资源简介

专题6 简单几何体的表面积和体积
【必备知识】
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
1．一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．
2．一般地，如果棱锥的底面面积是S，高是h，那么该棱锥的体积V棱锥＝．
3．如果棱台的上、下底面面积分别是，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝．
柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
【必备技能】
1. 棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
2. 求棱柱、棱锥、棱台体积最基本的方法是求出相关量代入体积公式求解．
3. 求几何体体积的常用技巧
（1）等体积转换法多用来求三棱锥的体积．
（2）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
（3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
【考向总览】
考向一：棱柱、棱锥、棱台的表面积（★★★）
考向二：棱柱、棱锥、棱台的体积（★★★）
考向三：求几何体体积的常用技巧（★★★）
【考向归类】
考向一棱柱、棱锥、棱台的表面积
【典例1-1】（22-23高一下·浙江台州·期中）
1．如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（ ）．

A． B． C． D．
【典例1-2】（山东省滨州市惠民县2022-2023学年高一下学期期中数学试题）
2．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖 三角攒尖 四角攒尖 六角攒尖等，多见于亭闷式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为（ ）

A． B． C． D．
【备考提醒】
1．求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者的区别．
2．棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
【举一反三】
（22-23高一下·山东菏泽·期中）
3．已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，则该四棱台的表面积为（ ）
A． B．34 C． D．68
（23-24高二上·上海·期中）
4．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为 ．

考向二：棱柱、棱锥、棱台的体积
【典例2-1】（23-24高二上·广东汕头·期中）
5．图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【典例2-2】（23-24高二上·山东滨州·阶段练习）
6．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物。图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该几何体的体积是（ ）
A．32 B． C． D．64
【备考提醒】
求棱柱、棱锥、棱台体积最基本的方法是求出相关量代入体积公式求解．
【举一反三】
（23-24高二上·山东烟台·期中）
7．如图，在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 ，点到面的距离为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）

8．校园文创，是指以学校特有的校园文化内涵为基础，经过精妙构思和创作，生产符合校园文化精神、传播校园文化品牌的特殊产品和服务．它既是学校文化的物化形式，同时也是学校文化的传播载体．某文创小组设计了一款校园香囊，它是由6个边长为6cm的全等正三角形拼接而成的六面体（如图），那么香囊内可供填充的容量约为（ ）
A． B． C． D．
考向三：求几何体体积的常用技巧
【典例3-1】（22-23高一下·天津和平·期中）
9．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，则点到平面EBD的距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（22-23高二上·浙江宁波·期末）
10．若四面体中，，，，则四面体的体积是 .
【备考提醒】
求几何体体积的常用技巧
（1）等体积转换法多用来求三棱锥的体积．
（2）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
（3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
【举一反三】
11．我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体.在图1所示羡除中，，，，，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分别为8和4，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直.按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）
A．84 B．102 C．128 D．160
（22-23高一下·广东揭阳·期中）
12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到半正多面体，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（ ）

A．多面体有12个顶点，14个面
B．多面体的表面积为3
C．多面体的体积为
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
【必备知识】
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h
圆台 V圆台＝(S＋＋S′)h ＝π(r2＋rr′＋r′2)h 圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h
知识点三　球的表面积和体积公式
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．球的体积V＝πR3．
【必备技能】
1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
2.旋转体的体积求法
（1）直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出．
（2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．
3. 球的表面积和体积的求法：球的表面积和体积只与球的半径有关，利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径所构成的直角三角形求出球的半径，这种方法在以后的解题中会经常用到．
【考向总览】
考向一：圆柱、圆锥、圆台的表面积 （★★★）
考向二：圆柱、圆锥、圆台的体积（★★★）
考向三：球的表面积和体积（★★★）
【考向归类】
考向一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
【典例1-1】（22-23高一下·福建福州·期末）
13．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【典例1-2】（河北省沧衡八校联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）
14．灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格.杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为10，下底半径为18，母线长为17，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
【举一反三】
（22-23高二下·河南焦作·期末）
15．在长方体中，，现分别以AB，CD为轴，截去底面半径为3的两个四分之一圆柱，得到如图所示几何体，则该几何体的表面积为（ ）

A． B．
C． D．
（22-23高一下·河南·期中）
16．已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考向二：圆柱、圆锥、圆台的体积
【典例2-1】（23-24高三上·甘肃武威·开学考试）
17．已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为 .
【典例2-2】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）
18．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为 .
【备考提醒】
旋转体的体积求法
（1）直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出．
（2）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去．
【举一反三】
（23-24高二上·上海长宁·期中）
19．如图，高与底面直径相等的圆锥内有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆锥与圆柱的体积之比为 ．
（23-24高三上·山东德州·期中）
20．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ）
A． B．
C． D．
考向三：球的表面积和体积
【典例3-1】（22-23高一下·陕西西安·期中）
21．两个球表面积的比为，则体积的比为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【典例3-2】（22-23高一下·福建龙岩·期中）
22．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【备考提醒】
球的表面积和体积的求法：球的表面积和体积只与球的半径有关，利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径所构成的直角三角形求出球的半径，这种方法在以后的解题中会经常用到．
【举一反三】
（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）
23．已知长方体的长、宽、高分别为1，1，2，并且其顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·河北石家庄·期中）
24．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心O（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（ ）
A． B． C． D．
【必备知识】
1．外接球问题
（1）能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球
设长方体相邻的三条边棱长分别为，，．
图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体
图1：有重垂线，三视图都是三个直角三角形，侧面（侧棱）两两垂直；
图2：有重垂线，所有面均为直角三角形（线面垂直+线线垂直）；
图3：无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图和左视图为直角三角形；
图4：若是长方体则为对角线相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）；
图4中（长方体），,，．
2．内切球
法一：截面法
题设：正三棱锥求内切球半径（如图1所示）
第一步、先画出内切球的截面图如左图，、分别为两个三角形的外心．
第二步、求,，为侧面的高．
第三步、由相似于，建立等式：解出
特殊：正四面体（棱长为）的外接球半径与内切球半径之比为
外接球半径：，内切球半径：
正三棱柱的外接圆与内切圆：外接圆与内切圆圆心在同一条高上，但不重合．
图1 图2 图3
题设：正四棱锥求内切球半径（如图2所示）
第一步、先画出内切球的截面图如左图，，，三点共线．
第二步、求,，为侧面的高．
第三步、由相似于，建立等式：解出．
法二：等体积法
题设：求任意三棱锥的内切球半径：等体积法（如图3所示）
第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积．
第二步、设内切球半径为，建立等式：．
第三步、解出（是椎体的体积，是椎体的表面积）．
棱长为的正四面体外接球半径：；棱长为的正四面体外接球半径：；
正四面体外接半径：内切球半径
【必备技能】
与球有关的“切”“接”问题
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似).研究多面体的内切球、外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系．
【考向总览】
考向一：外接球（★★★★★）
考向二：内切球（★★★）
【考向归类】
考向一：外接球
【典例1-1】（22-23高一下·天津和平·期中）
25．已知、、、四点在半径为的球面上，且，，，则三棱锥的体积是 ．
【典例1-2】（新疆昌吉州行知学校2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）
26．已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B．60 C． D．
【备考提醒】
找几何体的外接球球心，即找点O，使点O到几何体各顶点的距离相等．正棱锥的外接球球心在顶点到底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外接圆圆心所连线段的中点．
【举一反三】
（21-22高一下·四川宜宾·期末）
27．若一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，其侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二上·四川成都·期中）
28．如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为3cm，4cm，高为7cm，则该灯罩外接球的体积为 ．
考向二：内切球
【典例2-1】（23-24高一上·江西·期中）
29．已知正三棱锥的内切球半径为l，若底面边长为，则该棱锥体积为 .
【典例2-2】（安徽省淮北市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题）
30．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．若内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
【举一反三】
（22-23高一下·河南·期中）
31．已知正四棱台的上底面面积为，其内切球体积为，则该正四棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·山东济宁·期中）
32．已知三棱锥的棱长均为，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球与三棱锥的三个侧面都相切，则球的半径为 ，球的体积为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用直四棱柱的结构特征及已知条件求相关棱长，进而求棱柱的侧面积.
【详解】如图，连接交点为O，

则对角线，，所以，
因为直四棱柱的底面是菱形，所以，
所以，
∴直四棱柱的侧面积.
故选：D.
2．B
【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可.
【详解】设底面棱长为，
因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，
则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为.
故选：B
3．C
【分析】
求出棱台侧面的高，即可求出该四棱台的表面积
【详解】由题意，在正四棱台中，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，
作出立体图如下图所示，

过点作，面于点，连接，
由几何知识得，
，
在中，由勾股定理得，，
设该四棱台的一个侧面面积为
∴该四棱台的表面积为：
，
故选：C.
4．##
【分析】
根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积.
【详解】
分别取，的中点，，连接，，

过点作的垂线，垂足为，
因为，,所以，所以，
根据对称性易得，
所以，
在中，，所以，
，
又，
所以.
故答案为：.
5．B
【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解.
【详解】在图1中的几何体中，水的体积为，
在图2的几何体中，水的体积为，
因为，可得，解得.
故选：B.
6．C
【分析】
根据正四棱锥的几何性质，建立方程，求得其高，结合体积公式，可得答案.
【详解】解：因为正四棱锥的底面边长为4，所以底面的对角线长为，
设正四棱柱和正四棱锥的高为，
因为正四棱锥的侧棱长为，所以，解得，
故该几何体的体积为.
故选：C.
7．
【分析】
过点作交于点，根据几何体的结构特点分析出即为正四棱台的高，然后根据体积公式求出体积；过点作交于点，根据几何关系证明出的长即为所求点面距离，再根据线段长度求出结果.
【详解】连接，，连接，过点作交于点，如下图所示：

因为几何体为正四棱台，所以平面，
又因为，所以，所以为正四棱台的高，
又因为，，
所以，
所以，
所以棱台的体积为：；
连接，过点作交于点，如下图所示：

因为，
所以平面，所以，
又因为，，
所以平面，所以的长度即为点到面的距离，
由对称性可知：，
所以，
所以，
所以点到面的距离为，
故答案为：；.
8．C
【分析】根据给定条件，求出棱长为6cm的正四面体的体积作答.
【详解】依题意，这个六面体可视为共底面的两个棱长为6cm的正四面体拼接而成，
如图，正四面体棱长为6cm，O为正的中心，连接OC，OD，
则正的半径，正四面体的高，
于是得，
所以这个六面体香囊内可供填充的容量约为.
故选：C
9．D
【分析】
注意到，利用等体积法可得答案.
【详解】，
，，则.
在中，由题意及图形结合勾股定理可得，，
则由余弦定理可得，
则.则.
设到平面EBD的距离为，则.
又，则.
故选：D
10．2
【分析】将四面体补成长方体，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，根据题中的对角线关系求出x，y，z的值，用长方体的体积减去4个小棱锥的体积即可得出四面体ABCD的体积．
【详解】以四面体的各棱为长方体的面对角线作出长方体，如图所示，
设，
则，解得，
．
故答案为：2．
11．D
【分析】根据题意将组合体分割成一个直三棱柱和两个四棱锥，再利用柱体、锥体的体积公式求解.
【详解】按照图2中的分割方式，该几何体是由一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组合而成，
中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形，
两条直角边长分别为4、8，直三棱柱的高为8，
所以直三棱柱的体积为；
两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，
直角梯形的面积为，四棱锥的高为，
所以两个四棱锥的体积之和为，
因此，该“羡除”的体积为.
故选：D.
12．ACD
【分析】由题得该多面体的各顶点为正方体每条棱的中点，结合图形可判断A；由图可知，多面体表面由8个三角形和6个正方形，然后计算可判断B；利用正方体体积减去8个三棱锥体积可判断C；利用对称性结合球心性质可判断D.
【详解】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点，
该多面体表面有8个正三角形和6个正方形，其边长都为，共14个面，A项正确；
多面体表面每个三角形面积为，每个小正方形面积为，
所以多面体表面积为，B项错误；
将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为，
所以多面体体积项正确；
由对称性可知，原正方体中心O到多面体每个顶点（即正方体棱的中点）相等，距离为，
所以以该点为球心，为半径的球即为多面体的外接球，D项正确；
故选：ACD.

13．B
【分析】根据题意，分别求出圆柱的上底面面积、侧面积以及圆锥的侧面积，相加即可得答案．
【详解】根据题意，该组合体由一个圆锥与一个圆柱组成，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，
圆柱的上底面面积
圆柱的侧面积
圆锥的母线长，则圆锥的侧面积
故该几何体的表面积．
故选：B．
14．B
【分析】
运用圆台的侧面积公式计算即可.
【详解】
由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积.
故选：B.
15．C
【分析】
根据题意，将该几何体的5个面的面积分别计算出来，然后相加，即可得到结果.
【详解】由题意可得，该几何体共有5个面，其中两个曲面的面积均为以3为底面半径，以6为母线长的圆柱的侧面的四分之一，所以其面积和为；
两侧的平面图形可看作矩形面积的两倍减去一个半径为3的圆，其面积为；
顶部的平面图形为矩形，其面积为，故该几何体的表面积为
.
故选：C.
16．D
【分析】
利用相似将圆柱的半径用x表示，然后将侧面积用x表示，即可求出最大值.
【详解】作出圆锥的轴截面，如图：
设圆柱的半径为r，由题意得，即，
则圆柱的侧面积，
而，
∴当时，圆柱的侧面积S取最大值．
故选：D.
17．
【分析】设圆柱底面的半径为，高为，根据题意，由求解.
【详解】解：设圆柱底面的半径为，高为，
则，解得，
所以圆柱的体积.
故选：
18．6
【分析】
利用圆锥侧面积、底面积及体积公式列方程求母线长即可.
【详解】令圆锥母线、底面半径分别为，则，
所以，可得.
故答案为：6
19．
【分析】设圆锥的底面半径为，则高为，确定，，得到半径关系，计算体积即可.
【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，设圆柱的底面半径为，高为，
则，故，
圆柱的侧面积为，
当时侧面积最大，此时体积之比为：.
故答案为：
20．D
【分析】
根据圆柱和圆台的体积公式即可求解.
【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且,
则青铜器的体积为，
故选：D
21．C
【分析】
由表面积的比得到半径之比，再得到体积之比.
【详解】设两球的半径分别为，，
表面积之比，，
体积之比.
故选：C.
22．B
【分析】
画出图形，利用已知条件转化求解球的半径，即可得到半球的表面积.
【详解】
设半球的半径为，连接交于点，连接，
则，则，
∵内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，
∴四棱锥的体积，所以，
所以这个半球的表面积.
故选：B.

23．B
【分析】
利用长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球半径，从而得到体积.
【详解】长方体的体对角线即为外接球的直径，
故外接球的半径，
故外接球的体积为.
故选：B
24．A
【分析】
根据球的体积公式即可求解.
【详解】
显然，球形冰块内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形，如图，
作，垂足为，则球的半径，
此时，水面半径，
设加入小球后水面以下的体积为，原来水的体积为，球的体积为，
所以水的体积为.
故选：A
25．
【分析】
构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，计算出长方体的长宽高，即可求得三棱锥的体积．
【详解】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，
其中长方体的外接球的半径为，即长方体的体对角线为，
设长方体的长、宽、高分别为，，，
则，解得，，，
三棱锥的体积是
故答案为：．
26．D
【分析】如图，根据直棱柱外接球的性质可知∥，，利用求外接球的半径即得解．
【详解】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心
根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，
∵正△的边长为6，则
∴
外接球的表面积.
故选：D．
27．D
【分析】设球半径为，圆锥的底面半径为，由直角圆锥的侧面积为可求出，，再求出圆锥的高即可知，得，即可求出球的体积．
【详解】解：设球半径为，圆锥的底面半径为，母线为，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，得：
若圆锥的侧面积为，则，所以
圆锥的高，
由，解得：，
所以球O的体积等于.
故选：D．
28．
【分析】
外接球的球心在高线上，根据勾股定理可得外接球的半径．
【详解】
如图，灯罩的轴截面为等腰梯形，
其中，分别是灯罩上、下底面圆的圆心，
是灯罩外接球的球心，则，，
，设，
则，解得，
则灯罩外接球的半径，体积．
故答案为：
29．
【分析】设正三棱锥的高为，内切圆的圆心为，根据，求得，结合直角中，利用勾股点列出方程，求得，进而求得三棱锥的体积.
【详解】设正三棱锥的高为，内切圆的圆心为，
则，
由，所以，即，
在直角中，，，
解得，，所以体积.
故答案为：
30．D
【分析】
根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.
【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，即
由条件可知，，
中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的表面积.
故选：D
31．A
【分析】
画出截面图，由题求出正四棱台下底面边长和侧棱长即可得出答案.
【详解】
如图，做该正棱台的截面，因为该正四棱台的上底面积为12，故上底边长为，
因为内切球体积为，故.
在中，，
所以，根据对称性，
故 所以 ，
正四棱台下底面是一个边长为 的正方形，
故侧面梯形的高为.
即.
故选：A.
32．
【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据对应线段成比例求得球的半径，再求球的体积．
【详解】如图所示：已知三棱锥的棱长均为，所以三棱锥为正四面体，设底面三角形中心为，底面，则，在上，取的中点，作截面，球，球与切于，连结.
题意得 ，
底面的外接圆半径为，
点到平面的距离为 ，
所以 ，
所以
设球的半径为，所以
则，得 .
设球的半径为，则，，又,,
得，
所以球的体积为为
故答案为：；.
答案第1页，共2页
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