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专题2 平面向量基本定理和坐标运算
【必备知识】平面向量基本定理
（1）定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2．
（2）基底：不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
单位向量定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量．设是非零向量同方向的单位向量，则或．
【必备技能】用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
【考向总览】
考向一 基底的概念与基底表示向量 （★★★）
考向二 平面向量基本定理及其应用 （★★★★）
【考向归类】
考向一 基底的概念与基底表示向量
（22-23高一下·河南·期中）
【典例1-1】
1．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
（2024高一下·全国·专题练习）
【典例1-2】
2．在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三】
（23-24高一下·山东滨州·开学考试）
3．若在三角形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2024高一下·全国·专题练习）
4．下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量
B．在平面向量基本定理中，若，则
C．若单位向量，的夹角为，则在上的投影向量是
D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
考向二 平面向量基本定理及其应用
（2024·云南楚雄·模拟预测）
【典例2-1】
5．已知，，是直线上不同的三点，点在外，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【典例2-2】
6．已知为的边所在直线上一点，且，点在直线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
（23-24高一上·北京昌平·期末）
7．在中，点D，E满足，.若，则 .
（23-24高一上·辽宁大连·期末）
8．如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
【必备知识】平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对（x，y）是一一对应的，把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y．
平面向量的坐标运算
（1）设=，=，则=．
（2）设=，=，则=．
（3）设，，则．
（4）设=，，则=．
（5）设=，=，则（斜乘相减等于零）．
（6）设=，则||=．
【必备技能】求解向量坐标运算问题的一般思路
1．向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
2．巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
3．妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
【考向总览】
考向一 向量的线性运算坐标表示（★★★★）
考向二 根据线性运算结果求参数（★★★）
考向三 线段的定比分点（★★★）
【考向归类】
考向一 向量的线性运算坐标表示
（2024高一下·全国·专题练习）
【典例1-1】
9．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．1
（2024高一下·全国·专题练习）
【典例1-2】
10．已知向量，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【举一反三】
（2024高一下·全国·专题练习）
11．已知向量，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
（2024高一下·全国·专题练习）
12．下列各式不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
考向二 根据线性运算结果求参数
（22-23高一下·四川眉山·期中）
【典例2-1】
13．已知向量满足，，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
（22-23高一下·北京大兴·期末）
【典例2-2】
14．已知向量与，且，则（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
（2023高一·全国·专题练习）
15．已知，，，且，则点M的坐标为 .
（22-23高一下·广东湛江·阶段练习）
16．解答下列各题：
(1)设向量，，求；
(2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标．
考向三 线段的定比分点
（22-23高一下·贵州·阶段练习）
【典例3-1】
17．已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）
【典例3-2】
18．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
（22-23高一下·江苏苏州·期末）
19．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
（22-23高一下·四川自贡·期中）
20．已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是 .
【必备知识】
【必备知识】平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
【必备技能】平面向量共线的坐标表示问题的解题策略：
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【考向总览】
考向一 根据坐标判断向量是否平行（★★★★）
考向二 由向量平行求参数（★★★★）
考向三 由坐标解决三点共线问题（★★★）
【考向归类】
考向一 根据坐标判断向量是否平行
（22-23高一下·河南·期中）
【典例1-1】
21．下列向量中与共线的是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二·全国·课堂例题）
【典例1-2】
22．已知空间四点,,和,求证:四边形是梯形.
【备考提醒】向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b平行.
【举一反三】
（22-23高一下·河北石家庄·期中）
23．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高一下·浙江温州·期中）
24．若向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．时，
C．与垂直的单位向量有两个
D．时，在上的投影向量为
考向二 由向量平行求参数
（22-23高一下·河北石家庄·期中）
【典例2-1】
25．已知向量，若与共线，则m的值为 ．
（23-24高一上·北京顺义·期中）
【典例2-2】
26．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
（22-23高一下·北京·期中）
27．已知平面向量，且，则（ ）
A． B． C．1 D．3
（22-23高一下·江苏徐州·期中）
28．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
考向三 由坐标解决三点共线问题
（22-23高一下·河北邯郸·期中）
【典例3-1】
29．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A．－16 B．16 C． D．
（22-23高一下·山东·期中）
【典例3-2】
30．某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则（ ）
A．7 B． C． D．8
【备考提醒】三点共线的充要条件:
（1）、、三点共线的充要条件是．
（2）设、不共线，点、、三点共线的充要条件是．
特别地，当时，是中点．
【举一反三】
（22-23高一下·福建漳州·期中）
31．已知向量，.
(1)若与共线，求的值；
(2)若，，且三点共线，求的值.
（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）
32．已知向量与不共线，且，，．
(1)若，求m，n的值；
(2)若A，B，C三点共线，求的最大值．
【必备知识】
【必备知识】
知识点一　平面向量数量积的坐标表示
已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
知识点二　平面向量坐标表示的几个公式
1.向量模的坐标公式
若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.
2.两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式
3.两向量夹角的余弦公式
设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
(1)θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)θ为钝角或θ＝π x1x2＋y1y2<0.
知识点三　向量垂直的条件
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
【必备技能】向量数量积的运算有两种思路：一种是基底法，另一种是坐标法，两者相互补充.当题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法.
【考向总览】
考向一 数量积的坐标运算（★★★★）
考向二 向量模的坐标运算（★★★）
考向三 向量夹角与垂直的坐标表示（★★★）
考向四 已知夹角/数量积/向量垂直求参数（★★★★）
考向五 投影向量的坐标表示（★★★★★）
【考向归类】
考向一 数量积的坐标运算
（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期末）
【典例1-1】
33．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·内蒙古包头·期末）
【典例1-2】
34．边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为 ．
【举一反三】
（22-23高一下·甘肃武威·期中）
35．已知向量，则 .
（22-23高一下·新疆喀什·期中）
36．已知向量，，求：
(1)；
(2)||；
(3).
考向二 向量模的坐标运算
（22-23高一下·新疆阿克苏·期末）
【典例2-1】
37．已知向量，，则（ ）
A． B．5 C． D．4
（22-23高一下·河北·期末）
【典例2-2】
38．已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（ ）
A．； B． C． D．
【举一反三】
（22-23高一下·安徽滁州·期末）
39．已知平面向量，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
（23-24高一上·北京延庆·期末）
40．已知，则=
考向三 向量夹角与垂直的坐标表示
（22-23高一下·青海西宁·期末）
【典例3-1】
41．已知，，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
42．设向量，，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
【举一反三】
（22-23高一下·新疆伊犁·期末）
43．设，向量，，，且∥，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
（22-23高一上·湖南长沙·期末）
44．在中，，为边的中点，为的中点．相交于点.则中线的长为 .的余弦值为 ．
考向四 已知夹角/数量积/向量垂直求参数
（23-24高一上·浙江绍兴·期末）
【典例4-1】
45．已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
（22-23高一下·湖南岳阳·期末）
【典例4-2】
46．已知向量，，若两个向量的夹角为钝角，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
（22-23高一下·甘肃临夏·期末）
47．已知点及平面向量，，．
(1)当点P在x轴上时，求实数m的值；
(2)当时，求实数k的值．
（22-23高一下·江西新余·期末）
48．已知向量．
(1)若向量的夹角为锐角，求x的取值范围；
(2)若，求．
考向五 投影向量的坐标表示
（22-23高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）
【典例5-1】
49．已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·天津和平·期末）
【典例5-2】
50．已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 .
【举一反三】
（22-23高一下·宁夏吴忠·期末）
51．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·江西南昌·期末）
52．已知向量，，则在方向上的投影数量是 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
判断出哪个选项的两个向量共线即可.
【详解】
对于C，共线，不能作为基底，
对于ABD，两组向量都不共线，
故选：C.
2．A
【分析】
结合图形，将和分别用和，和表示，代入方程即可求解.
【详解】
如图，因，则，即，
解得：.
故选：.
3．A
【分析】
根据图形，由向量的线性运算及减法运算求解即可.
【详解】如图，
因为，，
所以，
所以，
故选：A
4．ABC
【分析】选项A，由基底的定义判断；选项B，由判断；选项C，由在方向上的投影向量的定义判断；选项D，由基底的定义判断.
【详解】选项A，作为基底的两个向量一定不共线，零向量与任意向量共线，
因此，一定都是非零向量，故A正确；
选项B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正确；
选项C，在方向上的投影向量为，故C正确；
选项D，只要不共线的两个向量都可以作为基底，所以表示同一平面内所有向量的基底是不唯一的，故D错误；
故选：ABC
5．A
【分析】
利用平面向量基本定理解题即可.
【详解】由已知得，
故，
易知，，是直线上不同的三点，故，，三点共线，
必有，解得，
故选：A
6．A
【分析】
由平面向量基本定理的推论求解．
【详解】，
而三点共线，故，即，
故选：A
7．##
【分析】
利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.
【详解】在中，点D，E满足，，
则，
而不共线，又，因此，
所以.
故答案为：
8．(1)
(2)
【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解.
【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
（2）因为E，M，F三点共线，所以设，
则，由（1）知，
所以，所以.
9．A
【分析】
根据平面向量坐标运算的加法公式即可求解.
【详解】
因为，，所以.
故选：A
10．D
【分析】
利用平面向量线性运算的坐标运算可得结果.
【详解】
因为，故.
故选：D.
11．A
【分析】
根据向量坐标的加减可得.
【详解】
故选：A
12．ACD
【分析】
向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案．
【详解】
对于A，若，，则，A错误；
对于B，若，，则，B正确；
对于C，若，，则，C错误；
对于D，若，，则，D错误.
故选：ACD
13．B
【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，.
【详解】设，，又，，
所以，且，
解得，，即，.所以，则，解得，故.
故选：B.
14．A
【分析】
根据平面向量线性运算的坐标表示及平面向量基本定理计算可得.
【详解】因为与，
又，所以，所以.
故选：A
15．
【分析】
设出点M的坐标，将各个点坐标代入中，计算结果.
【详解】由题意得，所以.
设，则，
所以，解得 ，
故点M的坐标为.
故答案为：
16．(1)
(2)．
【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求解；
（2）由向量的坐标表示求解.
【详解】（1）．
（2）由已知两点和，可得，
设点P的坐标是，则．
由已知，可得，
∴解得∴点P的坐标是．
17．D
【分析】
由向量数乘的坐标运算求解即可.
【详解】∵，，，
∴，，
∵分所成的比为，∴，即，
∴有，解得.
故选：D.
18．D
【分析】由题可得，可得，即求．
【详解】点在线段的延长线上，且，
，即,
所以．
所以点P的坐标为.
故选：D.
19．B
【分析】
根据已知条件及中点坐标公式即可求解.
【详解】
由题意得，点为中点，设点，则
，解得，
所以点的坐标为.
故选:B．
20．
【分析】
根据题意转化为，设，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.
【详解】因为点，点在线段的延长线上，且，
可得，
设，则，即 ，
解得，即点的坐标为.
故答案为：.
21．C
【分析】根据共线向量定理判断即可.
【详解】因为，由共线向量定理可知向量与共线.
故选：C.
22．证明见解析
【分析】
根据平面向量的坐标运算得,由,与不共线即可证明.
【详解】
依题意有,
同理,,,
因为,所以,
则,且,
又与不共线,
所以四边形是梯形.
23．AB
【分析】由向量基底的定义对各选项一一判断即可求出答案.
【详解】对于A，假设存在存在实数使得，
即，即，无解，
则不共线，所以可以作为一组基底.
对于B，假设存在实数使得，
即，即，无解，
则不共线，所以可以作为一组基底.
对于C，，所以共线，所以不可以作为一组基底.
对于D，，所以共线，所以不可以作为一组基底.
故选：AB.
24．CD
【分析】
根据向量模的坐标运算即可判断A，根据向量共线的坐标表示即可判断B，根据向量垂直的坐标表示和单位向量的定义即可判断C，根据投影向量的求法即可判断D.
【详解】对A，，解得，故A错误；
对B，当时，，显然，故B错误；
对C，设与垂直的单位向量为，则有，
解得或，则，则C正确；
对D，，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：CD.
25．
【分析】
计算出两向量与的坐标，再利用共线向量的坐标表示，求出的值.
【详解】向量，则，
，由向量与共线，得，解得，
所以m的值为.
故答案为：
26．A
【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算得到，即可求出结果.
【详解】因为向量，，，所以，得到，
所以，得到，
故选：A.
27．A
【分析】由两向量平行坐标间的关系可求解.
【详解】由题意知，所以，解得，故A正确.
故选：A.
28．B
【分析】
根据，得，由余弦定理可求.
【详解】因为向量，，
因为，
所以，即，
由余弦定理可得.
因为，所以，
故选：B.
29．A
【分析】
先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解.
【详解】
由题意得，，
因为B，C，D三点共线，
所以，
则，得.
故选：A.
30．C
【分析】
利用向量共线的坐标表示可得.
【详解】
由图可知，
所以，，
因为，所以，解得.
故选：C
31．(1)
(2)
【分析】
（1）根据共线向量的坐标表示可构造方程求得结果；
（2）由三点共线可知共线，由此可构造方程求得结果.
【详解】（1），，又与共线，
，解得：.
（2），，又三点共线，
，解得：.
32．(1)，
(2)
【分析】（1）由已知求得，再根据向量的线性运算可求得答案；
（2）由A，B，C三点共线得，存在不为零的数，使得，继而有，再得，根据二次函数的性质可求得其最大值.
【详解】（1）
因为，，所以，
又因为，所以，．
（2）
，，
由A，B，C三点共线，存在不为零的数，使得，
即，
则，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值．
33．B
【分析】
先根据向量共线的坐标表示得到，再利用数量积的坐标表示可得.
【详解】由题意得：，得，
所以又因，
所以
故选：B
34．
【分析】
由题意，建立直角坐标系，表示出坐标，利用数量积的坐标表示，建立函数关系，可得答案.
【详解】由题意，设等边的边长为，以的中点为原点，以分别为轴建立直角坐标系，可作图如下：
由为等边的重心，则，，即，，
设，则，，
，
对于，，故.
故答案为：.
35．##0.5
【分析】
根据向量数量积的坐标运算结合两角和与差的余弦公式即可得到答案.
【详解】向量，
∴.
故答案为：.
36．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）代入向量数量积的坐标表示，即可求解；
（2）根据向量的坐标，直接代入向量模的坐标表示的公式，即可求解；
（3）分别求向量和的坐标，再代入向量数量积的公式，即可求解.
【详解】（1）因为，，则.
（2）
（3）由已知可得，，
则
37．B
【分析】
根据平面向量坐标运算求出，再由向量模公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
38．B
【分析】
求出与向量共线的单位向量即可得解.
【详解】，
，
与共线的单位向量是，
故选：B
39．C
【分析】
根据向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：C.
40．10
【分析】
求出的坐标，再由模的坐标表示计算．
【详解】由题意，
所以，
故答案为：10.
41．D
【分析】
根据向量夹角公式即可代入求解.
【详解】设向量与的夹角为θ，则，
因为，所以.
故选:D.
42．CD
【分析】求出可判断A；求出的坐标，利用向量共线的坐标运算可判断B；由向量垂直的坐标运算可判断C；利用向量夹角公式计算可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，因为，
所以与的夹角为，故D正确.
故选：CD.
43．(1)
(2)
【分析】
（1）根据向量平行、垂直的坐标运算可得，进而可得，结合向量的模长公式运算求解；
（2）根据题意可得，，进而可求，，代入夹角公式运算求解即可.
【详解】（1）因为∥，，则，解得，
即，，
可知，即，可得，
所以.
（2）由（1）可知：，，
可得，，
则，，
可得，
且，则，
所以向量与夹角为.
44．
【分析】
如图，建立平面直角坐标系，利用平面向量模和夹角的坐标表示，即可求解.
【详解】
以A为坐标原点，所在方向为x轴，过A做垂线为y轴，
与x轴夹角为.如图：
则，
得，所以.
又，所以.
故答案为：； ．
45．D
【分析】
由，可得，计算即可得的值.
【详解】由，故，故.
故选：D.
46．BC
【分析】两个向量的夹角为钝角，则且与不反向，结合向量的数量积公式及共线的坐标表示求得结果.
【详解】已知向量，的夹角为钝角，
则且与不反向，
即且，
解得且.
故选：BC.
47．(1)4
(2)
【分析】
（1）利用向量坐标的线性运算化简可得坐标，再由题意列出方程求解；
（2）根据向量垂直，转化为向量数量积为0求解.
【详解】（1）,
因为点P在x轴上，
所以，解得.
（2），，
又因为，
所以，
解得.
48．(1)
(2)
【分析】
（1）根据向量的夹角为锐角，得到，且与不共线，进而列式求解即可；
（2）根据向量坐标运算法则得到，再结合向量垂直的相关知识得到，进而求解向量的模.
【详解】（1）
因为向量的夹角为锐角，
所以，且与不同向共线，
则，解得且，
故x的取值范围为
（2）
由，得，
若，则，即，解得，
所以，
所以
49．C
【分析】
先由向量垂直求出，从而结合数量积坐标公式及投影向量的公式求解即可.
【详解】
因为向量，，所以，解得，
则，则，
所以在方向上的投影向量为.
故选：C
50．
【分析】
根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】向量，则，
所以向量在方向上的投影向量为
故答案为：
51．A
【分析】
根据题意，求得，且，结合公式，即可求解.
【详解】由向量，
可得，且，则在上的投影向量为.
故选：A.
52．
【分析】
利用投影数量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
则在方向上的投影数量是.
故答案为：.
答案第1页，共2页
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