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专题06 实数
1．无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0．121121112…等． （2）判断方法： ①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据； ②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）． （3）初中阶段常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π的一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0．2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）． 2．实数的概念和分类 （1）概念：有理数与无理数统称为实数． （2）实数按定义分类： 按正负分类： （3）分类标准的选择 对实数进行分类时，标准不同，得到的分类结果也就不同，但不管哪种分类方法，都要按照统一标准，做到不重不漏． 3．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． （2）实数的大小比较 在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 4．实数的有关概念 （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如和互为相反数；的绝对值是；的倒数是． （2）有关概念 ①相反数：数a的相反数是． ②倒数：实数a的倒数是． ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即． 5．实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用． 实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺序依次进行．如果遇到括号，则先进行括号里的运算． 6．比较实数大小常用的方法 （1）作差法 （2）作商法 （3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而确定两个无理数的大小． （4）比较被开方数：若a>b>0，则，． （5）倒数法：设a>0，b>0，若，则ac，c>b，那么a>b．
考向1 实数的概念和分类
1.（2023秋 信都区期中）下列分类，正确的是　　
A．有理数 B．无理数
C．实数 D．实数
【答案】
【分析】根据实数的分类即可求解．
【解答】解：实数分为有理数和无理数，
故选：．
2.（2023秋 诸暨市期末）下列各数：，，0.34，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ．其中无理数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：在实数，，0.34，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ，无理数有，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ，共3个．
故选：．
3.（2023秋 浑南区月考）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：
，，2.3，，0，，，，；
负实数集合　　；
有理数集合　　；
无理数集合　　．
【答案】，，；，，2.3，0，；，，，．
【分析】运用实数的概念进行逐一辨别、分类．
【解答】解：，，是负实数，
，，2.3，0，是有理数，
，，，是无理数，
故答案为：，，；，，2.3，0，；，，，．
名师点拨 1.判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2.带根号的数并不都是无理数（比如，），而开方开不尽的数才是无理数． 3.实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏． 4.对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．
考向2 实数与数轴
1.（2023秋 北海期末）和数轴上的点一一对应的是　　
A．整数 B．无理数 C．实数 D．有理数
【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应的进行解答．
【解答】解：实数与数轴上的点是一一对应的，
和数轴上的点一一对应的是实数．
故选：．
2.（2023秋 岳麓区校级期末）如图，点所表示的数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】数轴上的数，就是离开原点的距离加性质符号，因为，所以，表示的是负数，也就是，去掉括号选．
【解答】解：在中，，
，
，
表示的数是，
故选．
3.（2023春 南沙区期末）实数与数轴上的点是一一对应的，可表示为数到原点的距离．如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点．根据图像可以猜想：若不等式，是整数，那么满足条件的的个数是　　
A．6个 B．7个 C．12个 D．13个
【答案】
【分析】由图知，根据是整数，得出的可能的取值即可．
【解答】解：由图知，
，是整数，
可能为：，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，
即满足条件的的个数为13个，
故选：．
名师点拨 数轴上的数，右边的数比左边的数大，实数与数轴上的点一一对应．若实数a，b在数轴上所对应的点分别为A，B，则数轴上A，B两点之间的距离AB=|a-b|．
考向3 实数的大小比较与估算
1.（2023秋 双流区期末）比较大小：　　．
【分析】先估算出的值，再根据同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的数较大即可进行解答．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
2.（2023秋 华容县期末）下列整数中，与最接近的是　　
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】
【分析】首先判断出，所以，然后计算3.5的平方与13作比较，再得，即可作出判断．
【解答】解：，
，
，
，且，
，
，
与最接近的是6．
故选：．
3.（2023 香洲区校级一模）设的整数部分为，小数部分为，则的值是　　
A．6 B． C． D．1
【答案】
【分析】先估算出介于3和4之间，即可先出和的值，代入原式即可进行运算．
【解答】解：，
，
，，
原式，
故选：．
名师点拨 两个实数比较大小： 1.数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大； 2.正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小． 3.若，则（n为非负整数）． 4.估算含有根号的正无理数，先估算出正无理数q的取值范围，若n 考向4 实数的运算
1.（2023秋 宁强县期末）计算：．
【答案】．
【分析】利用绝对值的性质，算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：原式
．
（2023春 播州区期中）计算：．
【答案】
【分析】根据乘方和绝对值性质进行实数运算即可
【解答】解：
；
3.（2023春 敦化市期末）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
【答案】2．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：由数轴可得：，，
则，，，
故原式
．
名师点拨 1.在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用． 2.结合数轴化简代数式时，要熟练运用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质.
1.（2023秋 仁寿县校级月考）的平方根是 　　，的相反数是 　　，　　．
【答案】，，．
【分析】分别根据平方根、相反数及绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：的平方根是，的相反数是，．
故答案为：，，．
2.（2023秋 长兴县期中）已知，，，．若为整数且，则值为　　
A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】
【分析】估算出的值即可解答．
【解答】解：，，
，
，
为整数且，
，
故选：．
3.（2023秋 河口区期末）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
4.（2023秋 隆回县期末）下列说法：
①负数没有立方根；
②实数和数轴上的点是一一对应的；
③；
④任何实数不是有理数就是无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数；
⑥无理数都是无限小数．
其中正确的个数有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【分析】根据实数的运算，实数与数轴，立方根的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：①负数有立方根，故①不正确；
②实数和数轴上的点是一一对应的，故②正确；
③，故③不正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故④正确；
⑤两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数，故⑤不正确；
⑥无理数都是无限小数，故⑥正确；
所以，上列说法，其中正确的个数有3个，
故选：．
5.（2024 南召县开学）对于实数，，定义运算“※”：※，例如：5※，若※，则的值为 　　．
【答案】1．
【分析】根据※，由※，可得：，据此求出的值即可．
【解答】解：※，且※，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：1．
6.（2023春 陆丰市期末）计算：．
【答案】．
【分析】根据绝对值的性质，立方根，算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式
．
7.（2023秋 西湖区校级期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为，小数部分为，则，且．
（1）的整数部分是 　　，小数部分是 　　；
（2）若的整数部分为，小数部分为，求的值．
【答案】（1）7；；（2）104．
【分析】（1）利用夹逼法推算出整数部分，再用原数减去整数部分即是原数的小数部分；
（2）利用夹逼法推算出、的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：（1），
，
的整数部分是7，小数部分是：，
故答案案为：7；；
（2），
，
，，
．
8.（2023 靖宇县一模）任意给出一个非零实数，按如图所示的程序进行计算．
（1）用含的代数式表示该程序的运算过程．
（2）当时，求输出的结果．
【分析】（1）直接利用运算程序进而得出关于的代数式；
（2）把已知数据代入求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：；
（2）原式，
当时，原式．
9.（2023秋 拱墅区校级期中）如图，借助边长为1的正方形，可以准确地将表示在数轴上．若在数轴上以点为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点，若点表示的数是3，则点表示的数为 　　．
【答案】．
【分析】利用勾股定理列式求出半径，再根据数轴上的数左边的数比右边的数小表示出即可．
【解答】解：如图，
正方形的边长为1，
圆的半径为，
即，，
点表示的数是，
故答案为：．
10.（2023秋 鄞州区校级期中）把下列各数分类，，0.45，，0，，，，，（两个“1”之间依次多一个“0” ，10，．
（1）正整数：　　；
（2）负整数：　　；
（3）整数：　　；
（4）分数：　　；
（5）无理数：　　；
（6）实数：　　．
【答案】，10；，；，0，，，10；0.45，，，；，3.1010010001 （两个“1”之间依次多一个“0” ；，0.45，，0，，，，，（两个“1”之间依次多一个“0” ，10，．
【分析】根据正整数，负整数，整数，分数，无理数，实数的定义进行分类．
【解答】解：，
（1）正整数：，；
（2）负整数：，；
（3）整数：，0，，，；
（4）分数：，，，；
（5）无理数：，3.1010010001 （两个“1”之间依次多一个“0” ；
（6）实数：，0.45，，0，，，，，（两个“1”之间依次多一个“0” ，10，．
故答案为：，10；，；，0，，，10；0.45，，，；，3.1010010001 （两个“1”之间依次多一个“0” ；，0.45，，0，，，，，（两个“1”之间依次多一个“0” ，10，． 专题06 实数
1．无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0．121121112…等． （2）判断方法： ①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据； ②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）． （3）初中阶段常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π的一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0．2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）． 2．实数的概念和分类 （1）概念：有理数与无理数统称为实数． （2）实数按定义分类： 按正负分类： （3）分类标准的选择 对实数进行分类时，标准不同，得到的分类结果也就不同，但不管哪种分类方法，都要按照统一标准，做到不重不漏． 3．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． （2）实数的大小比较 在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 4．实数的有关概念 （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如和互为相反数；的绝对值是；的倒数是． （2）有关概念 ①相反数：数a的相反数是． ②倒数：实数a的倒数是． ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即． 5．实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用． 实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺序依次进行．如果遇到括号，则先进行括号里的运算． 6．比较实数大小常用的方法 （1）作差法 （2）作商法 （3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而确定两个无理数的大小． （4）比较被开方数：若a>b>0，则，． （5）倒数法：设a>0，b>0，若，则ac，c>b，那么a>b．
考向1 实数的概念和分类
1.（2023秋 信都区期中）下列分类，正确的是　　
A．有理数 B．无理数
C．实数 D．实数
2.（2023秋 诸暨市期末）下列各数：，，0.34，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7” ．其中无理数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.（2023秋 浑南区月考）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：
，，2.3，，0，，，，；
负实数集合　　；
有理数集合　　；
无理数集合　　．
名师点拨 1.判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2.带根号的数并不都是无理数（比如，），而开方开不尽的数才是无理数． 3.实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏． 4.对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．
考向2 实数与数轴
1.（2023秋 北海期末）和数轴上的点一一对应的是　　
A．整数 B．无理数 C．实数 D．有理数
2.（2023秋 岳麓区校级期末）如图，点所表示的数是　　
A． B． C． D．
3.（2023春 南沙区期末）实数与数轴上的点是一一对应的，可表示为数到原点的距离．如图，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点．根据图像可以猜想：若不等式，是整数，那么满足条件的的个数是　　
A．6个 B．7个 C．12个 D．13个
名师点拨 数轴上的数，右边的数比左边的数大，实数与数轴上的点一一对应．若实数a，b在数轴上所对应的点分别为A，B，则数轴上A，B两点之间的距离AB=|a-b|．
考向3 实数的大小比较与估算
1.（2023秋 双流区期末）比较大小：　　．
2.（2023秋 华容县期末）下列整数中，与最接近的是　　
A．7 B．6 C．5 D．4
3.（2023 香洲区校级一模）设的整数部分为，小数部分为，则的值是　　
A．6 B． C． D．1
名师点拨 两个实数比较大小： 1.数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大； 2.正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小． 3.若，则（n为非负整数）． 4.估算含有根号的正无理数，先估算出正无理数q的取值范围，若n 考向4 实数的运算
1.（2023秋 宁强县期末）计算：．
（2023春 播州区期中）计算：．
3.（2023春 敦化市期末）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
名师点拨 1.在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用． 2.结合数轴化简代数式时，要熟练运用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质.
1.（2023秋 仁寿县校级月考）的平方根是 　　，的相反数是 　　，　　．
2.（2023秋 长兴县期中）已知，，，．若为整数且，则值为　　
A．44 B．45 C．46 D．47
3.（2023秋 河口区期末）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
4.（2023秋 隆回县期末）下列说法：
①负数没有立方根；
②实数和数轴上的点是一一对应的；
③；
④任何实数不是有理数就是无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数；
⑥无理数都是无限小数．
其中正确的个数有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5.（2024 南召县开学）对于实数，，定义运算“※”：※，例如：5※，若※，则的值为 　　．
6.（2023春 陆丰市期末）计算：．
7.（2023秋 西湖区校级期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为，小数部分为，则，且．
（1）的整数部分是 　　，小数部分是 　　；
（2）若的整数部分为，小数部分为，求的值．
8.（2023 靖宇县一模）任意给出一个非零实数，按如图所示的程序进行计算．
（1）用含的代数式表示该程序的运算过程．
（2）当时，求输出的结果．
9.（2023秋 拱墅区校级期中）如图，借助边长为1的正方形，可以准确地将表示在数轴上．若在数轴上以点为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点，若点表示的数是3，则点表示的数为 　　．
10.（2023秋 鄞州区校级期中）把下列各数分类，，0.45，，0，，，，，（两个“1”之间依次多一个“0” ，10，．
（1）正整数：　　；
（2）负整数：　　；
（3）整数：　　；
（4）分数：　　；
（5）无理数：　　；
（6）实数：　　．

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