资源简介

专题1平面向量的概念与运算
【必备知识】
一　向量的相关概念
向量的概念 在数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量.
有向线段 具有大小和方向的线段称为有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||.
向量的模 向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模.
零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0.
单位向量 模等于1个单位长度的向量，称为单位向量.
二　相等向量、共线向量
共线向量 两个非零向量a，b的方向相同或相反称这两个向量为共线向量或平行向量，记作a∥b 规定：零向量与任意向量共线.
相等向量 长度相等且方向相同的向量称为相等向量.
相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.
【必备技能】
（1）寻找共线向量的技巧：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
（2）寻找相等向量的技巧：先找模与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线向量.
【考向总览】
考向一：向量的基本概念（★★★★）
考向二：两个特殊的向量（★★★）
考向三：相等向量、共线向量（★★★★）
【考向归类】
考向一：向量的基本概念
【典例1-1】
（22-23高一下·山西阳泉·期中）
1．下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例1-2】
（22-23高一下·安徽六安·期中）
2．已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线 D．若，满足，且与同向，则
【备考提醒】
与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质.向量的核心为方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线.
【举一反三】
（22-23高一下·四川南充·期中）
3．给出下列命题正确的是（ ）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则
D．若四边形满足，则四边形是平行四边形
（22-23高一下·江西赣州·期中）
4．下列说法正确的是（ ）
A．加速度、力、位移、速率、功都是数学中的向量 B．
C．是的充分不必要条件 D．单位向量的方向是任意的
考向二：两个特殊的向量
【典例2-1】
（22-23高一下·天津河北·期中）
5．下列说法中正确的是（ ）
A．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
B．零向量是最小的向量
C．若向量与向量平行，向量与向量平行，则向量与向量一定平行
D．单位向量的长度为1
【典例2-2】
（22-23高一下·上海浦东新·期中）
6．向量的单位向量是 .
【备考提醒】
理解零向量和单位向量应注意的问题
（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向，　两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等.
【举一反三】
（22-23高一下·新疆·期中）
7．下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）
8．已知，则与平行的单位向量的坐标为 .
考向三：相等向量、共线向量
【典例3-1】
（22-23高一下·河南濮阳·期中）
9．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例3-2】
（22-23高一下·陕西咸阳·期中）
10．下列说法中，错误的有（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
【备考提醒】
1.零向量的长度为0，方向不确定.
2.单位向量只规定了向量的大小（模长为1），并没有规定向量的方向，所以同一起点的单位向量有无数个，它们的终点构成一个单位圆.
【举一反三】
（22-23高一下·山东滨州·期中）
11．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，则
（22-23高一下·北京·期中）
12．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
【必备知识】
一、向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝，＝，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，作＝，＝，以OA，OB为邻边作 OACB，则对角线上的向量＝a＋b
3.向量加法的运算律
交换律 结合律
a＋b＝b＋a a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c
二.相反向量
1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.
2.性质：（1）对于相反向量有：a＋（－a）＝0；
（2）若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；
（3）零向量的相反向量仍是零向量.
三.向量的减法
1.定义：a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
2.作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示.
3.几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
【必备技能】
（1）区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；
②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
（2）实质：三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法法则在本质上是一致的.
【考向总览】
考向一：向量加减法运算（★★★）
考向二：利用已知向量表示未知向量（★★★★）
【考向归类】
考向一：向量加减法运算
【典例1-1】
（22-23高一下·陕西西安·期中）
13．已知，，，为平面上的四个点，则 .
【典例1-2】
（22-23高一下·北京·期中）
14．设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【备考提醒】
（1）利用相反向量统一成加法（相当于向量求和）；
（2）运用减法公式＝（正用或逆用均可）；
（3）运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.
（4）特别注意勿将0向量写成0
【举一反三】
（2023高一下·全国·期中）
15．（　　）
A． B． C． D．
（22-23高一下·上海长宁·期中）
16．若，，则 .
考向二：利用已知向量表示未知向量
【典例2-1】
（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）
17．如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【典例2-2】
（22-23高一下·湖南常德·期中）
18．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．

（1）用表示向量
（2）用表示向量
【备考提醒】
解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量的加法、减法以及共线（相等）向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系.当运用三角形法则时，要注意两个向量起点的位置，当两个向量共起点时，可以考虑向量的减法.
常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和（差），即＝＋以及＝－（M，N均是与在同一平面内的任意点）.
【举一反三】
（22-23高三上·湖北·期中）
19．设点M是的对角线的交点，O为任意一点，满足，则为 ．
（22-23高一上·陕西·期中）
20．如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－.
【必备知识】
一.向量的数乘
（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa；
（2）规定：①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝；（－1）a＝－a.
二.向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，则
（1）λ（μa）＝（λμ）a；
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.
特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
【必备技能】
（1）对于非零向量，当λ＝时，λ表示方向上的单位向量.
（2）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算.主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数.
（3）向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得＝λ，则向量与非零向量共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.
【考向总览】
考向一：向量的线性运算（★★★★）
考向二：用已知向量表示未知向量（★★★★）
考向三：向量共线定理及应用（★★★★）
【考向归类】
考向一：向量的线性运算
【典例1-1】
（22-23高一下·上海青浦·期中）
21．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量
【典例1-2】
（22-23高一下·湖南株洲·期中）
22．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .

【备考提醒】
向量线性运算的基本方法
（1）向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
（2）向量也可以通过列方程组来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
【举一反三】
（22-23高一下·重庆·期中）
23．在中，是的中点，点在上，满足，设，则 （用 表示）．
（22-23高一下·江西赣州·期中）
24．如图，在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．

(1)用和分别表示和；
(2)若直线交于点，交于点，交于点，，求最小值.
考向二：用已知向量表示未知向量
【典例2-1】
（22-23高一下·海南·期中）
25．如图，在中，是边上的中线，为的中点．

(1)用，表示；
(2)用，表示．
【典例2-2】
（22-23高一下·山东·期中）
26．如图，在梯形ABCD中，，E，F分别是AB，BC的中点，AC与DE相交于点O，设，．

(1)用，表示；
(2)用，表示．
【备考提醒】
用已知向量表示未知向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
【举一反三】
（22-23高一下·广西钦州·期中）
27．如图，在中，，，BE与AD相交于点M．

(1)用，表示，；
(2)若，求的值．
（22-23高一下·安徽合肥·期中）
28．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.

(1)用、表示；
(2)求的值.
考向三：向量共线定理及应用
【典例3-1】
（23-24高二上·湖南·期中）
29．设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ．
【典例3-2】
（22-23高一下·安徽六安·期中）
30．已知，是两个不共线的向量.
(1)若，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若和共线，求实数的值．
【备考提醒】
1.证明或判断三点共线的方法
（1）一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ（或＝λ等）即可；
（2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa（a≠0）.而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.若两向量不共线，必有向量的系数为零.
【举一反三】
（22-23高一下·河北石家庄·期中）
31．已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为
A． B． C． D．
（23-24高三上·辽宁·期中）
32．如图，在中，是边上的中线．
(1)取的中点，试用和表示；
(2)若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
2．BD
【分析】
根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确；
对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误；
故选：BD
3．BD
【分析】
根据单位向量以及相反向量可判断AB，由向量以及相等向量可判断AD.
【详解】对于A,单位向量是模长相等，方向不一定相同，故A错误，
对于B，由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量，故B正确，
对于C，向量不可以比较大小，故C错误,
对于D，，则，且,故为平行四边形，故D正确，
故选：BD
4．D
【分析】
A选项，功是标量；B选项，举出反例；C选项，考虑的方向可能为任意方向，故C错误；D选项，根据单位向量的定义进行判断.
【详解】A选项，功只有大小，没有方向，是标量，A错误；
B选项，不妨设，
则，即，B错误；
C选项，，但的方向可能为任意方向，故无法得到，充分性不成立，C错误；
D选项，单位向量的方向是任意的，D正确.
故选：D
5．D
【分析】
利用向量的定义与性质即可判断AB，利用零向量的特殊性即可判断C，根据单位向量的定义即可判断D.
【详解】对A，若向量方向不同，则终点不同，故A错误；
对B，向量无大小之分，故B错误；
对C，若，根据零向量与任何向量共线，则与可能不平行，故C错误；
对D，根据单位向量的定义知，单位向量的长度为1，故D正确.
故选：D.
6．
【分析】
利用结论：非零向量的单位向量为，可求得结果.
【详解】因为，则，
所以，向量的单位向量为.
故答案为：.
7．C
【分析】
根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.
【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.
故选：C.
8．或
【分析】
与共线的单位向量为即可得解.
【详解】与共线的单位向量为，
因为，所以，
，，
即与平行的单位向量的坐标为或.
故答案为：或
9．B
【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可.
【详解】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；
零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量，
则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；
同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误.
综上正确的是1个.
故选：B
10．ABC
【分析】
利用向量的概念、相等向量、共线向量的概念一一判定即可.
【详解】对于A项，可知向量与向量方向相反故非相等向量，A错；
对于B项，由于向量具有方向，故不能判定大小，其模有大小，B错；
对于C项，向量的平行包含重合，但有向线段平行与重合是两个概念，C错；
对于D项，共线向量所在的直线可以是平行也可以重合，D正确.
故选：ABC
11．C
【分析】
利用向量的相关性质逐项判断即可.
【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误；
对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误；
对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确；
对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误.
故选：C.
12．D
【分析】
根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．
对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确；
故选：D．
13．
【分析】
利用平面向量的线性运算化简即可.
【详解】.
故答案为：.
14．D
【分析】
由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确.
【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误；
由向量的三角形法则可得，即B错误；
易知，所以可得，即C错误；
由向量的减法法则可得，所以D正确；
故选：D
15．C
【分析】
利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
【详解】
由题意可得：.
故选：C．
16．##
【分析】
根据计算得到答案.
【详解】
故答案为：
17．BC
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
18．
【分析】
根据图形进行向量线性运算即可.
【详解】，
为的中点，，可得，
，．
∵，则
∴，
故答案为：；.
19．4
【分析】
由为， 中点可得，，两式相加即可.
【详解】因为M是的对角线的交点，所以为中点，
故，所以，故
同理：，
所以，故，
故答案为：4.
20．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
21．
【分析】
由等式变形可得出关于、的表达式.
【详解】因为，所以，，则.
故答案为：.
22．##1.25
【分析】
首先连接，根据平面向量的加法几何意义得到，即可得到答案.
【详解】连接，如图所示：

.
所以.
故答案为：
23．
【分析】
根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得结果.
【详解】如下图示，.
故答案为：
24．(1)，
(2)
【分析】
（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将用表示，再根据三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，
，
；
（2）由，
得，
，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以最小值为.
25．(1)
(2)
【分析】
（1）（2）根据图形，利用向量的线性运算即可.
【详解】（1）
因为是边上的中线，
所以.
（2）因为为的中点，
所以.
26．(1)
(2)
【分析】（1）由题设知且，根据用表示出即可；
（2）由题意可得，再用表示出即可.
【详解】（1）在中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，且，
故.
（2）因为，所以，则，
故
.
27．(1)，
(2)
【分析】（1）由BC＝4BD得出，然后可得；根据得出，然后根据即可用表示出；
（2）根据A，M，D三点共线得出，然后根据平面向量基本定理得出；根据B，M，E三点共线得出，然后即可根据平面向量基本定理求出k的值，进而得出的值．
【详解】（1）因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以．
（2）因为A，M，D三点共线，所以．
因为，所以，即．
因为B，M，E三点共线，所以．
因为，所以．
因为，所以，解得，
从而，，故．
28．(1)
(2)
【分析】
（1）由结合平面向量的减法化简可得出关于、的表达式，再由可得出关于、的表达式；
（2）由、、三点共线知，存在，使得，进而可得出，利用平面向量的基本定理可求得的值.
【详解】（1）解：因为，则，所以，，
因为为的中点，故.
（2）解：因为、、三点共线，则，
所以，存在，使得，即，
所以，，
又因为，且、不共线，所以，，
所以，，故.
29．
【分析】
由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可.
【详解】
由，，三点共线，可得，
又，，
则，又，不共线，
则，解得．
故答案为：．
30．(1)证明见解析；
(2)
【分析】
（1）求出，找到使成立的即可证明；
（2）通过平行，必存在实数使，列方程组求出实数的值.
【详解】（1），
又，
，，又，
A，B，D三点共线；
（2）向量和共线，
存在实数使，
又，是不共线，，
解得.
31．B
【详解】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B.
点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：
①三点共线；
②为平面上任一点，三点共线，且.
32．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，为的中点，所以，
又为的中点，
所以．
（2）由，，，
得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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