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专题04 平方根
1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 2.表示方法：a的算术平方根记为，a叫做被开方数． 3.特别规定：0的算术平方根是0. 4.的双重非负性：≥0（a≥0）. 5.算术平方根的性质: (1)正数有一个正的算术平方根. (2)0的算术平方根是0. 负数没有算术平方根. (4)算术平方根是它本身的数是0，1. 6.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根． 7.表示方法：正数a的平方根表示为±．其中，正数a的正的平方根叫正数a的算术平方根. 8.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方和平方互为逆运算. 9.平方根的性质： (1)正数的平方根有两个，它们互为相反数，即两个平方根相加为0. (2)0的平方根是0． (3)负数没有平方根. (4)平方根是它本身的数是0. 小数点的移动规律：对于来说，若a的小数点向左（或向右）移动两位，则的小数点向左（或向右）移动一位.反之也成立. 拓展：=a (a≥0）； = ▏a ▏（a为任意实数）.
考向1 算术平方根的概念及求法
1.（2023秋 任城区期末）的算术平方根是 　　．
2.（2023秋 铁西区校级期末）下列结果错误的有　　
A． B．的算术平方根是4
C．的算术平方根是 D．的算术平方根是
3.（2023秋 广饶县校级期末）若，，且，则的算术平方根为　　
A．4 B．2 C． D．3
名师点拨 一个正数的算术平方根是它的正的平方根，注意它们的联系和区别. 求带根号的数的平方根或算术平方根时，要先化简，这是特别容易错的地方.
考向2 平方根的概念及求法
1.（2023春 北屯市期中）的平方根是　　
A． B．3 C．9 D．
2.（2023春 镜湖区校级期中）如果用表示3268的算术平方根，那么32.68的平方根是　　
A． B． C． D．
3.（2023秋 雨湖区期末）下列说法中正确的个数是　　
①的平方根是；
②没有平方根；
③非负数的平方根是非负数；
④负数没有平方根；
⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
名师点拨 平方根和算术平方根既有区别，又有联系，要认真区分. 正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0. 平方根是它本身的数只有0.
考向3 平方根性质的运用
1.（2023秋 耒阳市校级期末）已知的平方根为，的平方根为，求的平方根．
2.（2023秋 开江县校级期末）如果一个数的平方根是和，则的值为　　，这个数为　 　．
3.（2023秋 芝罘区期末）已知和是实数的两个平方根，则的值是 　　．
名师点拨 正数有两个平方根，它们互为相反数，即相加为0. 有些题求其中一个字母系数，有些题要求原来的正数，要认真审题.
考向4 小数点的移动规律
1.（2023春 甘井子区校级月考）已知，，则　　
A．0.00607 B．0.0607 C．0.001921 D．0.01921
2.（2023秋 衡阳县期中）已知，，下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3.（2023秋 斗门区期末）已知，若，则的值　　
A．86.2 B．0.862 C． D．
名师点拨 1.对于来说，若a的小数点向左（或向右）移动两位，则的小数点向左（或向右）移动一位.反之也成立. 2.注：a的小数点是两位两位移动的.
考向4 运用平方根解方程
1.（2023 白云区一模）解方程：．
2.（2023秋 遵化市期中）如果，则　　．
3.（2023春 西和县期中）解方程：
名师点拨 利用直接开平方法解一元二次方程的依据就是平方根的定义，有时要将某个式子看作一个整体. 整体思想是数学中常用的思想方法.
1.（2023春 宁南县校级月考）下列各数：，0，，，，24，，其中有平方根的数共有　　
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
2.（2023秋 威宁县期末）2023的算术平方根是　　
A．2023 B． C． D．
3.（2023春 晋安区期中）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
4.（2023秋 莲池区期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是　　
A． B．1 C．或3 D．或1
5.（2023春 宁明县期中）已知正数的两个平方根分别和，则的算术平方根是　　
A．25 B． C．5 D．
6.（2023春 上思县期中）如果一个自然数的算术平方根是，则下一个自然数的算术平方根是　　
A． B． C． D．
7.（2023春 雅安期末）已知实数、满足，则的平方根是　　
A． B．2 C． D．
8.（2023春 阆中市校级期末）若，则的值　　
A．0 B．1 C． D．2
9.（2023秋 兰考县期中）已知有理数，，满足，那么的平方根为　　．
10.（2023春 兰山区期末）若，，则下列各式中正确的是　　
A． B． C． D．
11.（2023秋 武冈市期末）下列说法正确的有　　
①是的一个平方根；
②的平方根是；
③2是4的平方根；
④4的平方根是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.（2023秋 洛阳期末）平方根等于它本身的数是　　
A． B．0 C．1 D．
13.（2023秋 萨尔图区校级期末）有下列说法：①25的平方根是5；②是的算术平方根；③的算术平方根是；④若一个数的一个平方根是，则这个数是5．其中，正确的是 　　（填序号）．
14.（2023秋 常州期末）求出中的值．
15.（2023春 江陵县校级月考）（1）已知和互为相反数，求的值．
（2）已知、都是实数，且，求的平方根．
16.（2023春 五华区校级期中）小强想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使长方形的长宽之比为．
（1）请你帮小强求出长方形纸片的长与宽；
（2）小强能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 专题04 平方根
1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 2.表示方法：a的算术平方根记为，a叫做被开方数． 3.特别规定：0的算术平方根是0. 4.的双重非负性：≥0（a≥0）. 5.算术平方根的性质: (1)正数有一个正的算术平方根. (2)0的算术平方根是0. 负数没有算术平方根. (4)算术平方根是它本身的数是0，1. 6.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根． 7.表示方法：正数a的平方根表示为±．其中，正数a的正的平方根叫正数a的算术平方根. 8.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方和平方互为逆运算. 9.平方根的性质： (1)正数的平方根有两个，它们互为相反数，即两个平方根相加为0. (2)0的平方根是0． (3)负数没有平方根. (4)平方根是它本身的数是0. 小数点的移动规律：对于来说，若a的小数点向左（或向右）移动两位，则的小数点向左（或向右）移动一位.反之也成立. 拓展：=a (a≥0）； = ▏a ▏（a为任意实数）.
考向1 算术平方根的概念及求法
1.（2023秋 任城区期末）的算术平方根是 　　．
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：，则其算术平方根为2，
故答案为：2．
2.（2023秋 铁西区校级期末）下列结果错误的有　　
A． B．的算术平方根是4
C．的算术平方根是 D．的算术平方根是
【分析】依据算术平方根、有理数的乘方法则求解即可．
【解答】解：、原式，故正确，与要求不符；
、，4的算术平方根是2，故错误，与要求相符；
、，它的算术平方根是，故正确，与要求不符；
、，的算术平方根是，故正确，与要求不符．
故选：．
3.（2023秋 广饶县校级期末）若，，且，则的算术平方根为　　
A．4 B．2 C． D．3
【答案】
【分析】先根据算术平方根、绝对值意义和求出、值，从而求出值，再求出其算术平方根即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
，，
，
的算术平方根为，
故选：．
名师点拨 一个正数的算术平方根是它的正的平方根，注意它们的联系和区别. 求带根号的数的平方根或算术平方根时，要先化简，这是特别容易错的地方.
考向2 平方根的概念及求法
1.（2023春 北屯市期中）的平方根是　　
A． B．3 C．9 D．
【答案】
【分析】根据算术平方根、平方根的定义即可求解．
【解答】解：，9的平方根是．
故选：．
2.（2023春 镜湖区校级期中）如果用表示3268的算术平方根，那么32.68的平方根是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平方根的定义直接求解即可得到结论．
【解答】解：用表示3268的算术平方根，
，
的平方根是．
故选：．
3.（2023秋 雨湖区期末）下列说法中正确的个数是　　
①的平方根是；
②没有平方根；
③非负数的平方根是非负数；
④负数没有平方根；
⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】根据平方根的定义逐个判断即可．
【解答】解：的平方根是，则①错误；
当时，的平方根是0，则②错误；
正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中一个是负数，则③错误；
负数没有平方根，则④正确；
0的平方根等于本身，则⑤错误；
综上，正确的个数是1个，
故选：．
名师点拨 平方根和算术平方根既有区别，又有联系，要认真区分. 正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0. 平方根是它本身的数只有0.
考向3 平方根性质的运用
1.（2023秋 耒阳市校级期末）已知的平方根为，的平方根为，求的平方根．
【分析】先根据题意得出，，然后解出，，从而得出，所以的平方根为．
【解答】解：的平方根为，的平方根为，
，，
解得：，，
，
的平方根为．
2.（2023秋 开江县校级期末）如果一个数的平方根是和，则的值为　　，这个数为　 　．
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得出的值，再代入即可得出这个数．
【解答】解：一个数的平方根是和，
，
解得，
把代入，
故这个数为49，
故答案为4，49．
3.（2023秋 芝罘区期末）已知和是实数的两个平方根，则的值是 　　．
【答案】4．
【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数即可求出的值，从而求出的值．
【解答】解：和是实数的两个平方根，
，
解得，
，，
，
故答案为：4．
名师点拨 正数有两个平方根，它们互为相反数，即相加为0. 有些题求其中一个字母系数，有些题要求原来的正数，要认真审题.
考向4 小数点的移动规律
1.（2023春 甘井子区校级月考）已知，，则　　
A．0.00607 B．0.0607 C．0.001921 D．0.01921
【答案】
【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致．
【解答】解：，
，
故选：．
2.（2023秋 衡阳县期中）已知，，下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题目意思，找出题中规律即可求解．
【解答】解：，，
．，选项符合题意；
．，选项不符合题意；
．，选项不符合题意；
．，选项不符合题意；
故选：．
3.（2023秋 斗门区期末）已知，若，则的值　　
A．86.2 B．0.862 C． D．
【答案】
【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出的值．
【解答】解：，，
，
则．
故选：．
名师点拨 1.对于来说，若a的小数点向左（或向右）移动两位，则的小数点向左（或向右）移动一位.反之也成立. 2.注：a的小数点是两位两位移动的.
考向4 运用平方根解方程
1.（2023 白云区一模）解方程：．
【分析】开平方求出的值，继而得出的值．
【解答】解：开平方得：，
，．
2.（2023秋 遵化市期中）如果，则　　．
【分析】方程变形后，两边直接开平方可得．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
3.（2023春 西和县期中）解方程：
．
【答案】，．
【分析】把看作一个整体，求解即可．
【解答】解：，
化为：，
，
，．
名师点拨 利用直接开平方法解一元二次方程的依据就是平方根的定义，有时要将某个式子看作一个整体. 整体思想是数学中常用的思想方法.
1.（2023春 宁南县校级月考）下列各数：，0，，，，24，，其中有平方根的数共有　　
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【答案】
【分析】先化简，根据正数和0有平方根即可解答．
【解答】解：，，，，
，0，，24，有平方根，
有平方根的数共有4个，
故选：．
2.（2023秋 威宁县期末）2023的算术平方根是　　
A．2023 B． C． D．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：2023的算术平方根是，
故选：．
3.（2023春 晋安区期中）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义依次计算即可求解．
【解答】解：、无意义，故错误，不符合题意；
、，故错误，不符合题意；
、，故错误，不符合题意；
、，故正确，符合题意．
故选：．
4.（2023秋 莲池区期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是　　
A． B．1 C．或3 D．或1
【答案】
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：与相等时，即，
解得，
与互为相反数时，即，
解得．
故选：．
5.（2023春 宁明县期中）已知正数的两个平方根分别和，则的算术平方根是　　
A．25 B． C．5 D．
【答案】
【分析】正数有两个平方根，分别是和，所以与互为相反数；即解答可求出；根据，代入可求出的值．
【解答】解：正数有两个平方根，分别是与，
，
解得，
所以，
所以的算术平方根是5．
故选：．
6.（2023春 上思县期中）如果一个自然数的算术平方根是，则下一个自然数的算术平方根是　　
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根乘方运算得被开方数，可得答案．
【解答】解：这个自然数是，则和这个自然数相邻的下一个自然数是，
则下一个自然数的算术平方根是：．
故选：．
7.（2023春 雅安期末）已知实数、满足，则的平方根是　　
A． B．2 C． D．
【答案】
【分析】根据二次根式以及平方具有非负性可知：，，又因为，所以可以求出，，代入到中，求出的平方根，即可解答．
【解答】解：，，
又，
，，
则，，
．
的平方根为，
故选：．
8.（2023春 阆中市校级期末）若，则的值　　
A．0 B．1 C． D．2
【答案】
【分析】先根据非负数的性质求出、，再代入，计算即可．
【解答】解：，
，，
，，
．
故选：．
9.（2023秋 兰考县期中）已知有理数，，满足，那么的平方根为　　．
【分析】根据算术平方根的非负性分别求出、、，根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：，
，，，
解得，，，，
则，
的平方根为，
的平方根为，
故答案为：．
10.（2023春 兰山区期末）若，，则下列各式中正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】被开方数的小数点向左或向右每移动两位，它的算术平方根的小数点相应的向左或向右移动一位，由此即可得到答案．
【解答】解：，
．
故选：．
11.（2023秋 武冈市期末）下列说法正确的有　　
①是的一个平方根；
②的平方根是；
③2是4的平方根；
④4的平方根是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据平方根的定义和性质求解即可．
【解答】解：①负数没有平方根，故①错误；
②的平方根是，故②错误；
③2是4的平方根正确，
④4的平方根是，故④错误．
故选：．
12.（2023秋 洛阳期末）平方根等于它本身的数是　　
A． B．0 C．1 D．
【答案】
【分析】根据平方根的性质计算．
【解答】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：．
13.（2023秋 萨尔图区校级期末）有下列说法：①25的平方根是5；②是的算术平方根；③的算术平方根是；④若一个数的一个平方根是，则这个数是5．其中，正确的是 　　（填序号）．
【答案】②④．
【分析】利用平方根的定义，算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：①25的平方根是，原说法错误；
②是的算术平方根，原说法正确；
③的算术平方根是4，原说法错误；
④若一个数的一个平方根是，则这个数是5，原说法正确．
其中，正确的是②④．
故答案为：②④．
14.（2023秋 常州期末）求出中的值．
【分析】根据则，再根据一个数的平方根有两个，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
．
15.（2023春 江陵县校级月考）（1）已知和互为相反数，求的值．
（2）已知、都是实数，且，求的平方根．
【分析】（1）利用互为相反数两数之和为0列出关系式，再利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）根据负数没有平方根求出与的值，即可确定出原式的平方根．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，，
则原式；
（2）由，为实数，且，
得到，，
则，64的平方根为．
16.（2023春 五华区校级期中）小强想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使长方形的长宽之比为．
（1）请你帮小强求出长方形纸片的长与宽；
（2）小强能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
【答案】（1）长方形纸片的长为，宽为；
（2）不能剪出符合要求的纸片．
【分析】（1）设长方形的长为，则宽为，根据面积求出矩形的长和宽即可；
（2）将（1）中求出的长方形的长与正方形的边长进行比较大小即可得出结果．
【解答】解：（1）设长方形的长为，则宽为，
根据题意得：，
解得：或（不合题意，舍去），
则，
答：长方形纸片的长为，宽为；
（2）小强不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：
正方形的面积为，
边长为，
，
不能剪出符合要求的纸片．

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