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第四单元正比例和反比例（单元复习讲义）
（知识梳理+精讲例题+专项练习）
1、生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。
2、正比例：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：y/x=k（一定）。
判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，如被减数与差，正方形的面积与边长等。
正比例的图像是一条直线。
3、反比例的意义：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。
判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量；再看这两个量的积是否一定；最后作出结论。
反比例的图像是一条光滑曲线。
【例题一】下列说法正确的有．（　　）
表示两个比相等的式子叫做比例
B．互质的两个数没有公约数
C．圆锥的体积等于圆柱体积的
【分析】根据相关知识点，逐项进行分析，进而找出正确的选项．
解：A、比例是指表示两个比相等的式子，因此原说法正确；
B、互质的两个数也有公约数，它们的公约数是1，因此原说法错误；
C、等底等高的圆锥体积等于圆柱体积的，因此原说法错误；
分析：此题属于综合性较强的选择题，根据相关知识逐项分析后再进行选择．
【例题二】购买一种壁纸的面积和应付金额如下表。
面积/平方米 0 1 2 3 4 5 …
应付金额/元 0 20 40 60 80 100 …
（1）判断应付金额与购买壁纸的面积是否成正比例关系，并说明理由。
（2）在下图中描出面积和应付金额所对应的点，再把它们顺次连起来。
（3）买4.5平方米这种壁纸需要（ ）元，1700元最多可以买（ ）平方米壁纸。
【分析】（1）判断两个相关联的量成什么比例，就看这两个量对应的是比值一定还是乘积一定，如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例，据此解答；
（2）根据表中数据描点，连线即可；
（3）根据应付金额与购买壁纸的面积成正比例关系：应付金额＝面积×比值；面积＝应付金额÷比值，据此列数解答即可。
【详解】（1）20∶1＝40∶2＝60∶3＝80∶4＝100∶5＝20（一定）；
比值一定，应付金额与购买壁纸面积成正比例。
（2）
（3）4.5×20＝90（元）
1700÷20＝85（平方米）
买4.5平方米这种壁纸需要90元，1700元最多可以买85平方米壁纸。
【分析】本题考查辨识正比例还是反比例的方法以及正比例的应用。
【例题三】长方形的一条边长度是。
（1）把表填完整。
面积 3
长 1 2 3 4 10
（2）从表中你发现了什么规律？
（3）长方形的长与面积成正比例吗？为什么？
【分析】（1）根据长方形面积公式S＝ab，通过计算完成表格；
（2）根据表格中的数据发现长方形的一条边不变，长方形的面积随着另一条边的变化而变化；
（3）根据面积与长的比值一定，判断长方形的面积与长成正比例。
【详解】（1）（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
填表如下：
面积 3 6 9 12 30
长 1 2 3 4 10
（2）根据表格发现：
长方形的一条边不变，长方形的面积随着另一条边的变化而变化。
（3）3÷1＝6÷2＝9÷3＝12÷4＝30÷10＝3（一定），所以长方形的长与面积成正比例。
【分析】此题主要考查正比例的意义，以及长方形的面积公式的应用。
一、选择题
1．下题中的两种量成什么比例．（ ）
三角形面积一定，它的底和高．
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
2．食堂大米的总重量一定，每天吃的大米数和（ ）在发生有规律的变化。
A．吃的天数 B．用水量 C．用的液化气的多少
3．下面表述错误的一条是（　　）
A．在比例里两个外项和积等于两个内项的积
B．实际距离和图上距离的比叫比例尺
C．路程一定，速度和时间成正比例
4．已知Χ=y，则Χ和y（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
5．圆周率一定，圆的半径和圆的面积（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
二、填空题
6．下表是乐乐0——9岁的体重变化情况。发生变化的两种量是( )和( )。
年龄/岁 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
体重/千克 3.5 9.5 12 14 16 18 20 22 25 29
7．14÷( )==( )÷( )=( )（填小数）
8．若a﹣b=0，则a和b成( )比例．
9．已知x、y（不为0）能满足2.5x=3y，那么x、y成( )比例．
10．已知A=B×C．如果A一定，那么B和C成( )比例；如果C一定，A和B成( )比例．
11．把a=b组成一个比例，写作( )；a和b成( )比例．
三、判断题
12．时间和速度成反比例。( )
13．给病人打点滴（250毫升），每分的滴数和滴的时间成正比例。( )
14．圆的周长与半径成正比例，圆的面积与半径的平方成正比例。( )
15．成活率一定，成活的棵数和栽种的总棵数成反比例。( )
16．任何一个非0自然数，与它的倒数成反比例。( )
17．一根木料，用去的和剩下的成反比例。( )
四、计算题
18．解比例。
15∶x＝7∶28　　　∶x＝0.25∶8
＝ ∶＝x∶
五、作图题
19．根据这张铺地面积和用砖数的表在方格纸上描出对应的点。
铺地面积 1 2 3 4 ……
用砖块数 25 50 75 100 ……
六、解答题
20．淘气家和笑笑家相距1200米，他们两人同时从家出发，相向而行，经过12分钟两人相遇。已知两人的速度比是3∶2，相遇时两人各走了多少米？
21．阅读小组的同学们练习读一篇800字文章，下表记录的是每人读文章所用的时间． 请把上表补充完整，再回答下列问题．
读文章速度（字/分） 250 200 100
所花时间（分） 3.2 5
（1）不同的人在读一篇文章的过程中，哪个量没有变？
（2）读文章的速度和所用时间有什么关系？
（3）王老师读这篇文章用了4分钟，她平均1分钟读多少个字？
22．北京到南京的高速公路在比例尺是1∶50000000地图上距离是3厘米，一辆汽车以每小时100千米的速度从北京开往南京，返程时提速20%，返程时需要多少小时？
23．根据图象回答问题．
下图反映了黄牛和山羊食干草的情况．
(1)猜一猜，图中的两条线，哪一条反映的是黄牛食干草的情况？哪一条反映的是山羊食干草的情况？
(2)估计黄牛和山羊3天各食多少千克干草．
(3)30 kg干草黄牛可食用几天？山羊呢？
24．某移动营业大厅，用边长为6分米的方砖铺地，需用200块；若改铺边长为4分米的方砖铺，需要多少块？
25．爸爸买一堆同样的铁钉。先数100根称了称是50克，又称了全部的质量是600克，这堆铁钉有多少根？（用比例解）
26．修一条公路，已修的和未修的长度比是1：3，再修300米后，已修的和未修的长度比是1：2．这条公路长多少米
27．磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。
时间/分 0 1 2 3 4 5 …
路程/千米 0 7 14 21 28 35 …
（1）上表中路程与时间成（ ）关系。
（2）图中的A点表示1分钟时列车行驶了7千米。请描出其他各点。顺次连接各点，你发现了什么？
28．一列火车匀速行驶，时间和路程的关系如下表．
时间/时 1 2 3 4 5 6
路程/千米 90
（1）把上表填完整．
（2）表中有哪两种变化的量？这两种量是怎样变化的？
（3）火车行驶的路程与所需时间是否成正比例？为什么？
参考答案：
1．B
【详解】三角形面积（积一定）=底×高×，所以它们成反比例。
故选：B
2．A
【详解】根据题意可得，每天吃的大米数×吃的天数=食堂大米的总质量，当食堂大米的总质量一定，每天吃的大米数和吃的天数在发生有规律的变化，每天吃的大米数增加，吃的天数就减少，据此解答. 故答案为A.
3．C
【详解】试题分析：逐项排查，找出错误的选项．
解：A、根据比例的性质，判断为正确；
B、根据比例尺的意义，判断为正确；
C、路程一定，速度和时间成正比例，不对，应成反比例．
分析：关键是逐一分析，选出错误的一项．
4．A
【详解】试题分析：判断x和y成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例．
解：因为x=y，所以x：y=（一定），
是对应的比值一定，所以x和y成正比例；
分析：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断．
5．C
【详解】试题分析：根据圆的面积公式推出圆的面积和圆的半径有什么样的相等关系，再根据正、反比例的意义得出答案．
解：圆的面积S=πr2，可推出=πr；
已知π一定，可πr不一定，根据正、反比例的意义可得圆的半径和圆的面积不成比例．
分析：作此题要掌握正、反比例的意义．即两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，它们的关系叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，它们的关系叫做反比例关系
6． 年龄 体重
【分析】根据图表可得乐乐的体重随着年龄的变化而变化，由此解答即可。
【详解】由分析可知：发生变化的两种量是年龄和体重。
故答案为：年龄；体重
【分析】本题主要考查如何判定是否是相关联的两种。
7．16，28，7，8，0.875．
【详解】试题分析：解答此题的关键是，根据分数的基本性质，分子、分母都乘4，得到；根据分数与除法的关系，=7÷8；根据商不变的性质，被除数、除数都乘2，得到14÷16；
=7÷8=0.875．由此进行转化并填空．
解：14÷16===7÷8=0.875；
分析：此题考查除式、小数、分数之间的转化，利用它们之间的关系和性质进行转化即可．
8．正．
【详解】试题分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
解：因为a﹣b=0，则a=b，即a÷b=1（一定），所以a和b成正比例；
分析：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
9．正．
【详解】试题分析：判断x和y之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
解：因为2.5x=3y，
所以x：y=3：2.5，
=1.2（一定），
即x与y的比值一定，符合正比例的意义，
所以x和y成正比例，
分析：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
10．反，正．
【详解】试题分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
解：已知A=B×C．如果A一定，那么B和C成反比例；
A=B×C，所以A÷B=C，如果C一定，A和B成正比例；
分析：此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
11．a：b=2：1，正．
【详解】试题分析：（1）根据比例的基本性质，知道两个内项的积等于两个外项的积，所以逆着运用比例的基本性质即可写出比例；
（2）判断a和b就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
解：（1）a=b，
a：b=：，
=2：1；
（2）因为a：b=2：1，
所以a：b=2，
符合正比例的意义，
所以a和b成正比例．
分析：此题主要考查了比例的基本性质的灵活应用及根据正、反比例的意义判断成正、反比例的量．
12．×
【详解】速度×时间＝路程（一定），路程一定时，时间和速度成反比例。
故答案为：×
13．×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果比值一定，则成正比例；如果乘积一定，则成反比例。根据给病人打点滴的量（250毫升）＝每分钟的滴数×时间，即可判断。
【详解】根据分析可知，给病人打点滴的量（250毫升）＝每分钟的滴数×时间，给病人打点滴的量一定，每分钟的滴数与时间乘积一定，成反比例关系。
故答案为：×
【分析】本题考查正比例、反比例的意义，根据正比例、反比例的意义进行解答。
14．√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】圆的周长÷半径＝2π（定值），比值一定，所以圆的周长与半径成正比例；圆的面积÷半径的平方＝π（定值），比值一定，所以圆的面积和半径的平方成正比例。
故答案为：√
15．×
【详解】成活的棵数÷栽种的总棵数×100%＝成活率（一定），也就是这两种量的比值一定，所以成活率一定，成活的棵数和栽种的总棵数成正比例。
故答案为：×
16．√
【分析】根据倒数的定义：乘积为1的两个数，互为倒数。两数之积一定，根据反比例的判别原则：当一个量一定，另两个量积一定时，成反比例，即可解答。
【详解】任何一个非0自然数，与它的倒数成反比例。
所以原题说法正确。
【分析】此题考查学生对反比例的判别方法。
17．×
【分析】根据数量关系判断是商（比值）一定还是乘积一定，如果商（比值）一定就成正比例，如果乘积一定就成反比例，其他关系不成比例。
【详解】用去的部分＋剩下的部分＝木料总长
用去的和剩下的不成比例。
故答案为：×
【分析】此题主要考查学生对正、反比例判定的理解与应用。
18．x＝60；x＝24；x＝25；x＝
【详解】略
19．
【详解】在描出对应点的时候，需要先确定好纵向和横向所代表数据，然后确定每个格子代表多少，最后描点连线。
20．淘气走了720米；笑笑走了480米
【分析】根据：路程＝速度×时间，时间一定，路程和速度成正比，两人的速度比是3∶2，两人走的路程比也是3∶2，根据分数的意义，把总路程分成3＋2＝5份，淘气走了路程的份，笑笑走了，用淘气家和笑笑家的距离×，就是淘气走的米数；用淘气家和笑笑家的距离×，就是笑笑走的米数。
【详解】3＋2＝5（份）
淘气走了全程的
笑笑走了全程的
淘气走了：1200×＝720（米）
笑笑走了：1200×＝480（米）
答：淘气走了720米，笑笑走了480米。
【分析】本题考查正比例的辨别，分数的意义，求一个数的几分之几是多少，以及速度、时间、路程三者的关系，本题考查内容比较多，要仔细认真分析，解答。
21．
读文章速度（字/分） 250 200 160 100
所花时间（分） 3.2 4 5 8
总字数不变的情况下，速度与所用时间成反比．200字．
【详解】试题分析：（1）小组成员读的是同一篇文章，所以不变量是文章的字数，即800字．
（2）共800字，每分读200字，根据除法的意义，需要800÷200=4（分钟）；同理可知，每分读100字，需要800÷100=8（分钟）；用时5分钟，则每分钟读800÷5=160（字）．由此可以发现，每分钟读的字数越多，用时越短，即在总字数不变的情况下，速度与所用时间成反比．
（3）王老师读这篇文章用了4分钟，根据除法的意义，用总字数除以时间即得平均每分钟读多少字．
解：（1）不同的人在读一篇文章的过程中，不变量是文章的字数，即800字．
（2）800÷200=4（分钟）；
800÷100=8（分钟）；
800÷5=160（字）．
读文章速度（字/分） 250 200 160 100
所花时间（分） 3.2 4 5 8
通过上表可知，每分钟读的字数越多，用时越短，即在总字数不变的情况下，速度与所用时间成反比．
（3）800÷4=200（字）．
答：她平均每分钟读200字．
分析：本题体现了工程问题的基本关系式：工作量÷工作时间=工作效率．
22．12.5小时
【分析】已知比例尺和图上距离求实际距离，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出实际距离，最后利用“路程÷速度＝时间”即可求得。
【详解】3÷＝150000000（厘米）
150000000厘米＝1500千米
100×（1＋20%）
＝100×1.2
＝120（千米）
1500÷120＝12.5（小时）
答：返程时需要12.5小时。
23．(1)甲反映的是黄牛食干草的情况，乙反映的是山羊食干草的情况．
(2)黄牛3天食45 kg干草，山羊3天食15 kg干草．
(3)从题图中看出30 kg干草黄牛可食用2天，山羊可食用6天．
【详解】略
24．450块
【分析】移动营业大厅的面积是不变的，每一块方砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即每一块方砖的面积×所需块数＝移动营业大厅面积（一定），也就是两种相关联的量成反比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可。
【详解】解：设需要用x块。
4×4×x＝6×6×200
16x＝7200
x＝7200÷16
x＝450
答：需要450块。
【分析】此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，再列比例式解答。注意：列比例式时不要把边长当成面积。
25．1200根
【分析】根据题意可知，每一根铁钉子的质量是一定的，即的比值一定；铁钉的根据与质量成正比例；设这堆铁钉有x根，列方程：＝，解方程，即可解答。
【详解】解：设这堆铁钉有x根。
＝
50x＝100×600
50x＝60000
x＝60000÷50
x＝1200
答：这堆铁钉有1200根。
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，成正比例，如果乘积一定，则成反比例，据此判断出铁钉质量与根数成什么比例，列出相应的方程求解。
26．3600米
【详解】略
27．（1）正比例；
（2）见详解
【分析】从上表我发现因为路程÷时间＝速度（一定），是对应的比值一定，符合正比例的意义，所以时间和路程成正比例关系；根据统计表中所提供的数据即中在图中描出其他各点，并把它们按顺序连接起来；连接各点，发现了：正比例关系图象是一条过原点的直线。
【详解】（1）路程与时间有正比例关系。
（2）根据下表在图中描点．连接各点，发现了正比例关系图象是一条过原点的直线。
【分析】此题主要是考查正、反比例的判定，路程、速度、时间之间的关系等．判断两种相关联量是成正比例还是成反比例，关键是看这两种相关联的量所对应的数的比值（商）一定，还是积一定。
28．（1）解：90×2=180(千米)，90×3=270(千米)，90×4=360(千米)，90×5=450(千米)，90×6=540(千米)
时间与路程.路程随时间的变化而变化，速度不变.
（2）解：成正比例，因为速度一定，也就是路程与时间的商一定.
【详解】(1)因为匀速行驶，所以速度是不变的，用速度乘时间，分别求出路程并填表即可；
(2)根据速度、时间、路程之间的关系判断路程与时间的商一定还是积一定，如果商一定就成正比例，如果积一定就成反比例，否则不成比例.

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