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手．同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．
1.（2024 金水区校级开学）下列各图中，与是对顶角的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：、图中，与不是对顶角，不符合题意；
、图中，与不是对顶角，不符合题意；
、图中，与是对顶角，符合题意；
、图中，与不是对顶角，不符合题意；
故选：．
2.（2023秋 姑苏区期末）小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为　　
A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】
【分析】由垂线段最短，即可得到答案．
【解答】解：根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为：线段的长度．
故选：．
3.（2023秋 淮阳区期末）如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据对顶角相等和邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：，，
，
又，
，
故选：．
4.（2023秋 新安县期末）下列图形中，和不是同位角的是　　
A． B．
C． D．
【分析】在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
【解答】解：选项、、中，与在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
选项中，与的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：．
5.（2023秋 沭阳县期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是　　
A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【答案】
【分析】当时，的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：在中，，，，，
当时，的值最小，
此时：的面积，
，
，
故选：．
6.（2023秋 东坡区期末）如图，在中与构成同旁内角的角有　　
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案．
【解答】解：在中与构成同旁内角的角有，，，，，共5个．
故选：．
7.（2023秋 庐阳区期末）如图，、相交于，，那么下列结论错误的是　　
A．与是对顶角 B．与互为余角
C．与互为余角 D．与互为补角
【答案】
【分析】根据互余两角之和等于，互补两角之和等于，判断求解即可．
【解答】解：、、相交于，与是对顶角，本选项正确，不符合题意；
、，，与互为余角，本选项正确，不符合题意；
、与是对顶角，且与互为余角，与互为余角，本选项正确，不符合题意；
、，与互为补角，本选项错误，符合题意．
故选：．
8.（2023秋 南关区校级期末）如图，直线、相交于点，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据条件可求出和，再根据角平分线的意义求出的度数．
【解答】解：，
，
，，
，
，
故选：．
9.（2023秋 邹城市期末）如图：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有 　　．
【答案】45．
【分析】根据直线的条数与交点个数之间的变化关系进行解答即可．
【解答】解：2条直线相交，最多有1个交点，
3条直线相交，最多有3个交点，即，
4条直线相交，最多有6个交点，即，
5条直线相交，最多有10个交点，即，
10条直线相交，最多有45个交点，即，
故答案为：45．

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