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专题03 平行线中的“拐点”问题
1.平行线中的“拐点”问题，实质上是对平行线的性质和判定的综合运用. 2.各种模型都有固定的结论，掌握这些结论，可以快速完成相应的选择题和填空题. 3.对于“拐点”问题，都可以通过从“拐点”作其中一条直线的平行线来解决.
考向1 平行线模型—“猪蹄型”
1.（2023春 高安市期中）如图，直线，，则　　．
【答案】．
【分析】根据邻补角的定义可得，即可算出的度数，根据平行线的性质可得，，计算即可得出答案．
【解答】解：如图，
，
，
，
．
故答案为：．
2.（2023春 全南县期末）（1）如图1已知：，，．探究与有怎样的位置关系．
（2）如图2已知，试猜想，，之间的关系，写出这种关系，并加以证明．
（3）如图3已知，试猜想，，，，之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）根据平行线的性质和判定得出角的关系即可．
【解答】解：（1）过点作
（2）过点作
（3）．
3.（2023秋 白银区期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数．
【答案】（1），见解答过程；
（2）．
【分析】（1）过点作，从而可得，结合平行线的性质即可求解；
（2）由三角形的内角和可求得，由对顶角相等得，再结合（1）的结论进行求解即可．
【解答】解：（1），理由如下：
点作，如图1，
，
，
，，
，
；
（2），，
，
，
由“猪蹄模型”得：．
名师点拨 如果a//b，则∠2=∠1+∠3
考向2 平行线模型—“铅笔型”
1.（2024 九龙坡区校级开学）如图所示，直线，垂直于于，则的大小是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】过点作，根据铅笔模型进行计算即可解答．
【解答】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2.（2023春 太原期中）问题情境
（1）如图①，已知，试探究直线与有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线与的位置关系是．
理由如下：
过点作（如图②所示），
所以（依据，
因为（已知），
所以，
所以，
所以（依据，
因为，
所以（依据．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”：　　，
“依据2”：　　，
“依据3”：　　，
类比探究
（2）如图，当、、、满足条件　　时，有．
拓展延伸
（3）如图，当、、、满足条件　　时，有．
【分析】（1）过点作．由两直线平行，同旁内角互补及已知条件求得；然后根据平行线的传递性证得；
（2）过点、分别作．根据两直线平行，同旁内角互补以及满足的条件求得同旁内角，所以；最后根据平行线的传递性来证得；
（3）过点、分别作．由两直线平行，内错角相等可得①，②；由于满足的条件是③，③①②可得同旁内角，所以；最后根据平行线的传递性来证得．
【解答】解：（1）“依据1”：两直线平行，同旁内角互补，
“依据2”：同旁内角互补，两直线平行，
“依据3”：平行于同一条直线的两直线平行，
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，
（2）如图，当、、、满足条件时，有．
理由：过点、分别作．
则，，
；
又，
，
，
；
故答案为：；
（3）如图，当、、、满足条件时，有．
理由：过点、分别作．
则，，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
3.（2023春 安徽月考）（1）如图1，直线．点在直线，之间，试说明：．
小明说明的过程是这样的：“过点作，”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线，点，在直线，之间，且点，在直线的同侧，如图2，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由；
②直线，点，在直线，之间，且点，在直线的两侧．如图3，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若，直接写出图中的度数（不用说理）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得，，根据等式的性质可得，即可得出答案；
（2）①过点作，过点作，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，，，，根据等式的性质可得，即可得出答案；
（3）如图4，根据平行线模型锯齿模型定理，朝向左边的角的和朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，角的邻补角为，所以可列，求出即可得出答案．
【解答】解：（1）过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）①过点作，过点作，如图5，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）．
名师点拨 如果a//b，则∠1+∠2+∠3=360°
考向3 平行线模型—“牛角型”
1.（2023 龙湖区校级三模）如图所示，直线，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形外角的性质，欲求，需求．根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
2.（2023 大连模拟）如图，已知，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先根据平行线的性质得，再根据对顶角相等得，然后利用三角形的内角和定理可求出的度数．
【解答】解：，，
，
，
，
即，
，
故选：．
3.（2023春 乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，，点是直线，外任意一点，连接，．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数．
解：过点作．
．
，
．
．
．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：　　；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
【答案】，
【分析】过做平行线，由平行线的性质可求解
【解答】解（1）过作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）过点作，
，
，
．
，
，
．
名师点拨 如果a//b，则∠1=∠2+∠3 如果a//b，则∠3=∠2+∠1
考向4 平行线模型—“2”字型
1.（2023 如皋市一模）如图，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】如图，作，利用平行线的性质得，，，即可得出答案．
【解答】解：如图，作，
，，
，
，，
，，
，，
，
故选：．
2.已知．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，的平分线的反向延长线交的平分线于．若，，求．
【答案】（1）详见解析；
（2）．
【分析】（1）过作，根据平行线的性质可求，，进而可证明结论；
（2）易求，根据（1）的结论可求解，根据角平分线的定义可得，过点作，结合平行线的性质利用可求解；
【解答】（1）证明：如图，过作，
，
，
，，
，
即：；
（2）解：，
，
平分，
，
由（1）得：，
平分，
，
过点作，如图：
，
，
，，
．
3.（2023春 大足区期末）已知直线，为平面内一点，连接、．
（1）如图1，已知，，求的度数；
（2）如图2，判断、、之间的数量关系为 　　；
（3）如图3，，平分，若，求的度数．
【答案】（1），
（2）．
（3）．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点作构造内错角和同旁内角，利用平行线的性质即可解答；
（3）根据第（2）的结论即可求解．
【解答】解：（1）过点作，如图：
则，
，，
，
，
，
（2）过点作，则，如图：
，
，，
，
，
即．
故答案为：．
（3）过作，过作，如图：
，
设，则，，
，
由（2）可知，
即，
解得．
名师点拨 如果AB//CD，则∠1+∠2-∠3 =180°
1.（2023春 临淄区期末）如图，，，则、和的关系是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长交与，延长交于．
在直角中，；中，，
，
，
，即．
故选：．
2.（2023 金安区一模）如图，已知，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】解法一：过点作，则，易得，进而得到，求得，于是，代入计算即可求解．
解法二：延长交于点，由平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质可得，进而求得，最后根据平角的定义即可求解．
【解答】解：解法一：如图，过点作，
，
，，
，
，
，
．
解法二：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
．
故选：．
3.（2023春 开江县校级期中）如图，已知，则图形中所有平行的是　　
A． B．
C． D．，
【答案】
【分析】根据内错角相等，两直线平行；以及平行线的传递性即可求解．
【解答】解：，
，，，
．
故选：．
4.（2023春 和平区校级期中）解答下列问题．
（1）探究（1）如图，若，求证：．
（2）若将点移至图所示位置，请证明此时、、之间有何关系？
（3）若将点移至图所示位置，直接写出此时、、之间有什么关系？
（4）图中，，与有何关系？将结论推广到图又如何？请直接写出2个图的结论．
【答案】（1）答案将解题过程；（2），理由见解答过程；（3），理由见解答过程；（4），理由见解答过程，．
【分析】（1）过点作，则，再根据已知条件可判定，进而得，据此可得出结论；
（2）过点作，则，再根据已知条件可判定，进而得，据此可得出答案；
（3）过点作，则，再根据已知条件可判定，进而得，据此可得出答案；
（4）过点作，由（1）可知：，再根据已知条件可判定，由（1）可知：，据此可得出答案；由上述结论，利用类比思想即可得出答案．
【解答】（1）证明：过点作，
，
，，
，
，
．
（2）解：、、之间的关系是：．
理由如下：
过点作，
，
，，
，
，
，
即：．
（3）解：、、之间的关系是：．
理由如下：
过点作，
，
，，
，
，
，
即：．
（4）与的关系是：．
理由如下：
过点作，
由（1）可知：，
，，
，
，
，
即：，
由上述的结论得：
． 专题03 平行线中的“拐点”问题
1.平行线中的“拐点”问题，实质上是对平行线的性质和判定的综合运用. 2.各种模型都有固定的结论，掌握这些结论，可以快速完成相应的选择题和填空题. 3.对于“拐点”问题，都可以通过从“拐点”作其中一条直线的平行线来解决.
考向1 平行线模型—“猪蹄型”
1.（2023春 高安市期中）如图，直线，，则　　．
2.（2023春 全南县期末）（1）如图1已知：，，．探究与有怎样的位置关系．
（2）如图2已知，试猜想，，之间的关系，写出这种关系，并加以证明．
（3）如图3已知，试猜想，，，，之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．
3.（2023秋 白银区期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数．
名师点拨 如果a//b，则∠2=∠1+∠3
考向2 平行线模型—“铅笔型”
1.（2024 九龙坡区校级开学）如图所示，直线，垂直于于，则的大小是　　
A． B． C． D．
2.（2023春 太原期中）问题情境
（1）如图①，已知，试探究直线与有怎样的位置关系？并说明理由．
小明给出下面正确的解法：
直线与的位置关系是．
理由如下：
过点作（如图②所示），
所以（依据，
因为（已知），
所以，
所以，
所以（依据，
因为，
所以（依据．
交流反思
上述解答过程中的“依据1”，“依据2”，“依据3”分别指什么？
“依据1”：　　，
“依据2”：　　，
“依据3”：　　，
类比探究
（2）如图，当、、、满足条件　　时，有．
拓展延伸
（3）如图，当、、、满足条件　　时，有．
3.（2023春 安徽月考）（1）如图1，直线．点在直线，之间，试说明：．
小明说明的过程是这样的：“过点作，”
请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．
（2）①直线，点，在直线，之间，且点，在直线的同侧，如图2，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由；
②直线，点，在直线，之间，且点，在直线的两侧．如图3，试探究，，，之间的数量关系，并说明理由．
请在①②任选一个问题进行解答．
（3）如图4，若，直接写出图中的度数（不用说理）．
名师点拨 如果a//b，则∠1+∠2+∠3=360°
考向3 平行线模型—“牛角型”
1.（2023 龙湖区校级三模）如图所示，直线，，，则　　
A． B． C． D．
2.（2023 大连模拟）如图，已知，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
3.（2023春 乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，，点是直线，外任意一点，连接，．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数．
解：过点作．
．
，
．
．
．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：　　；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
名师点拨 如果a//b，则∠1=∠2+∠3 如果a//b，则∠3=∠2+∠1
考向4 平行线模型—“2”字型
1.（2023 如皋市一模）如图，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
2.已知．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，的平分线的反向延长线交的平分线于．若，，求．
3.（2023春 大足区期末）已知直线，为平面内一点，连接、．
（1）如图1，已知，，求的度数；
（2）如图2，判断、、之间的数量关系为 　　；
（3）如图3，，平分，若，求的度数．
名师点拨 如果AB//CD，则∠1+∠2-∠3 =180°
1.（2023春 临淄区期末）如图，，，则、和的关系是　　
A． B． C． D．
2.（2023 金安区一模）如图，已知，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
3.（2023春 开江县校级期中）如图，已知，则图形中所有平行的是　　
A． B．
C． D．，
4.（2023春 和平区校级期中）解答下列问题．
（1）探究（1）如图，若，求证：．
（2）若将点移至图所示位置，请证明此时、、之间有何关系？
（3）若将点移至图所示位置，直接写出此时、、之间有什么关系？
（4）图中，，与有何关系？将结论推广到图又如何？请直接写出2个图的结论．

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