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第四单元长方体（二）（单元复习讲义）
（知识梳理+精讲例题+专项练习）
一、体积与容积概念
体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。（从外部测量）
容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。（从内部测量）
注意：①同一个容器，体积大于容积；当容器壁很薄时，容积近等于体积。如果容器壁忽略不计时，容积等于体积。
②几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变（它们占空间的大小没有发生变化）
二、体积单位
1、认识体积、容积单位
常用的体积单位：立方米（m ）、立方分米（dm ）、立方厘米（cm ）
常用的容积单位：升、毫升，1升=1立方分米、1毫升=1立方厘米
2、感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义：
① 手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用cm 作单位
② 西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用dm 作单位
③ 矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位
④热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可以用升作单位
⑤我们饮用的自来水用“立方米”作单位
三、长方体的体积
1、长方体、正方体体积的计算方法
①长方体的体积=长×宽×高，长用a表示，宽用b表示，高用h表示，体积用V表示，体积可表示为V=abh
②正方体的体积=棱长×棱长×棱长，如果棱长用a表示，体积可表示为V=a =a×a×a
长方体（正方体）的体积=底面积×高 V=Sh
补充知识点：长方体的体积=横截面面积×长
2、能利用长方体（正方体）的体积及其他两个条件求出问题。
如：长方体的高=体积÷长÷宽
长=体积÷高÷宽 宽=体积÷高÷长
注意：计算体积时，单位一定要统一；
表面积与体积表示的意义不一样，单位不同，无法比较大小。
四、体积单位的换算 认识体积、容积单位。
常用的体积单位有：立方厘米（cm ）、立方分米（dm ） 、立方米（m ）。
常用的容积单位有：升（L）、毫升（m L）
知识点：
1、体积、容积单位之间的进率：相邻体积、容积单位间进为1000
1米 =1000分米 1分米 =1000厘米
1升=1分米 1毫升=1厘米 1升=1000毫升
2、体积、容积单位之间的换算方法：
体积、容积单位之间的换算，由高级单位化成低级单位乘进率，由低级单位化成高级单位除以进率
五、有趣的测量
1、不规则物体体积的测量方法：
一般都是把不规则物体的体积转化成可通过测量计算的水的体积（注意液面是“升高了”还是“升高到”）
注意：在测量体积较小的不规则物体的体积时，要先测量出一定数量物体的体积，再算出一个物体的体积
2、不规则物体体积的计算方法：现在液体体积减去原来液体体积
【例题一】．一把勺子的容量大约是5毫升，要用（ ）勺的水才能装满一个容积为1升的量杯。
A．20 B．200 C．1000 D．2000
【分析】根据题意，把升化成毫升，1升＝1000毫升，再用1000毫升除以一把勺子的容积5毫升，即可解答。
【详解】1升＝1000毫升
1000÷5＝200（勺）
故答案为：B
【分析】解答本题是单位名数的统一，关键是熟记进率。
【例题二】一个正方体玻璃缸，从里面量棱长为4分米，用它装满水后，再把水全部倒入底面积为0.2平方米的长方体水槽中，水面的高度是多少分米？
【分析】根据题意，把正方体玻璃缸装满水，再把水倒入长方体水槽中，水的体积不变。首先根据正方体的容积公式：V＝a3，求出玻璃缸中水的体积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，用水的体积除以长方体的底面积即可。
【详解】4×4×4÷（0.2×100）
＝64÷20
＝3.2（分米）
答：水面的高度是3.2分米。
【分析】此题主要考查正方体、长方体的容积（体积）公式的灵活运用。
【例题三】用纸皮做一个长1.2米，宽50分米，高40分米无盖的长方体箱子，用来堆放同学们收集的矿泉水的空瓶。
（1）至少要用多少平方分米的纸皮？
（2）这个箱子最多能装多少立方分米的东西？
【分析】（1）求要用多少平方分米的纸皮就是求这个长方体的表面积，根据表面积公式求解；
（2）这个箱子最多能装多少立方分米的东西，这是求这个长方体的容积，纸皮的厚度不计，也就是求这个长方体的体积，根据体积公式求解。
【详解】解：1.2米＝12分米
（1）12×50＋12×40×2＋50×40×2
＝600＋960＋4000
＝5560（平方分米）
答：至少要用5560平方分米的纸皮。
（2）12×50×40
＝600×40
＝24000（立方分米）
答：这个箱子最多能装24000立方分米的东西。
一、选择题
1、一个长方体的体积是24立方米,它的长是6m,宽是2m,高是（ ）．
A．4 m B．2 m C．6 m
2．牙膏盒长15厘米，宽和高都是3厘米。现有一个长方体纸箱，从里面量的尺寸如图（单位：）。这个纸箱中最多能放（ ）盒牙膏。
A．4 B．3 C．2 D．6
3．下图（ ）中a和b互为倒数（a和b表示不同的数）。
A．三角形的面积为1 B．
C．长方形的面积为1 D．长方体的体积为1
4．底面积是4m 的正方体纸箱，最多能够装（ ）m 的物品。
A．24 B．8 C．6 D．1
5．一个长方体的底面是周长为20厘米的正方形，它的侧面展开图也正好是一个正方形，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。
A．400 B．200 C．125 D．500
二、填空题
6．体积是1m3的正方体，它的棱长是( )m，也可以看作棱长是( )dm的正方体，它的体积是( )dm3。
7．单位换算。
6.2立方分米＝( )立方厘米 0.05立方米＝( )立方分米
1.2升＝( )毫升 700立方分米＝( )立方米
8．将一个铁块完全浸入盛有水的容器中，水面高度会( )。（选填“上升”“下降”或“不变”）
9．一个正方体的棱长之和是60分米，正方体的体积是( )立方分米，把这个正方体平均分成两个大小相等的长方体，它们的体积和是( )立方分米，表面积和是( )平方分米。
10．一个长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、2cm，体积为( )cm3．
11．一个无盖的长方体铁桶，内外涂漆，涂漆的面有( )个．
12．填上合适的单位。
铅笔盒的体积是76( ) 一箱苹果的体积是48( )
一瓶矿泉水的容积500( ) 一桶油的容积5( )
13．长方体的长宽高分别为a、b、h厘米，高增加了2厘米，新的长方体表面积比原来增加了( )平方厘米，体积比原来增加了( )立方厘米。
14．要挖一个能蓄水3600m 的水塘，长为40m，宽为30m，水塘至少要挖( )米深。
三、判断题
15．棱长和相等的正方体与长方体的表面积不相等，但它们的体积相等。( )
16．求一个不规则物体的体积，把这个物体放到水里（完全浸没未溢出），求水上升的体积就可以了。( )
17．一个长方体长、宽、高，它的体积是。( )
18．如果一个正方体的棱长扩大（缩小）3倍，表面积扩大（缩小）9倍，体积扩大（缩小）27倍．( )
19．一种长方体的盒装牛奶，从包装盒的外面量，长，宽，高。它标注的“净含量”是230mL，可知“净含量”的标注是真实的。( )
20．一个底面积是5平方米，高1.5米的长方体的体积是7.5立方米。( )
四、解答题
21．向一个底面积4平方分米的长方体容器里倒入7升水，再放入一块石头，石头完全浸入水中后，量得这时的水深是18厘米，这块石头的体积是多少立方分米？
22．妈妈给小明买了一个生日蛋糕，蛋糕盒是一个长30cm，宽25cm，高15cm的长方体．将它用彩带捆扎，打结处需用20cm的彩带（如图），共需彩带多少厘米？
23．把一个体积为80立方厘米的铁块浸在底面积为20平方厘米的长方体容器中，此时水面高度为10厘米，如果把铁块捞出后，水面高多少厘米？
24．一个棱长是2分米的正方体玻璃水槽，向水槽中倒入5升的水，如果将一块石头完全浸没水中，这时量得水槽内水深15厘米。这块石头的体积是多少立方分米？
25．疫情还未结束，学校每周五放学后都对教室喷洒消毒液，一种长方体喷雾器从内部测量长5.2分米、宽3.5分米、高5分米。已知每分可喷洒消毒液1300毫升，把喷雾器装满，一共需要多长时间可以喷完？
26．把一根长为6.4米的铁条截成12段，焊成一个长方体的框架，再用铁皮包上各个面，要使做成的带盖的长方体铁箱，尽量能多装些棱长为1分米的盒子（铁架所占的空间不记），焊这个长方体铁箱至少需加多大面积的铁皮？
27．有一个长方体容器，从里面量长是50厘米，宽是25厘米，高是40厘米，水深为24厘米。现在将一块棱长为15cm的正方体铁块沉入水中，这时容器中的水深是多少厘米？
28．一个长方体水池，底面长12分米，宽6分米，如果要向这个池子里注入2分米高的水，需要多少升水？
29．做一个长方体的玻璃鱼缸（无盖），长8分米，宽4分米，高6分米。
（1）做这个鱼缸买玻璃花了704元，平均每平方分米玻璃几元钱？
（2）这个鱼缸最多能装水多少升？
30．一个长50米，宽25米，深2米的游泳池，在距离池底1.2米处画了一道水位线，向这个游泳池注入多少立方米的水，水面才能刚好到达水位线？
31．一种桃汁，大瓶装（1200mL）售价8元，小瓶装（400mL）售价3元。两家商店为了促销这种桃汁，分别推出优惠方案：
购买12升这种桃汁，要想省钱到哪个店购买？为什么？
参考答案：
1．B
2．B
【分析】首先求出沿长能放几个牙膏，20÷15＝1（个）……5（厘米），沿宽可以放：9÷3＝3（排），沿高能放3÷3＝1（层），然后根据乘法的意义用长，宽，高上的数量相乘即可求解。
【详解】20÷15＝1（个）……5（厘米）
9÷3＝3（排）
3÷3＝1（层）
1×3×1
＝3×1
＝3（盒）
故答案为：B。
【分析】本题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是明确：沿长，宽，高各放多少个。
3．C
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此分析解答。
【详解】A．a×b＝三角形的面积×2＝2；
B．a＋b＝1；
C．a×b＝长方形的面积＝1；
D．a×a×b＝长方体的体积＝1。
故答案为：C
【分析】明确倒数的定义是解答此题的关键。
4．B
【分析】求出正方体纸箱的体积也就是最多能够装多少m 物品，据此解答。
【详解】因为2×2＝4（m ），所以正方体纸箱的棱长为2m。
2×2×2
＝4×2
＝8（m ）
故答案为：B
【分析】考查了正方体体积的应用，计算出正方体的棱长是解题关键。
5．D
【分析】已知一个长方体，底面是一个周长为20厘米的正方形，侧面展开后是一个正方形，这说明长方体的高与底面周长相等，也是20厘米；先求出底面边长，再根据体积公式v＝sh，代入数据计算即可。
【详解】20÷4＝5（厘米）
5×5×20
＝25×20
＝500（立方厘米）
故选：D
【分析】此题主要考查长方体的体积计算，解答此题关键是理解侧面展开后是一个正方形，这说明长方体的高与底面周长相等。
6． 1 10 1000
【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长；1m＝10dm。
【详解】根据分析可知，体积是1m3的正方体，它的棱长是1m；
1m＝10dm；
10×10×10
＝100×10
＝1000（dm3）
【分析】此题主要考查学生对正方体体积公式的灵活应用。
7． 6200 50 1200 0.7
【分析】1立方分米＝1000立方厘米；1立方米＝1000立方分米；1升＝1000毫升；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。
【详解】6.2立方分米＝6200立方厘米
0.05立方米＝50立方分米
1.2升＝1200毫升
700立方分米＝0.7立方米
【分析】本题考查单位名数的互换，关键是熟记进率。
8．上升
【分析】当把一个铁块完全浸入盛有水的容器中，铁块也需要占有一定的空间，所以水面高度会上升。
【详解】由分析可知，将一个铁块完全浸入盛有水的容器中，水面高度会上升。
【分析】此题考查了不规则物体体积的测量方法。
9． 125 125 200
【分析】先根据正方体的棱长和公式得到正方体的棱长，再根据正方体的体积公式即可求解；由题意可知：将这个正方体分成2个大小相等的长方体，它们的体积和等于原正方体体积，利用正方体的体积公式即可求解；表面积和增加了2个面，利用正方形的面积公式即可求出增加部分的面积，再根据正方体的表面积公式即可求解。
【详解】60÷12＝5（分米）
5×5×5＝125（立方分米）
5×5×（6＋2）
＝25×8
＝200（平方分米）
故答案为：125，125，200。
【分析】此题主要考查正方体的体积和表面积的计算方法，关键是明白：将这个正方体分成2个相等的长方体后，增加了2个面。
10．40
11．10
【详解】试题分析：根据长方体的特征，长方体有6个面，由于铁桶无盖缺少上面，因此铁桶是由5个面组成的，因此解决问题．
解：由于铁桶无盖缺少上面，因此铁桶是由5个面组成的，已知内外涂漆，涂漆的面有10个．
故答案为10．
分析：此题主要根据长方体的面的特征解决问题，明确铁桶无盖是由5个面组成的．
12． 立方厘米/cm3 立方分米/dm3 毫升/mL 升/L
【分析】根据体积单位、容积单位和数据大小的认识，结合生活实际，进行解答。
【详解】铅笔盒的体积是76立方厘米
一箱苹果的体积是48立方分米
一瓶矿泉水的容积是500毫升
一桶油的容积5升
【分析】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。
13． 4（a＋b） 2ab
【分析】因为长方体的底面大小不变（长、宽不变），高增加2米，新的长方体表面积增加的部分是高为2米的新长方体4个侧面的面积；新的长方体体积比原来增加的体积，即为同样底面积、高为2米的长方体的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”可求得新长方体体积比原来增加的体积，依此解答即可。
【详解】表面积增加：（2a＋2b）×2＝4（a＋b）（平方米）；
新长方体体积增加：a×b×2＝2ab（立方米）。
【分析】解答此题还可以先根据长方体的表面积计算方法，求出后来长方体的表面积和原来长方体的表面积，然后用后来长方体的表面积减去原来的长方体的表面积；根据长方体的体积计算方法，求出后来长方体的体积和原来长方体的体积，然后用后来长方体的体积减去原来的长方体的体积。
14．3米
【分析】由题意知：水塘的长和宽已知，用长乘宽，可得底面积，再用水塘的容积除以底面积，即可求得水塘的深。据此解答。
【详解】3600÷（40×30）
＝3600÷1200
＝3（米）
【分析】利用长方体体积公式的推导公式：即长方体的高（本题指水深）等于长方体的体积除以底面积进行计算是解答本题的关键。
15．×
16．√
【分析】当物体完全浸入水中时，物体在水中所占体积就是水上升的体积。
【详解】求一个不规则物体的体积，把这个物体放到水里（完全浸没未溢出），求水上升的体积就可以了。原题说法正确。
【分析】此题考查不规则物体体积的测量方法，注意前提条件必须是完全浸没水中。
17．×
【分析】长方体体积＝长×宽×高，代数解答即可。
【详解】5cm＝0.5dm
8×4×0.5
＝32×0.5
＝16（dm3）
故答案为：×
【分析】此题的关键是注意单位的统一。
18．√
19．√
【分析】根据长方体体积公式求出包装盒的体积，再与230毫升比较，从而判断真伪。
【详解】5×4×12＝240（cm3）＝240（mL）＞230mL。
故答案为：√
【分析】此题考查运用长方体体积知识解决实际问题，对于一个容器来说，它的体积一定大于它的容积。
20．√
21．0.2立方分米
【分析】由题意得上升水的体积等于石头的体积。根据长方体体积＝底面积×高，求出最后水的体积，再减去最初的水体积就可求出石头的体积。
【详解】18厘米＝1.8分米
4×1.8＝7.2（立方分米）
7升＝7立方分米
7.2－7＝0.2（立方分米）
答：这块石头的体积是0.2立方分米。
【分析】熟知长方体体积＝底面积×高是解题的关键，注意单位换算成最后答案需要的单位。
22．190厘米
【详解】试题分析：根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于2条长棱，2条宽棱，4条高棱，再加打结处用的20厘米．由此列式解答．
解：30×2+25×2+15×4+20，
=60+50+60+20，
=190（厘米）；
答：共需要190厘米彩带．
分析：此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和．
23．6厘米
【详解】20×10＝200（立方厘米）
200－80＝120（立方厘米）
120÷20＝6（厘米）
答：水面高6厘米。
24．1立方分米
【分析】首先根据长方体的体积公式：V＝abh，求出5升水和石块一共的体积，然后减去5升水的体积就是石块的体积。
【详解】5升＝5立方分米
15厘米＝1.5分米
2×2×1.5－5
＝4×1.5－5
＝6－5
＝1（立方分米）
答：这块石头的体积是1立方分米。
【分析】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的计算方法及应用，以及长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
25．70分
【分析】先算出长方体喷雾器里的消毒液有多少升，即求长方体喷雾器的容积，用长×宽×高，即5.2×3.5×5，因为1立方分米＝1升＝1000毫升，所以用5.2×3.5×5×1000，即可算出消毒液有多少毫升，最后用得到的结果除以1300即可得解。
【详解】由分析可知：
5.2×3.5×5×1000÷1300
＝18.2×5×1000÷1300
＝91000÷1300
＝70（分）
答：把喷雾器装满，一共需要70分钟可以喷完。
【分析】本题考查长方体容积的求法，容积单位的换算，注意：容积的求法与体积一样。
26．170平方分米
【分析】由于长方体有12条棱，这12条棱分3组，每组长度相等，用6.4米除以4就是这个长方体长、宽、高之和．当长、宽、高差最小时，铁皮箱的容积最大。在确定了长、宽、高之后，根据长方体表面积计算公式“S＝2（ah＋bh＋ab）”即可计算所需要铁皮的面积。
【详解】6.4÷4＝1.6（米）＝16分米
当箱子长、宽、高分别是5分米、5分米、6分米时，铁皮箱容积最大，此时铁箱的表面积为：
（5×6＋5×6＋5×5）×2
＝（30＋30＋25）×2
＝85×2
＝170（平方分米）
答：焊这个长方体铁箱至少需加170平方分米的铁皮。
27．26.7厘米
【分析】根据题意可知，容器水面上升部分的体积等于正方体铁块的体积，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体的体积；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷（长×宽），代入数据，求出水面上升的高度，再加上原来的深度，即可解答。
【详解】15×15×15÷（50×25）＋24
＝225×15÷1250＋24
＝3375÷1250＋24
＝2.7＋24
＝26.7（厘米）
答：这时容器中的水深是26.7厘米。
【分析】熟练掌握和灵活运用长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键。
28．144升
【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】12×6×2
＝72×2
＝144（立方分米）
144立方分米＝144升
答：需要144升水。
【分析】本题考查长方体体积公式的应用，熟记公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。
29．（1）4元；（2）192升
【分析】（1）玻璃的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，再用买玻璃花的价格除以玻璃的面积即可。
（2）装水的体积就是长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。
【详解】（1）（8×6＋4×6）×2＋8×4
＝（48＋24）×2＋32
＝144＋32
＝176（平方分米）
704÷176＝4（元）
答：平均每平方分米玻璃4元钱。
（2）8×4×6
＝32×6
＝192（立方分米）
＝192（升）
答：这个鱼缸最多能装水192升。
【分析】此题考查了长方体表面积、体积的实际应用，掌握其计算公式，灵活运用即可。
30．1500立方米
【分析】向这个游泳池注入多少立方米的水，水面才能刚好到达水位线，也就是求长50米，宽25米，高1.2米，这个长方体的容积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】50×25×1.2
＝1250×1.2
＝1500（立方米）
答：向这个游泳池注入1500立方米的水，水面才能刚好到达水位线。
【分析】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
31．甲店，见详解
【分析】本题可根据要购买的桃汁的瓶数及每个商店的优惠方案分别计算在各个商店购买桃汁需要的钱数，然后选择花钱最少的一家去购买。
【详解】8÷1200≈0.0067元/ml，3÷400＝0.0075元/ml，
所以购买大盒较合算。
12L＝12000mL，
甲店：12000÷1200＝10盒，即先购买7大盒，可获送7小盒，
又知1200÷400＝3（小盒），
故6盒相当于2大盒，还多1小盒，
这时是9大盒，1小盒，再买2小盒即可，
需花8×7＋3×2＝62元；
乙店购买需花：8×10×90%＝72（元）；
丙店需花：8×10×85%＝68（元）；
62元＜68元＜72元，
所以去甲店最省钱。
【分析】根据购买的数量及三家商店不同的优惠方案分别进行计算是完成本题的关键。

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