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专题02 平行线
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 注：（1）前提条件：“在同一平面内”； （2）在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，垂直是相交的一种特例. 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 注：（1）作垂线时“过一点”，作平行线时“过直线外一点”； “有且只有”说明了平行线的存在性和唯一性. 3.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 4.平行线的判定方法： （1）判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. （5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 5.平行线的性质: （1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． （2）性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． （3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 注：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都不能单独使用，一定是在两直线平行的条件下才有的结论. 6.命题、定理、证明： 命题：判断一件事情的语句，叫做命题. 命题由题设和结论两部分组成. 如果交换一个命题的题设和结论，就会得到一个新命题，这个新命题和原命题互为逆命题.如平行线的判定1-3和平行的性质1-3就分别互为逆命题. 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后面是题设，“那么”后面是结论. 命题分为真命题和假命题.如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立，结论不一定成立，这样的命题叫做假命题.证明一个命题是假命题，只需举一个反例即可. 定理：命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理. （3）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
考向1 平行线的定义及平行公理
1.（2023秋 锦江区校级期末）下列语句正确的有　　个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线，外一点，画直线，使，且
④若直线，，则．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线，外一点，画直线，使，且，只有时才能画出，故说法错误；
④若直线，，则，说法正确；
故选：．
2.（2023秋 齐河县期末）下列说法中不正确的个数为　　
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系，垂直的性质，平行线平行公理及推论，点到直线的距离等逐一进行判断即可．
【解答】解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
因为过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；
⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确．
所以不正确的有①②④⑤四个．
故选：．
3.（2023秋 唐河县期末）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是　　
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行判断即可．
【解答】解：点是直线外一点，过点分别作，，
点、、三个点必在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
故选：．
名师点拨 对几何中的基本概念、定理、性质、判定等知识的考查常常以选择题的方式出现. 对几何概念、性质的理解，要抓住关键词，比如：“在同一平面内”、“过一点”、“过直线外一点”等. 利用平行公理解释三点共线是一个难点，学生理解起来有一定的难度.
考向2 平行线的判定方法
1.（2023 台州模拟）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是　　
A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线 D．同位角相等，两直线平行
【答案】
【分析】如图所示，过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角，
所以只能依据：同位角相等，两直线平行．
故选：．
2.（2023秋 长治期末）下列各图中，能画出的是　　
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【分析】根据平行线的判定定理进行判断即可．
【解答】解：由同位角相等两直线平行可知：①正确；由垂直于同一条直线的两条直线平行可知②、③正确；根据内错角相等两直线平行线可知④正确．
故选：．
3.（2023春 大渡口区校级月考）已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：、分别平分与（已知）．
，　 　，
　　，
　　　　（等量代换）．
　　，
　　　　．
　　　　　　．
【答案】角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；，，内错角相等，两直线平行．
【分析】首先根据角平分线定义可得，，根据等式的性质可得，再由条件可得，根据内错角相等，两直线平行可得．
【解答】证明：、分别平分与，（已知）
， （角平分线定义）
又（已知）
（等量代换），
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；，，内错角相等，两直线平行．
名师点拨 要证明两直线平行，关键是准确找到同位角、内错角和同旁内角. 应注意几何证明的每一步都要有理有据. 平行线的判定和性质互为逆命题，写理由时要看先有什么，再有什么，然后选择正确的依据填空.
考向3 平行线的性质
1.（2023秋 涟源市期末）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【解答】解：如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2.（2023秋 郑州期末）当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，再利用两直线平行，内错角相等可得，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：，
，
，
，
，
故选：．
3.（2023秋 天元区期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算，即可求出．
【解答】解：长方形对边，
，
，
由翻折的性质得：，
，
故选：．
名师点拨 平行线的性质常常与判定综合起来运用，写证明过程时，要将性质与判定正确区分. 要得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，一定是在两直线平行的前提下，所以写证明过程时，一定不能单独写同位角相等或内错角相等、同旁内角互补.
考向4 命题、定理、证明
1.（2023秋 潍城区期末）下列命题的逆命题是真命题的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：．逆命题为若，则，是假命题，不符合题意；
．逆命题为若，则，是假命题，不符合题意；
．逆命题为若，则，是真命题，符合题意；
．逆命题为若，则，是假命题，不符合题意；
故选：．
2.（2023秋 全椒县期末）下列命题是假命题的是　　
A．对顶角相等．
B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．
C．在同一平面内有三条直线，，，若，，则．
D．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
【答案】
【分析】分别判断后，找到错误的命题就是假命题．
【解答】解：、对顶角相等，正确，是真命题；
、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等，错误也可能互补，是假命题；
、在同一平面内有三条直线，，，若，，则，正确，是真命题；
、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，正确，是真命题．
故选：．
3.（2023秋 杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．
证明：（已知），
　　　　，
，（已知），
　　　　，
即　　，
　　．
【答案】；垂直的定义；；等量关系；；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】由，根据垂直的定义得到为，再由图形可得：同旁内角与的和为，与三角的度数之和，求出度数为，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出与平行，得证．
【解答】解：证明：（已知），
（垂直的定义），
，（已知），
（等量关系），
即，
（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：；垂直的定义；；等量关系；；同旁内角互补，两直线平行.
名师点拨 在几何学习中，要加强对几何知识（如：真命题、假命题、逆命题、定理、基本事实等）的理解. 互逆命题只是交换了命题的题设和结论.原命题是真命题，它的逆命题不一定也是真命题. 写规范的证明过程是几何学习的重要过程.
1.（2023秋 滨州期末）已知下列命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③若，则；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．其中是真命题的是　　
A．①② B．②③ C．①④ D．①②③④
【答案】
【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质判定即可．
【解答】解：①由对顶角的性质可直接判断①是正确的，是真命题；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
③若，则或，故③是假命题．
④两条直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补，故④是假命题．
故选：．
2.（2023秋 莲池区期末）如图，下列能判定的条件有　　
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题．
【解答】解：①，
，
故①符合题意；
②，
，
故②不符合题意；
③，
，
故③符合题意；
④，
，
故④符合题意；
综上，①③④符合题意，共3个，
故选：．
3.（2023春 开江县校级期中）如图，已知，则图形中所有平行的是　　
A． B．
C． D．，
【答案】
【分析】根据内错角相等，两直线平行；以及平行线的传递性即可求解．
【解答】解：，
，，，
．
故选：．
4.（2023春 天山区校级期末）如图，平分，平分，有下列条件：①；②；③；④；其中能判定的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】考查平行线的判定问题，可由同位角，内错角相等及同旁内角互补等，判定两直线平行．
【解答】解：平分，平分，
，，
①，
，同旁内角相等，并不能判定两直线平行，故①不能；
②，
，即同旁内角互补，可得其平行，故②能；
③、④、同②，皆由同旁内角互补，可判定其平行，
综上所述②③④能判定．
故选：．
5.（2023春 双塔区校级期中）如图，已知，，请说明的理由．
【分析】根据同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行、平行公理即可得出．
【解答】解：，
，
，
，
．
6.（2023秋 蒲城县期末）已知：如图，，．求证：．
【分析】根据等量关系可得，再根据内错角相等，两直线平行即可求解．
【解答】证明：，，
，
．
7.（2023秋 临泉县期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
（1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：　　；求证：　　．
②已知：　　；求证：　　．
（2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
【答案】（1）①②③，④；②③④，①；答案不唯一
（2）见解答．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法选则条件即可；
（2）若已知①②③，求证④，则根据“”证明，从而得到．
【解答】（1）解：①可以选择①②③为条件，④为结论；
故答案为：①②③，④；
②可以选择②③④为条件，①为结论；
故答案为：②③④，①；
（2）已知①②③，求证④；
证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
．
8.（2023春 濮阳期中）如图，点在上，点在上，，．求证：．
【答案】见解答过程．
【分析】根据平行线的判定和性质解答．
【解答】证明：，，
，
，
，
又，
，
．
9.（2023秋 文山市校级期末）如图，已知，．求证：．
【分析】由利用“同位角相等，两直线平行”可得出，由“两直线平行，内错角相等”可得出，结合可得出，再利用“内错角相等，两直线平行”即可证出．
【解答】证明：（已知），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
又（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）． 专题02 平行线
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 注：（1）前提条件：“在同一平面内”； （2）在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，垂直是相交的一种特例. 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 注：（1）作垂线时“过一点”，作平行线时“过直线外一点”； “有且只有”说明了平行线的存在性和唯一性. 3.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 4.平行线的判定方法： （1）判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. （5）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 5.平行线的性质: （1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． （2）性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． （3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 注：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都不能单独使用，一定是在两直线平行的条件下才有的结论. 6.命题、定理、证明： 命题：判断一件事情的语句，叫做命题. 命题由题设和结论两部分组成. 如果交换一个命题的题设和结论，就会得到一个新命题，这个新命题和原命题互为逆命题.如平行线的判定1-3和平行的性质1-3就分别互为逆命题. 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后面是题设，“那么”后面是结论. 命题分为真命题和假命题.如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立，结论不一定成立，这样的命题叫做假命题.证明一个命题是假命题，只需举一个反例即可. 定理：命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理. （3）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
考向1 平行线的定义及平行公理
1.（2023秋 锦江区校级期末）下列语句正确的有　　个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线，外一点，画直线，使，且
④若直线，，则．
A．4 B．3 C．2 D．1
2.（2023秋 齐河县期末）下列说法中不正确的个数为　　
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3.（2023秋 唐河县期末）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是　　
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
名师点拨 对几何中的基本概念、定理、性质、判定等知识的考查常常以选择题的方式出现. 对几何概念、性质的理解，要抓住关键词，比如：“在同一平面内”、“过一点”、“过直线外一点”等. 利用平行公理解释三点共线是一个难点，学生理解起来有一定的难度.
考向2 平行线的判定方法
1.（2023 台州模拟）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是　　
A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两点确定一条直线 D．同位角相等，两直线平行
2.（2023秋 长治期末）下列各图中，能画出的是　　
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
3.（2023春 大渡口区校级月考）已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：、分别平分与（已知）．
，　 　，
　　，
　　　　（等量代换）．
　　，
　　　　．
　　　　　　．
名师点拨 要证明两直线平行，关键是准确找到同位角、内错角和同旁内角. 应注意几何证明的每一步都要有理有据. 平行线的判定和性质互为逆命题，写理由时要看先有什么，再有什么，然后选择正确的依据填空.
考向3 平行线的性质
1.（2023秋 涟源市期末）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
2.（2023秋 郑州期末）当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若，则的度数为　　
A． B． C． D．
3.（2023秋 天元区期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为，若，则　　
A． B． C． D．
名师点拨 平行线的性质常常与判定综合起来运用，写证明过程时，要将性质与判定正确区分. 要得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，一定是在两直线平行的前提下，所以写证明过程时，一定不能单独写同位角相等或内错角相等、同旁内角互补.
考向4 命题、定理、证明
1.（2023秋 潍城区期末）下列命题的逆命题是真命题的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2.（2023秋 全椒县期末）下列命题是假命题的是　　
A．对顶角相等．
B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．
C．在同一平面内有三条直线，，，若，，则．
D．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
3.（2023秋 杜尔伯特县期末）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．
证明：（已知），
　　　　，
，（已知），
　　　　，
即　　，
　　．
名师点拨 在几何学习中，要加强对几何知识（如：真命题、假命题、逆命题、定理、基本事实等）的理解. 互逆命题只是交换了命题的题设和结论.原命题是真命题，它的逆命题不一定也是真命题. 写规范的证明过程是几何学习的重要过程.
1.（2023秋 滨州期末）已知下列命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③若，则；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．其中是真命题的是　　
A．①② B．②③ C．①④ D．①②③④
2.（2023秋 莲池区期末）如图，下列能判定的条件有　　
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（2023春 开江县校级期中）如图，已知，则图形中所有平行的是　　
A． B．
C． D．，
4.（2023春 天山区校级期末）如图，平分，平分，有下列条件：①；②；③；④；其中能判定的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.（2023春 双塔区校级期中）如图，已知，，请说明的理由．
6.（2023秋 蒲城县期末）已知：如图，，．求证：．
7.（2023秋 临泉县期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
（1）请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）．
①已知：　　；求证：　　．
②已知：　　；求证：　　．
（2）在（1）的条件下，选择一种情况进行证明．
8.（2023春 濮阳期中）如图，点在上，点在上，，．求证：．
9.（2023秋 文山市校级期末）如图，已知，．求证：．

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