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第一单元圆柱与圆锥（单元复习讲义）
（知识梳理+精讲例题+专项练习）
1、“点、线、面、体”之间的关系是：
点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。
2、圆柱的特征：
（1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆，侧面是曲面。
（2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。
（3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。
（4）圆柱是由长方形绕长或宽旋转360度得到的立方体，所以沿高线切割后的切面是长方形。
3、圆锥的特征：
（1）圆锥的底面是一个圆，和底面相对的位置有一个顶点。
（2）圆锥的侧面是一个曲面。
（3）圆锥只有一条高。
（4）圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转360度得到的立方体，所以沿高线切割后的切面是等腰三角形。
4、沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）。
圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝Ch。
圆柱的侧面积公式的应用：
（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch；
（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝πdh；
（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2πrh
圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：S表=S侧+2S底 或S表=πdh+πd2/2 或S表=2πrh+2πr2
圆柱表面积的计算方法的特殊应用：
（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。
（2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。
5、圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。
6、圆柱体积公式的推导：
复习六年级上册圆的面积公式的推导：把圆等分的份数越多，拼成的图形就越行四边形或长方形。拼成的平行四边形的底相当于圆周长的一半，高相当于圆的半径；拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。所以圆的面积=π×半径×半径=π×半径2
如同，圆的面积公式的推导，也可以沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，把它分成若干等份，分得越细越好，再把它拼成一个近似长方体的立体图形，形状改变了，但体积没变，那么就可以发现拼成的这个长方体的底面积与圆柱的底面积是相等的，长方体的高也与圆柱的高相等，而长方体的体积=底面积×高，也就等于圆柱的体积。因此，
圆柱的体积＝底面积×高如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh 。
例题：填空：圆柱体积公式推导过程是利用(转化）的数学思想，在此过程中（形状）变了，（体积）没变。拼成图形的高于圆柱的（高）相等，他们的底面积（相等）所以圆柱的体积公式为（底面积×高）
圆柱体积公式的应用：
（1）计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。
（2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝πr2h；
（3）已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V＝π(d/2)2h；
（4）已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V＝π(C/2π)2h；
圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。
6、圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。
7、圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小。
圆锥的体积＝1/3×底面积×高 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，
则字母公式为：1/3Sh
圆锥体积公式的应用：
（1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用“v= 1/3Sh”这一公式。
（2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用1/3πr h
（3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用1/3π（d/2） h
（4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运用1/3π（c/2r） h
【例题一】一个圆锥和一个圆柱的高相等，要使它们的体积也相等，圆柱的底面积是圆锥底面积的（　　）
A． B．3倍 C．
【分析】由于体积相等，高相等，设体积为v，高为h，底面积不同，设圆柱的底面积为s1，圆锥的底面积为s2，则s1=，s2=，求圆柱的底面积是圆锥底面积的几分之几，用除法解答即可．
【详解】设体积为v，高为h，底面积不同，设圆柱的底面积为s1，圆锥的底面积为s2，
则s1=，s2=，
则s1÷s2=÷=．
故选A．
分析：解决此题主要是先用体积和高表示出底面积，进而根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答．
【例题二】求下面各圆柱的表面积及体积．
（1）底面半径3厘米，高8厘米．
（2）底面直径6分米，高9分米．
【分析】圆柱的表面积等于两个底面积与侧面积的和，而侧面积又等于底面周长乘高；圆柱的体积，用圆柱的体积公式V=Sh，即可解答．
【详解】（1）表面积：
2×3.14×3×8+3.14×32×2，
=6.28×24+3.14×18，
=150.72+56.52，
=207.24（平方厘米）；
体积：3.14×32×8，
=28.26×8，
=226.08（立方厘米）；
答：这个圆柱的表面积是207.24平方厘米，体积是226.08立方厘米．
（2）表面积：
3.14×6×9+3.14×（6÷2）2×2，
=18.84×9+3.14×9×2，
=169.56+56.52，
=226.08（平方厘米）；
体积：3.14×（6÷2）2×9，
=28.26×9，
=254.34（立方厘米）；
答：这个圆柱的表面积是226.08平方厘米，体积是254.34立方厘米．
分析：此题主要考查了圆柱的表面积和体积公式的应用．
【例题三】圆柱形粮囤从里面量底面直径为4米,高为3米,装满小麦后又在粮囤上堆成一个0.6米高的圆锥,也装满小麦．
(1)如果每立方米小麦重750千克,那么这个粮囤共装多少千克小麦
(2)在(1)的结果下,如果小麦的出粉率是85%,那么这些小麦可磨面粉多少千克
【详解】(1)[3.14××3+×3.14××0.6]×750=30144(千克)　
(2)30144×85%=25622.4(千克)
一、选择题
1．将下图中的直角三角形ABC以直角边AB所在的直线为轴旋转一周，求所得图形的体积，列式正确的是（ ）。
A． B．
C． D．
2．圆锥的底面积是16平方厘米，高6厘米，它的体积是（ ）。
A．96立方厘米 B．23立方厘米 C．69立方厘米 D．32立方厘米
3．把底面半径是3厘米的圆柱的侧面，沿着一条高展开后是一个正方形，这个圆柱的高是（ ）厘米。
A．3 B．6 C．18.84 D．28.12
4．已知圆柱侧面（如图，单位：厘米），选一个合适的底面制作容积最大的圆柱体形易拉罐，这个底面周长应是（　　）
A．18.84厘米 B．12.56厘米 C．4厘米 D．6厘米
5．如果一个圆锥的高不变，底面半径增加3倍，则体积增加（　　）
A．15倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍
二、填空题
6．以直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周所形成的旋转体是一个( )。
7．把圆锥平行于底面进行切割，切面是( )，把圆锥沿着高垂直于底面切割，切面是( )．
8．一个圆锥形沙堆的底面半径是5米，高是3米．如果每立方米沙重2吨，这堆沙共重( )
9．一个圆锥的体积是，底面积是，这个圆锥的高是( )cm。
10．把一根圆柱形木头削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是8立方厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米．
11．一个无盖的圆柱形铁皮桶，底面直径6分米，高1米．做这个桶大约用铁皮( )平方分米．
12．一个圆柱体的侧面展开图是边长为25.12cm的正方形，这个圆柱体的半径是( )cm2，体积是( )cm3．
13．将一个底面半径是2 cm，高是15 cm的铁制圆锥放入盛满水的桶里(圆锥完全浸没)，将有( )cm3的水溢出．
14．一个圆柱形容器，从里面量，底面的直径是10cm，高是0.05m，它的容积是( )mL。
15．一个圆柱体积是84立方厘米，底面积21平方厘米，高是( )。
16．把一段圆柱形木料，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的( )%，是圆柱体积的( )。
17．想一想，像下图切开后，截面是( )形；如果平行于圆锥底面切开，截面是( )形。

三、判断题
18．一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，它的表面积扩大到原来的4倍。( )
19．压路机滚筒在地上滚动一周所压的路面正好是压路机滚筒的表面积． ( )
20．把一个棱长6cm正方体切成两个同样的长方体，表面积增加12平方厘米。（ ）
21．圆柱沿着高切拼成近似的长方体后，长方体的长等于圆柱底面周长的一半。( )
22．一个圆锥的底面直径和高都是4dm，如果沿底面直径和高切成两半，表面积增加了16dm2。( )
23．用一张正方形纸围成一个圆柱（接口处忽略不计），这个圆柱的底面周长和高相等。( )
四、解答题
24．一个底面半径15厘米的玻璃缸里有一块石头，如图所示．水深18厘米，拿出石块后水面下降到16厘米，这块石头体积是多少？
25．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，已知正方形的周长是64厘米，那么圆柱体的表面积是多少？
26．一个圆柱形的汽油桶，底面半径是2分米，高是5分米，做这个桶至少要用多少平方分米的铁皮？它的容积是多少升？
27．已知一个圆柱体与一个圆锥体高相等，且圆锥与圆柱的体积之比是1：3，圆锥的底面积是10平方米．圆柱的底面积是多少？
28．在底面半径是10厘米的圆柱形杯中，装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水上升到9厘米，问这块铁的体积多大？
29．甲乙两个圆柱形容器，甲容器中有水2000毫升，乙是空的，现往两个容器里各注入水1600毫升，它们水面的高度相等，已知甲的底面半径为9厘米，求乙的底面半径．
30．一个圆锥形铁块，底面半径3厘米，高5厘米，如果每立方厘米铁重7.8克，这个铁块重多少克？
参考答案：
1．C
【分析】根据题意可知，以直角三角形AB为轴旋转一周，所得图形是底面半径是5，高是6的圆锥体，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详解】根据分析可知，旋转后的体积是：3.14×52×6×。
故答案为：C
【分析】明确旋转后的图形是圆锥体，圆锥的底面半径和高的确定是解答本题的关键。
2．D
【解析】圆锥的体积＝底面积×高×，由此根据圆锥的体积公式列式计算即可。
【详解】16×6×
＝16×2
＝32（立方厘米）
故答案为：D
【分析】此题主要考查圆锥的体积公式，注意不要忘记乘，在理解的基础上记忆。
3．C
【分析】根据题意可知，把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，说明圆柱体的底面周长和高相等，已知这个圆柱体的底面半径是3厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出圆柱体的底面周长，高也由此得出。
【详解】把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，说明圆柱体的底面周长和高相等。
2×3.14×3＝18.84（厘米）
故答案为：C
【分析】此题考查的目的是理解和掌握圆柱体的侧面展开图边长与圆柱体的底面周长和高的关系，再利用圆的周长的计算方法解决问题。
4．A
【详解】试题分析：抓住“最大”，就是制作成以这个长方形为侧面的圆柱，即可选出正确答案．
解：圆柱体侧面展开图的特点，这个长方形的长就是底面的周长，而且，
A：底面周长为18.84时，r=18.84÷3.14÷2=6÷2=3厘米，
V=Sh=3.14×32×12.56=3.14×9×12.56=354.9456立方厘米；
B：底面周长为12.56时，r=12.56÷3.14÷2=4÷2=2厘米，
V=Sh=3.14×22×12.56=3.14×4×12.56=157.7536立方厘米；
C和D的底面半径更小，所以它们的体积更小，
所以这个底面周长应该是18.84厘米；
故选A．
分析：此题考查了圆柱体展开图的特点的应用．
5．A
【详解】试题分析：设圆锥的底面半径是1，则圆锥的底面积是：π×12=π；圆锥的底面半径增加3倍，则圆锥的半径是4，则圆锥的底面积是：π×42=16π，则圆锥的底面积增加了16π÷π﹣1=15倍，因为圆锥的体积=×底面积×高，高一定时，圆锥的体积与底面积成正比，由此即可解决问题．
解：设圆锥的底面半径是1，则圆锥的底面积是：π×12=π；
圆锥的底面半径增加3倍，则圆锥的半径是4，则圆锥的底面积是：π×42=16π，
则圆锥的底面积增加了16π÷π﹣1=15倍，
因为高一定时，圆锥的体积与底面积成正比，所以圆锥的体积是增加15倍．
故选A．
分析：此题考查了高一定时，圆锥的体积与底面半径的平方成正比例的灵活应用，这里要注意“增加”与“增加到”的区别．
6．圆锥
【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，由此解答。
【详解】根据圆锥的定义，直角三角形绕着一条直角边旋转一周，得到的图形是圆锥。
【分析】此题考查的目的是使学生掌握圆锥的特征。
7．圆形；三角形
【详解】试题分析：把圆锥平行于底面进行切割，切面得到的是一个圆形；从圆锥的顶点向底面作垂直切割，得到的是一个以底面直径为底，以圆锥的高为高的等腰三角形，由此即可解答．
解：把圆锥平行于底面进行切割，切面是 圆形，把圆锥沿着高垂直于底面切割，切面是三角形．
故答案为圆形；三角形．
分析：抓住圆锥的切割方法，从而得出切割面的特点，是解决本题的关键．
8．157吨
【分析】圆锥的体积=底面积×高×，由此根据圆锥的体积公式先计算出沙堆的体积，再乘每立方米沙的重量即可求出沙堆的总重量.
【详解】3.14×5 ×3××2
=3.14×25×2
=157(吨)
故答案为157吨
9．6
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷，代入数据，即可解答。
【详解】54÷27÷
＝2×3
＝6（cm）
一个圆锥的体积是54cm3，底面积是27cm2，这个圆锥的高是6cm。
10．4
【详解】试题分析：圆柱内最大的圆锥与原来圆柱是等底等高的，所以圆锥的体积是圆柱的体积是的，则圆锥的体积就是削去部分的体积的，由此即可解答．
解：8×=4（立方厘米），
答：这个圆锥的体积是4立方厘米．
故答案为4．
分析：抓住圆柱内最大圆锥的特点以及等底等高的圆柱的体积与圆锥的体积的倍数关系即可解决此类问题．
11．47.1
【详解】试题分析：已知水桶无盖，所以只求它的一个底面和侧面积，根据圆柱的侧面积公式：s=ch，圆的面积公式：s=πr2，把数据代入公式解答．
解：3.14×6+3.14×（）2，
=18.84+3.14×9，
=18.84+28.26，
=47.1（平方分米），
答：做这个桶大约用铁皮47.1平方分米．
故答案为47.1．
分析：解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决．
12．4，1262.0288
【详解】试题分析：根据“一个圆柱体的侧面展开得到一个边长25.12cm的正方形，”知道圆柱的底面周长是25.12cm，高是25.12cm，由此根据圆的周长公式求得半径；根据圆柱的体积公式，即可算出圆柱的体积．
解：25.12÷3.14÷2=4（厘米）
3.14×42×25.12，
=3.14×16×25.12，
=1262.0288（立方厘米）．
答：这个圆柱体的半径是4厘米，体积是1262.0288立方厘米．
故答案为4，1262.0288．
分析：解答此题的关键是，能根据圆柱的侧面展开图与圆柱的关系，找出对应量，再根据圆柱的体积公式，列式解答即可．
13．62.8
【详解】略
14．392.5
【分析】V圆柱＝πr2h代入数据计算即可。
【详解】0.05m＝5cm
3.14×（10÷2）2×5
＝3.14×25×5
＝392.5（cm3）
＝392.5 mL
【分析】一个容器从里面量计算其容积，按照体积公式计算即可，注意换算单位。
15．4厘米
【详解】根据圆柱的体积=底面积×高计算。
16． 200
【详解】略。
17． 三角 圆
【分析】沿圆锥的高切开，可以发现它的截面是三角形，圆锥的底面直径和高等于三角形的一组底和高；圆锥的底面是圆形，侧面是一个曲面，如果平行于圆锥底面切开，截面也是圆形。
【详解】通过分析，像图中那样切开后，截面是三角形；如果平行于圆锥底面切开，截面是圆形。
【分析】掌握圆锥的特征是解题的关键。
18．×
【分析】根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧＋S底×2，圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，圆的面积公式：S＝πr2，据此判断。
【详解】圆柱的表面积＝2πr2＋2rπh（r为半径，h为高）
h不变，半径扩大到到原来的2倍，即r变为2r
表面积变为：
2πr2＋2rπh
＝2π（2r）2＋2（2r）πh
＝2π4r2＋4rπh
＝8πr2＋4rπh
（2πr2＋2rπh）×4
＝8πr2＋8rπh≠8πr2＋4rπh
故答案为：×
【分析】此题主要考查圆柱的表面积公式、侧面积公式、圆的面积公式的灵活运用。
19．×
【分析】压路机的滚筒的侧面与地面接触，两个底面没有与地面接触，与地面接触的是滚筒的侧面.
【详解】压路机滚筒在地上滚动一周所压的路面正好是压路机滚筒的侧面积，原题说法错误.
故答案为错误
20．╳
【分析】把正方体切成完全一样的两个长方体后，它的表面积比原来增加了2个正方体的面的面积，由此即可解答问题。
【详解】6×6×2
＝36×2
＝72（平方厘米）
故答案为：╳
21．×
【分析】此题是把圆柱沿底面切割成若干等份后，拼组成长方体。
拼成的近似长方体的底面是一个近似的长方形，这个长方形的长是圆柱底面周长的一半，宽是圆柱的底面半径，据此解答。
【详解】根据分析可知，圆柱沿着高切拼成近似的长方体后，长方体底面长方形的长等于圆柱底面周长的一半，而不是长方体的长。
【分析】本题主要考查了学生对圆柱体积公式推导过程的掌握。
22．√
【分析】沿着底面直径纵切成两半，增加了两个三角形，三角形的底和高都是4dm，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出一个三角形的面积，再乘2，即可求出增加的面积，再进行比较，即可解答。
【详解】4×4÷2×2
＝16÷2×2
＝8×2
＝16（dm2）
一个圆锥的底面直径和高都是4dm，如果沿底面直径和高切成两半，表面积增加了16dm2。
原题干说法正确。
故答案为：√
【分析】解答此题的关键是明确圆锥沿底面直径和高切成两半，增加的是两个完全一样的三角形，并且三角形的底是圆锥的直径，高是圆锥的高。
23．√
【分析】根据圆柱的特征：这个正方形就是圆柱的侧面，这个正方形的边长就是圆柱的底面周长和圆柱的高。由此解答。
【详解】根据题干分析可得，因为这个正方形纸就是这个圆柱的侧面，所以圆柱的底面周长和高都等于正方形的边长，即圆柱的底面周长和高相等，原题说法正确。
故答案为：√。
【分析】此题考查的目的是掌握圆柱的特征，明确：圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。如果圆柱的底面周长和高相等时，它的侧面展开图是正方形。
24．1413立方厘米
【详解】3.14×152×（18-16）=1413（立方厘米）
25．296.8357平方厘米
【详解】试题分析：把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形．已知正方形的周长，则可求正方形的边长（圆柱的底面周长），进而可求正方形的面积（圆柱的侧面积）．求出圆柱的底面周长，进一步可求底面积，底面积加侧面积即是表面积．
解：正方形的边长（圆柱的底面周长）：64÷4=16（厘米）；
侧面积：16×16=256（平方厘米）；
底面半径：16÷3.14÷2≈2.55（厘米）；
底面积（两个相等的圆）：3.14×2.552×2=40.8357（平方厘米）；
表面积：40.8357+256=296.8357（平方厘米）；
答：那么圆柱体的表面积是296.8357平方厘米．
分析：此题重点考查圆柱的表面积的计算，可利用公式列式解答．
26．87.92平方分米；62.8升
【详解】L=2×2×3.14=12.56（分米）
S侧=12.56×5=62.8（平方分米）
S底=2×2×3.14=12.56（平方分米）
S=S侧+2×S底=87.92（平方分米）
V=S底×高=62.8（立方分米）=62.8升
27．10平方米
【详解】试题分析：因为等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的，这里圆柱体与圆锥体的高相等，圆锥体的体积是圆柱体的，所以它们的底面积一定相等，据此即可解答．
解：因为等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的，
所以这个圆柱体与圆锥体的底面积相等，都是10平方米，
答：圆柱体的底面积是10平方米．
分析：此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用．
28．628立方厘米
【详解】试题分析：根据题意得出：铁块的体积等用于上升的水的体积，上升的水的体积等于高为9﹣7=2厘米，底面半径为10厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积计算公式V=πr2h计算即可．
解：3.14×102×（9﹣7），
=3.14×100×2，
=628（立方厘米）．
答：这块铁的体积是628立方厘米．
分析：解决本题的关键是明确铁块的体积等用于上升的水的体积．
29．6厘米
【详解】试题分析：甲容器中水的体积是1600+2000=3600毫升；根据圆柱的体积公式和甲容器的底面半径即可先求出甲容器内水的高度，再根据两个容器的水面相等”，乙容器此时的水面高度=甲容器的水面高度，由此利用乙容器中水的体积÷水面高度=乙容器的底面积，再利用圆的面积公式和完全平方数的性质，即可求出乙容器的底面半径．
解：1600+2000=3600毫升=3600立方厘米，
水面的高：
3600÷（π×92），
=3600÷81π，
=（厘米），
乙容器的底面积：
1600，
=1600×，
=36π（平方厘米），
36π÷π=36，因为6×6=36，
所以一容器的底面半径是6厘米．
答：乙容器的底面半径是6厘米．
分析：此题考查了圆柱的体积公式的灵活应用，抓住两个容器内水面高度相等，求出甲容器的水面高度，从而得出乙容器的水面高是解决本题的关键．
30．这个铁块重367.38克
【详解】试题分析：先利用圆锥的体积=底面积×高，求出这个铁块的体积，每立方厘米铁块重量已知，从而用乘法计算，即可求出这个铁块的重量．
解答：解：×3.14×32×5×7.8，
=3.14×3×5×7.8，
=9.42×5×7.8，
=47.1×7.8，
=367.38（克）；
答：这个铁块重367.38克
分析：此题主要考查圆锥的体积计算方法的实际应用．

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