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专题7 双曲线与抛物线
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（五大命题方向+四道高考预测试题，高考必考20-26分）
命题点1双曲线基本性质（离心率，直线与双曲线的关系）
命题点2抛物线的基本性质（焦点准线，直线与抛物线关系）
命题点3双曲线抛物线有关定值定点问题
命题点4双曲线抛物线有关面积问题
命题点5双曲线抛物线综合问题应用
04创新好题·分层训练（精选10道最新名校模拟试题+10道综合提升）
常见的双曲线二级结论
1.（1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③.
（2）与有相同焦点的双曲线方程为
（3）与有相同焦点的椭圆方程为：
（4）与有相同焦点的双曲线方程为：
（5）与有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在轴上时：
②焦点在轴上时：
（6）与有相同的渐近线方程为：；
2.双曲线的两焦点分别为，是双曲线上任意一点，则有以下结论成立:
（1）；（2）；
3.双曲线的方程为（a＞0，b＞0），是双曲线上任意一点，则有:；
4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记，则
（1）.
（2）焦点三角形的面积.
5.有关的经典结论
（1）AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即.
（2）双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有
（3）双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有
（4）双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有
6.若在双曲线上，则
（1）以为切点的切线斜率为；（2）过的双曲线的切线方程是.
7.若在双曲线外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
8.双曲线的两个顶点为，，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
9.过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B，C两点，则直线BC有定向且（常数）.
10.离心率e==、e2=
11.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为，
12.双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为
13.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值
14.与双曲线（a＞0，b＞0）有相同渐近线的双曲线方程可设为
15.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为
16.双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
17.设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，焦点在x轴的焦点弦长为
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角.
18.若AB是过焦点F的弦，设，，AB交在同支时，，AB交在两支时，（设）.
有关抛物线的二级结论
1.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
（1）
（2）
（3）
（4）；（5）；
（6）；
（7）以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与轴相切；
2.焦点对在准线上射影的张角为
3.如图所示，以两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M，则有：
（1）M点必在准线上；
（2）设线段AB的中点为N，则，即；
（3）
4.AB的中垂线与X轴交于点R，则
5.以A为切点的切线斜率为，切线方程为
6.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，，则有；
7.已知A，B是抛物线两点，且直线AB不垂直于轴，则有：
8.（或）的参数方程为（或）（为参数）.
9.抛物线y2=2px（p>0）内接直角三角形OAB的性质：
①；②恒过定点；
③中点轨迹方程：；
④，则轨迹方程为：；
⑤.
10.抛物线y2=2px（p>0），对称轴上一定点，则：
①当时，顶点到点A距离最小，最小值为；
②当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为.
11.抛物线y2=2px（p>0）与直线相交于且该直线与轴交于点，则有
12.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的直线交该抛物线于、两点，自、两点向准线作垂线，垂足分别为，则；其逆命题：若，则A、F、B三点共线.
※若点M是准线上任一点，则.
解析几何直线与圆，椭圆方程是高考中必考点，一般是小题部分考查一题，解答题一般椭圆，双曲线，抛物线为主，主要考查定值，定点，取值范围问题.对于新高考中，解答题考查计算能力.
考点 考向 考题
双曲线，抛物线 ①双曲线的基本性质②抛物线的基本性质 ③定值定点问题 ④面积问题 ⑤综合问题 2023新高考全国ⅠT16全国乙T12甲T92022全国甲卷T15乙卷T11 2021全国乙卷T14甲卷T5ⅡT13 2023乙卷T12 2022全国乙卷T6新高考Ⅰ卷T11全国ⅡT10 2021全国ⅡT3Ⅰ卷T14 2023ⅡT21 2022甲T21 2021ⅠT21 2023甲T21 2022ⅠT21 2023ⅠT22 2022ⅡT21 2021乙卷T20甲卷T20
命题点1双曲线基本性质（离心率，直线与双曲线的关系）
典例01
（2023·全国·甲卷）
1．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
典例02
（2022·全国·乙卷）
2．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
典例03
（2023·全国·Ⅰ卷）
3．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
命题点2抛物线的基本性质（焦点准线，直线与抛物线关系）
典例01
（2022·全国·乙卷）
4．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多选题
典例02
（2022·全国·Ⅰ卷）
5．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
典例03
（2022·全国·Ⅱ卷）
6．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
命题点3双曲线抛物线有关定值定点问题
典例01
（2023·全国·Ⅱ卷）
7．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
典例02
（2022·全国·甲卷）
8．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
典例03
（2021·全国·Ⅰ卷）
9．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
命题点4双曲线抛物线有关面积问题
典例1
（2023·全国·甲卷）
10．已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
典例2
（2022·全国·Ⅰ）
11．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
命题点5双曲线抛物线综合问题应用
典例01
（2023·全国·Ⅰ卷）
12．在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
典例02
（2021·全国·乙卷）
13．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
预计2024年新高考中试卷结将是单选题的形式考查关于双曲线离心率的性质或者是多选题将是以考查抛物线有关性质，解答题中很大概率考查双曲线的定值定点问题或者是综合问题
一、单选题
14．已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
15．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点．若为抛物线内部一点，且周长的最小值为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.
17．已知抛物线的焦点为， 过的直线交于两点， 过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为直线与直线的交点;
（i）证明在定直线上；
（ii）求面积的最小值.
（★精选10道最新名校模拟考试题+10道能力高频考点提升题）
一、单选题
（2024上·河南焦作·高三统考期末）
18．已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于两点，若，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·天津·高三校联考期末）
19．已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2024·广东佛山·统考一模）
20．设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
（2024上·北京朝阳·高三统考期末）
21．设抛物线的焦点为，点是的准线与的对称轴的交点，点在上.若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2024上·河北邢台·高三统考期末）
22．已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，为上一点，且，若到一条渐近线的距离为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．的坐标可能是
D．若过点且斜率为的直线与的左支有交点，则
（2024上·浙江宁波·高三统考期末）
23．已知圆，抛物线的焦点为为抛物线上一点，则（ ）
A．以点为直径端点的圆与轴相切
B．当最小时，
C．当时，直线与圆相切
D．当时，以为圆心，线段长为半径的圆与圆相交公共弦长为
三、填空题
（2024·贵州·校联考模拟预测）
24．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为 .
（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）
25．已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于两点（点在轴的上方），则 .
四、解答题
（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）
26．已知双曲线的左 右焦点分别为，点在上，且的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2024上·河北邢台·高三统考期末）
27．设为抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线
上一点，当轴时，．
(1)求抛物线的方程．
(2)的延长线与的交点为，的延长线与的交点为，点在与之间．
（i）证明：，两点关于轴对称．
（ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围．
一、单选题
（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）
28．已知直线过双曲线的左焦点，且与双曲线的左支交于，两点，并满足，点与点关于原点对称，若，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
（2024上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）
29．已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·山东威海·高三统考期末）
30．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与圆相切于点，且与双曲线的右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（2024上·河北·高三校联考期末）
31．已知双曲线的离心率为2，左 右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（2024·广西·模拟预测）
32．已知双曲线：的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆与双曲线在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（ ）
A． B．
C．四边形的面积为 D．双曲线的离心率为
（2024下·全国·高三开学考试）
33．已知双曲线的离心率为，，是双曲线的两个焦点，经过点的直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的实轴长为
C．线段的长为
D．是直角三角形
（2024·浙江·校联考一模）
34．设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ）
A．
B．若，则点的坐标为
C．的最小值为
D．满足面积为的点有2个
（2024下·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）
35．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（ ）
A．若，则中点到轴的距离为4
B．弦的中点的轨迹为抛物线
C．若，则直线的斜率
D．的最小值等于9
三、解答题
（2024·全国·高三专题练习）
36．已知椭圆的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，四边形的内切圆的面积为，其离心率；抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.斜率为k的直线l过抛物线的焦点且与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)是否存在常数，使得为一个与k无关的常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（2024上·上海普陀·高三校考期末）
37．已知双曲线的方程：，直线与双曲线的两支交于，直线与双曲线的两支交于.
(1)若双曲线焦距为4，求能使时的取值范围.
(2)在（1）的条件下，若双曲线的离心率为时，求四边形的面积最小值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线为，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
2．AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
3．##
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
4．B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
5．BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
6．ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
7．(1)
(2)证明见解析.
【分析】
（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【详解】（1）
设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）
由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】
关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
8．(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
9．（1）；（2）.
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值.
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【详解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
11．(1)；
(2)．
【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．
【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
12．(1)
(2)见解析
【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可.
法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而
故
①当时,
②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此
，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
.
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.
13．（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
14．D
【分析】根据题意求得，得到，在与中,结合和余弦定理，列出方程得到，即可求解.
【详解】如图所示，取的中点，连接，可得，
由，可得，所以，则，
可得，
则，
在与中,
由余弦定理可得：，
因为，所以，
即，解得，即.
故选：D.

15．B
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，结合抛物线定义，的周长为，数形结合，结合两点间距离公式计算即可.
【详解】抛物线的准线方程为，焦点．
因为点在抛物线内部，如图，过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，
所以周长为，
故当，，三点共线时，
取得最小值，且，
则周长的最小值为，
解得，
此时抛物线C的准线方程为.
故选：B
16．(1)
(2)定值为，证明见解析
【分析】（1）根据一条渐近线的倾斜角为得的值，再由求出，结合可得答案；
（2）设直线的方程为，，直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得点坐标及直线的方程从而求出点坐标，利用弦长公式求出，两点间的距离公式求出，再做比值可得答案.
【详解】（1）因为一条渐近线的倾斜角为，所以，
，，，，
因为，所以，可得，
，解得，，
所以的方程为；
（2）由（1），设直线的方程为，，
直线的方程与双曲线方程联立，
整理得，
当即，直线与双曲线渐近线平行，与双曲线只有一个交点，
不符合题意，故，且，
，，
可得，所以直线的方程为，
令得，所以，
，
，
所以，
即为定值.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键点是利用韦达定理求出弦长、两点间的距离公式求出.
17．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）设出直线，和的方程，联立直线与抛物线方程，得出，，从而求出直线为，再利用条件，即可求出结果；
（2）（i）根据条件得出和，联立方程，结合（1）中的韦达定理，即可求出结果；（ii）过点作轴，交直线于点，得出的面积为，再利用几何关系及基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）易知直线，直线斜率均存在，且不为，设，，，
由，消得到，由韦达定理得到，
所以，得到，
同理可得，，
所以，
故直线为，又直线过定点，
所以，得到，故，
所以抛物线的方程为.
（2）（i）因为，
则，又，
所以，
同理可得，
由，消得到，
又由（1）知，所以，
故点在定直线上，
（ii）过点作轴，交直线于点，
则的面积为，由，，
知，当且仅当时，取等号，
下证，
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，，则点在轴左侧，点也在轴左侧，有，
又直线过定点，此时，
同理，当时，，则点在轴右侧，点也在轴右侧，有，则，
当且仅当时，，，故恒成立
所以，当且仅当时，取等号.
【点睛】关键点点晴：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点的纵坐标恒为，再根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.
18．C
【分析】设直线，，由得到，再根据条件得出，代入方程，即可求出结果.
【详解】易知的渐近线方程为，不妨设直线，，
联立方程得，解得，，所以，
又，而，，得到，
解得，故，代入中，
得，得到，又，得到，解得，
故所求的渐近线方程为，
故选：C.
19．D
【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程.
【详解】设双曲线焦距为，则、，
不妨设渐近线的方程为，如图：

因为直线与直线垂直，则直线的方程为，
联立可得，即点，
所以，，
因为，所以，
又，故，
所以，
，
整理可得，
所以，又，
所以，
故该双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
20．D
【分析】根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可.
【详解】如图所示，作，
由抛物线定义可知，，
在中，，
则在抛物线上，
所以，即，则.
故选：D
21．D
【分析】先设，分别表示出和即可.
【详解】抛物线的焦点为，
点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为，
点在上，设为，若，则，
且，则.
故选：D.
22．BD
【分析】由到渐近线的距离求得，利用双曲线定义及，求得，进而计算渐近线方程和离心率可判断A、B，求解可判断C，研究过点且斜率为与渐近线的斜率关系，可判断D.
【详解】因为到渐近线的距离为，所以．
因为，可知，为上右支上一点，
，所以，．
因为，所以．
因为，所以，，
所以的渐近线方程为，故A错误．
由上知的离心率，所以B正确．
因为，
所以，所以，故C错误．
当时，直线只与右支相交一点；当时，直线与左右两支各交一点；
当时，直线与右支相交于两点，故D正确．
故选：BD
23．AD
【分析】选项A，求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与轴相切；选项B，根据条件得，从而得出时，最小，即可求出结果；选项C，根据条件，得到，再利用直线与圆的位置关系的判断方法，即可判断出选项C的正误；选项D，先求以为圆心，线段长为半径的圆，再求出两圆的公共弦，再利用弦长公式即可求出结果.
【详解】如图，设，中点为，又，所以，
由抛物线定义知，又到轴的距离为，所以选项A正确，
对于选项B，因为，则，
当时，取到最小值，此时，所以选项B错误，
对于选项C，当时，，，不妨取，
则，直线，
所以圆心到直线的距离为，又圆的半径为，所以，
即直线与圆相离，所以选项C错误，
对于选项D，当时，，，不妨取，
故以为圆心，线段长为半径的圆为①，
又圆②，由①②得两圆的共公弦方程，
到的距离为，故公共弦长为，所以选项D正确，

故选：AD.
24．32
【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】题意得，故，如图所示，
则，
当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立，
所以的最小值为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，
而到渐近线的距离，
又，故，
所以，
即面积的最大值为32.
故答案为：32.
25．4
【分析】由抛物线方程，得点和点坐标，直线与抛物线联立方程组，得两点坐标，两点间距离公式得和，可求.
【详解】由抛物线，得，则直线的方程为，
由，消去得，解得或，
则有，
所以，，
可得.
故答案为：4
26．(1)
(2)，为定值．
【分析】（1）根据的面积为，表示为，结合双曲线方程，即可得到答案；
（2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
由题意得，，
解得，故双曲线的方程为．
（2）
由题意得，，
当直线的斜率为零时，则．
当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点，
联立，整理得，
则，解得且，
所以，
所以
．
综上，，为定值．
27．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由已知可得，利用两点间距离公式计算可得结果；
（2）（i）由已知可得与轴不垂直，即直线，的斜率都存在．设，，，求得直线的方程，由直线过点，可得，同理可得直线的方程，由直线过点，可得即可证得，，即证得结果．
（ii）不妨设，由点在与之间，所以，，求得，则，构造函数，利用导数判断其单调性进而求得值域，即为所求结果．
【详解】（1）当轴时，则，
，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：当轴时，不妨设在轴下方，则，直线的方程为与抛物线联立，
消去得：，，
所以直线与抛物线相切，点不存在，所以与轴不垂直，
即直线，的斜率都存在．
设，，，则，
所以直线的方程为，即．
又直线过点，所以．
同理可得直线的方程为．
又直线过点，所以，所以，所以，即，两点关于轴对称．
（ii）不妨设，因为点在与之间，所以，，
，
则，令，则，
则在上单调递减，，
故的取值范围是．

28．C
【分析】设双曲线的右焦点为，得到四边形为矩形，设，则，根据双曲线的定义和为直角三角形，求得，在直角中，利用勾股定理，列出方程，即可求解.
【详解】设双曲线的右焦点为，连接，
因为，所以四边形为矩形，
设，则，
由双曲线的定义得：，，
又因为为直角三角形，所以，
即，解得，所以，
又因为为直角三角形，，所以，
即，所以，即.
故选：C．
29．A
【分析】求出抛物线的准线为，焦点为,．根据对称性可得是等腰直角三角形，从而算出、的坐标，将其代入双曲线方程，解关于的等式即可得到实数的值．
【详解】抛物线的方程为，
抛物线的准线为，焦点为,．
又直线交双曲线于、两点，为直角三角形．
故是等腰直角三角形，边上的高为，
由此可得,、,，如图所示．
将点或点的坐标代入双曲线方程，得，解得（负值舍去）．
故选：A．
30．D
【分析】由勾股定理得，利用双曲线定义可得，即可求解.
【详解】解：连接，则，如图所示：
由，得，
而点Q在双曲线的右支上，则，因为，
所以，即，
则双曲线的离心率为：，
故选：D
31．D
【分析】由题意，，余弦定理得，得，由，求，最后由求值即可.
【详解】设双曲线的焦距为，左焦点为，离心率，
则，
由余弦定理得，所以，
又，所以，
设，则，，
所以，所以，
，
故选：D．
【点睛】思路点睛：
双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理余弦定理和，中利用余弦定理得，可求得，点坐标满足双曲线方程，可得，可求，利用计算即可．
32．ABD
【分析】对于A，由双曲线以及圆的对称性可知和是圆的两条直径即可求得；对于B，与互补，由倍角公式求得即可;对于C：四边形的面积为；对于D： 求出A点纵坐标为，由建立关系求离心率.
【详解】
对于A，由双曲线以及圆的对称性可知和是圆的两条直径，且，所以，故A正确；
对于B，由条件得，
而与互补，所以，故B正确；
对于C，由已知得，∴，
所以四边形的面积为
，故C错误；
对于D，记双曲线的半焦距为，联立，解得，
故A点纵坐标为，则，
再由已知可得为锐角，故
所以，所以，∴，故D正确.
故选:ABD.
33．BCD
【分析】双曲线离心率，求出的值，得到渐近线方程，判断A；联立直线与双曲线方程，表示的面积，求出的值，判断B；利用弦长公式得到线段的长，判断C；求出点坐标，进而得到斜率，根据斜率判断是否垂直，判断D.
【详解】
∵，∴，即：，，
∴渐近线方程为，故A错误；
经过点的直线垂直于双曲线的一条渐近线，不妨设直线的斜率为，设直线的方程为，
，消去x得，则，
设，，则，，
所以，
解得，即：，故双曲线C的实轴长为6，故B正确；
因为，，
所以8，故C正确；
因为，，，
所以双曲线方程为，直线的方程为，
，消去x得，
则或，又
，，
此时，所以，所以是直角三角形，故D正确，
故选：BCD.
34．AB
【分析】对于A，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点横坐标，代入抛物线方程验算其纵坐标即可判断；对于C，由B选项启发，观察图象，令即可举出反例；对于D，由点到直线距离公式将原问题转换为方程的或的正根的个数和即可判断.
【详解】
对于A，抛物线弧的焦点为，故A正确；
对于B，若，解得，所以，即点的坐标为，故B正确；
对于C，取，则，
因为，所以，即，
所以，即，故C错误；
对于D，直线的斜率为，所以它的方程为，
点到它的距离为，
注意到，若面积为，
则，又，
所以或，解得或，
所以满足面积为的点有3个，故D错误.
故选：AB.
35．BCD
【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A，设直线方程为并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹判断B，结合向量的坐标运算求出点的坐标，然后利用两点式斜率公式求解判断C，由题可得，然后根据基本不等式求解判断D.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设，
对于A，依题意，，解得，
线段中点的横坐标，该点到轴的距离为，A错误；
对于B，显然直线不垂直于y轴，设直线：，
由消去x得，，
则，，，
设线段中点坐标为，则，消去可得，
因此弦中点的轨迹为抛物线，B正确；
对于C，显然，由，得，，
由选项B知，有，又，则，，
因此直线的斜率，C正确；
对于D，由选项B知，，
则，
因此，
当且仅当，即时取得等号，D正确.
故选：BCD
36．(1)，
(2)存在，
【分析】（1）通过四边形的内切圆的面积为，得原点O到直线的距离为，从而，再结合离心率即可求出椭圆方程，根据抛物线的焦点坐标求出抛物线方程；
（2）设直线l的方程，与椭圆、抛物线联立，利用韦达定理求出弦长，代入化简即可求解.
【详解】（1）由椭圆可知：，
所以直线的方程为：，即，
因为四边形的内切圆的面积为，所以原点O到直线的距离为，
即①，因为离心率，所以②，又③，
由①②③可得：，所以椭圆的方程为：，
因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，
所以，所以，从而抛物线的方程为：.
（2）由（1）知：抛物线焦点为．由题意，设直线l：，
设，，，，
由可得：，
所以，
所以
，
由可得：，所以，
因为直线l过抛物线的焦点，所以，
所以，
设，则，
由可得：.

37．(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率关系可得，故可求的取值范围.
（2）联立直线方程和双曲线方程，结合弦长公式可求面积，由不等式放缩和基本不等式可求面积的最小值.
【详解】（1）由题设双曲线的半焦距.
因为分别与双曲线的两支交于，所以的斜率均存在且不为零，
设的斜率为，则为，则，且，
故且，
若，则且，此时不存在使得这两个不等式成立，
故，所以，故.
（2）因为双曲线的离心率为且，故，
故，故双曲线的方程为.
设直线，可得，
整理得到：，
因直线与两支都相交，故即，
此时恒成立，且,
又，
又直线，同理有，
其中，故或，
又四边形的面积为：
故，当且仅当时等号成立，
故，
当且仅当时等号成立，
故四边形的面积最小值为.
【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系中，我们可利用渐近线来判断直线与双曲线的左右均有交点时斜率的范围，这样可以简化运算.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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