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专题05 立方根
1．立方根的概念和性质 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 2．开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． 开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根． 3.小数点的移动规律：对于来说，若被开方数a的小数点向左（或向右）移动三位，则的小数点向左（或向右）移动一位，反之也成立. 4.平方根和立方根的区别和联系 （1）被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． （2）运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．
考向1 立方根的概念及求法
1.（2023秋 齐河县期末）下列说法正确的是　　
A．1的立方根是 B．没有立方根
C．的平方根是 D．的立方根是
2.（2023春 川汇区期中）下列计算错误的是　　
A． B． C． D．
3.（2023春 莆田月考）一个数的立方根等于它本身，则这个数是　　
A．0 B．1 C． D．，0
名师点拨 1.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；正数的平方根有两个，它们互为相反数. 2.立方根是它本身的数是0，1，-1.
考向2 方根的综合运用
1.（2023秋 漳州期末）已知的算术平方根是5，的立方根是2，求的值．
2.（2023秋 仪征市期末）已知的平方根是，的立方根是3．
（1）求的平方根；
（2）若的算术平方根是4，求的立方根．
3.（2023秋 射洪市校级月考）已知的平方根是，的立方根是，求的立方根．
名师点拨 知道一个正数的平方根或算术平方根求原来的正数，只需要将平方根或算术平方根平方就行. 知道一个数的立方根求原来的数，只需求立方根的立方就行.
考向3 小数点的移动规律
1.（2023春 海沧区校级期中）如果，，那么约等于　　
A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3
2.（2023春 青云谱区校级期中）已知，，，，则　　．
3.（2023春 承德期末）已知，，，，若，则　　；若，则　　．
名师点拨 对于来说，若被开方数a的小数点向左（或向右）移动三位，则的小数点向左（或向右）移动一位，反之也成立. 注：a的小数点是三位三位移动的. 对于来说，若a的小数点向左（或向右）移动两位，则的小数点向左（或向右）移动一位.反之也成立. 注：a的小数点是两位两位移动的.
考向4 运用立方根解方程
（2023秋 丹阳市校级月考）解方程：
2.（2023秋 渠县校级期中）解方程：．
3.（2023春 兰山区期中）若，，则的值为　　
A． B．13 C．13或 D．13或3
名师点拨 只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x3=m或（ax+b）3=m的形式，再利用开立方的方法求解．
1.（2023秋 中牟县期末）125的立方根为　　
A．5 B． C． D．
2.（2023秋 莱州市期末）的平方根是　　．
3.（2023春 费县期中）已知实数，满足，则的立方根是 　　．
4.（2023春 川汇区期中）已知变换．例如，，．则的变换结果是　　
A． B． C． D．
5.（2023秋 莱州市期末）下列说法中，正确的是　　
A．一定没有平方根
B．一个数的立方根等于它本身，这个数是0和1
C．的算术平方根是2
D．是6的一个平方根
6.（2023春 临洮县期中）16的算术平方根是 　　，的平方根是 　　，的立方根是 　　．
7.（2023春 泸县校级期中）下列等式正确的是　　
A． B． C． D．
8.（2023秋 卢龙县期中）有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是　　
A． B．1 C．0 D．
9.（2023春 休宁县期中）在实数范围内，下列判断正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10.（2023秋 垣曲县期末）的平方根与的立方根之和是　　
A．0 B． C．4 D．0或
11.（2023春 南昌期中）已知，，是的立方根，求的平方根．
12.（2023春 源汇区期末）（1）一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数．
（2）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，求的平方根．
13.（2023秋 射洪市校级月考）已知的平方根是，的立方根是，求的立方根．
14.（2023秋 兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．
15.（2023春 湖里区期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：，，且
，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数字是9，而．
能确定的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而．
，可得．
的立方根的十位数字是3．
的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）填空：1728的立方根是一个 　　位数，其个位数字是 　　；
（2）仿照上面的方法求157464的立方根，并验证是157464的立方根． 专题05 立方根
1．立方根的概念和性质 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 2．开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． 开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根． 3.小数点的移动规律：对于来说，若被开方数a的小数点向左（或向右）移动三位，则的小数点向左（或向右）移动一位，反之也成立. 4.平方根和立方根的区别和联系 （1）被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． （2）运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．
考向1 立方根的概念及求法
1.（2023秋 齐河县期末）下列说法正确的是　　
A．1的立方根是 B．没有立方根
C．的平方根是 D．的立方根是
【答案】
【分析】运用立方根、平方根知识进行逐一辨别、求解．
【解答】解：的立方根是1，
选项不符合题意；
有立方根，
选项不符合题意；
的平方根是，
选项不符合题意；
的立方根是，
选项符合题意，
故选：．
2.（2023春 川汇区期中）下列计算错误的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】运用立方根知识对各选项进行求解、辨别．
【解答】解：，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意，
故选：．
3.（2023春 莆田月考）一个数的立方根等于它本身，则这个数是　　
A．0 B．1 C． D．，0
【答案】
【分析】根据立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：，，，
一个数的立方根等于它本身，则这个数是，0，1，
故选：．
名师点拨 1.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；正数的平方根有两个，它们互为相反数. 2.立方根是它本身的数是0，1，-1.
考向2 方根的综合运用
1.（2023秋 漳州期末）已知的算术平方根是5，的立方根是2，求的值．
【答案】10．
【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义得出，的值，进而得出答案．
【解答】解：的算术平方根是5，
，
，
的立方根是2，
，
，
．
2.（2023秋 仪征市期末）已知的平方根是，的立方根是3．
（1）求的平方根；
（2）若的算术平方根是4，求的立方根．
【答案】（1）的平方根为；
（2）的立方根．
【分析】分别运用平方根和立方根知识进行求解．
【解答】解：（1）由题意得，，，
解得，，
，
，
的平方根为；
（2）的算术平方根4，
，
即，
解得；
，
的立方根为，
的立方根．
3.（2023秋 射洪市校级月考）已知的平方根是，的立方根是，求的立方根．
【答案】3．
【分析】根据平方根与立方根的定义求得，的值，然后代入中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：的平方根是，的立方根是，
，，
解得：，，
则，
则的立方根是3．
名师点拨 知道一个正数的平方根或算术平方根求原来的正数，只需要将平方根或算术平方根平方就行. 知道一个数的立方根求原来的数，只需求立方根的立方就行.
考向3 小数点的移动规律
1.（2023春 海沧区校级期中）如果，，那么约等于　　
A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3
【答案】
【分析】根据“被开方数的小数点每向右（或左）移动三位，开方后立方根的小数点就向右（或左）移动一位”即可求解．
【解答】解：，
．
故选：．
2.（2023春 青云谱区校级期中）已知，，，，则　　．
【答案】．
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【解答】解：，
．
故答案为：．
3.（2023春 承德期末）已知，，，，若，则　　；若，则　　．
【分析】根据算术平方根的特点：算术平方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，立方根的特点：立方根的小数点向右（或向左）移动一位，则被开方数向右（或向左）移动3位，然后进行解答即可．
【解答】解：，，
，
，，
，
故答案为：2140，．
名师点拨 对于来说，若被开方数a的小数点向左（或向右）移动三位，则的小数点向左（或向右）移动一位，反之也成立. 注：a的小数点是三位三位移动的. 对于来说，若a的小数点向左（或向右）移动两位，则的小数点向左（或向右）移动一位.反之也成立. 注：a的小数点是两位两位移动的.
考向4 运用立方根解方程
（2023秋 丹阳市校级月考）解方程：
【答案】
【分析】方程利用立方根定义开立方即可求出的值；
【解答】解：开立方得：，
解得：；
2.（2023秋 渠县校级期中）解方程：．
【答案】
【分析】方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：，
开立方得：，
解得：．
3.（2023春 兰山区期中）若，，则的值为　　
A． B．13 C．13或 D．13或3
【答案】
【分析】先运用平方根和立方根知识求得，的值，再代入计算．
【解答】解：，，
，，
当，时，
；
当，时，
，
的值为13或3，
故答案为：．
名师点拨 只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x3=m或（ax+b）3=m的形式，再利用开立方的方法求解．
1.（2023秋 中牟县期末）125的立方根为　　
A．5 B． C． D．
【答案】
【分析】根据立方根的定义求出即可．
【解答】解：的立方根是．
故选：．
2.（2023秋 莱州市期末）的平方根是　　．
【分析】根据立方根的定义求出，然后利用平方根的定义求出结果．
【解答】解：
2的平方根是．
的平方根是．
故答案为：．
3.（2023春 费县期中）已知实数，满足，则的立方根是 　　．
【答案】．
【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再求出的值，进而求得答案．
【解答】解：，，，
，，
，，
，
的立方根是，
的立方根是．
故答案为：．
4.（2023春 川汇区期中）已知变换．例如，，．则的变换结果是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据运算定义，运用算术平方根和立方根知识进行求解．
【解答】解：由题意得，
，，，，
故选：．
5.（2023秋 莱州市期末）下列说法中，正确的是　　
A．一定没有平方根
B．一个数的立方根等于它本身，这个数是0和1
C．的算术平方根是2
D．是6的一个平方根
【答案】
【分析】根据平方根，算术平方根及立方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：若，那么有平方根，则不符合题意；
一个数的立方根等于它本身，这个数是，0和1，则不符合题意；
没有算术平方根，则不符合题意；
是6的一个平方根，则符合题意；
故选：．
6.（2023春 临洮县期中）16的算术平方根是 　　，的平方根是 　　，的立方根是 　　．
【答案】4；；．
【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义即可求解．
【解答】解：，
的算术平方根是4；
，9的平方根为，
的平方根是；
，
的立方根是；
故答案为：4；；．
7.（2023春 泸县校级期中）下列等式正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据算术平方根，立方根的定义和性质分别判断即可．
【解答】解：没有算术平方根，
故不符合题意；
，
故不符合题意；
，
故符合题意；
，
故不符合题意，
故选：．
8.（2023秋 卢龙县期中）有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是　　
A． B．1 C．0 D．
【分析】由相反数等于它本身的数是0，平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，，即可求得答案．
【解答】解：相反数等于它本身的数是0，平方根等于它本身的数是0，立方根等于它本身的数是0，，
相反数、平方根、立方根都等于它本身的数是0．
故选：．
9.（2023春 休宁县期中）在实数范围内，下列判断正确的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】根据绝对值的定义判断；根据有理数乘方的意义判断；根据立方根的性质判断；根据算术平方根的意义判断．
【解答】解：、若，则，故本选项判断错误，不符合题意；
、若，则，当时，，故本选项判断错误，不符合题意；
、若，则，故本选项判断正确，符合题意；
、若，则，故本选项判断错误，不符合题意；
故选：．
10.（2023秋 垣曲县期末）的平方根与的立方根之和是　　
A．0 B． C．4 D．0或
【分析】根据立方根与算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：，
的平方根是，
的立方根是，
或，
故选：．
11.（2023春 南昌期中）已知，，是的立方根，求的平方根．
【答案】．
【分析】根据，，是的立方根，可以求得、、的值，从而可以解答本题．
【解答】解：，，是的立方根，
，，，
，
的平方根是．
12.（2023春 源汇区期末）（1）一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数．
（2）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，求的平方根．
【答案】（1）25；（2）．
【分析】（1）由平方根的性质知，解之可得，据此知这个数为，再代入计算可得；
（2）直接利用算术平方根及立方根的定义分别化简得出答案．
【解答】解：（1）根据题意知：，
解得：，
所以这个正数为；
（2）的算术平方根为3，
，
解得，
的立方根是，
，
，
的平方根是它本身，
，
，
的平方根是．
13.（2023秋 射洪市校级月考）已知的平方根是，的立方根是，求的立方根．
【答案】3．
【分析】根据平方根与立方根的定义求得，的值，然后代入中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：的平方根是，的立方根是，
，，
解得：，，
则，
则的立方根是3．
14.（2023秋 兴化市期末）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：，，，，，
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值；
（3）根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，，用含的代数式表示．
【答案】（1）．
（2）．
（3）．
【分析】（1）先变形，再求值．
（2）先变形，再求值．
（3）先变形，再求值．
【解答】解：（1），
．
（2），
．
．
（3），
．
．
，即．
15.（2023春 湖里区期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：，，且
，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：的个位数字是9，而．
能确定的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而．
，可得．
的立方根的十位数字是3．
的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
（1）填空：1728的立方根是一个 　　位数，其个位数字是 　　；
（2）仿照上面的方法求157464的立方根，并验证是157464的立方根．
【答案】54．
【分析】（1）根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字．
（2）按照题目提供的步骤，先确定157464的立方根是几位数，再根据157464的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数．
【解答】解：（1），
，是个两位数，
，
个位数是2，
故答案为：2；2．
（2），，且，
的立方根是两位数；
的个位数字是4，而．
能确定的个位数字是4．
如果划除157464后面的三位数，得到数157，而．
，
的立方根的十位数字是5．
的立方根是54．

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