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第二单元比例（单元复习讲义）
（知识梳理+精讲例题+专项练习）
1、表示两个比相等的式子叫做比例。
如：3：4=9：12 。
2、比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。
在3：4=9：12中，其中3与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的内项。比例的四个数均不能为0。
3、比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。
4、比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离÷实际距=离比例尺
图上距离=实际距离×比例尺
实际距离=图上距离÷比例尺
5、比例尺的分类：
比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺（比例尺1）。
根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。
6、图形的放缩：一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。
【例题一】一个比例中，两外项的积是6，一个内项是0.75，另一个内项是（ ）。
A．8 B．6 C．
【分析】根据比例的性质，两个内项的积等于两个外项的积，两个外项积是6，就说明两个内项的积也是6，再根据一个内项是0.75，求出另一个内项的数值即可。
【详解】根据分析可得：
另一个内项：6÷0.75＝8
故选：A。
【分析】此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积。
【例题二】
小红家到学校的实际距离是1050m，图上距离是（ ） cm，这幅示意图的比例尺是（ ）。
（2）商店在小红家（ ）方向，距离小红家（ ）m。
（3）图书馆在小红家正西方向，实际距离为1400m的地方，请在图中用“△”标出图书馆的位置。
【分析】（1）比例尺等于图上距离与实际距离的比。
（2）按照上北下南左西右东，写出方位，图上距离是2cm，再按照比例尺计算出实际距离。
（3）图书馆在小红家正西方向，也就是小红家的左边，实际距离为1400m，再按照比例尺计算出图上距离。
【详解】（1）小红家到学校的图上距离是3cm。
1050m＝105000cm
比例尺为：3∶105000＝1∶35000
（2）商店在小红家东北方向。
实际距离：2×35000＝70000cm＝700m
（3）1400m＝140000cm
140000÷35000＝4cm
【分析】本题考查比例尺的应用，注意图上距离和实际距离的单位要一致。
【例题三】把一个长方形养鱼池按1∶200的比例尺画在图纸上，长是4 dm，宽是3 dm．这个养鱼池的实际占地面积是多少平方米？
【详解】4×200＝800(dm) 800 dm＝80 m
3×200＝600(dm) 600 dm＝60 m
80×60＝4800(m2)
答：这个养鱼池的实际占地面积是4800 m2．
一、选择题
1．观察图，（ ）的面积∶（ ）的面积＝a∶b。
A．上面；左面 B．前面；左面 C．左面；左面 D．后面；左面
2．用5毫升的蜂蜜兑100毫升水调制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，为了使蜂蜜水的甜度不变，需要加入的水可以是（ ）。
A．10毫升 B．200毫升 C．原来的3倍 D．原来的4倍
3．甲车和乙车分别从A、B两站同时相向开出，6小时后相遇．相遇后，两车仍按原速度前进，当它们相距m千米时，甲车行了全程的60%，乙车行了全程的80%．则甲车行完全程需要（　　）小时．
A．10.5 B．π C．m D．14
4．图上2厘米代表实际距离60千米，甲、乙两地相距120千米，画在这幅图上，应画（ ）厘米．
A．4 B．6 C．8 D．10
5．在比例尺是1∶10的图纸上，甲、乙两个圆的直径比是2∶3，那么甲、乙两个圆实际的直径比是（ ）
A．1∶10 B．4∶9 C．2∶3 D．无法确定
二、填空题
6．一幅地图的比例尺是，在这幅地图上量得甲、乙两地间的公路长12厘米，一辆汽车上午10时以80千米／时的平均速度从甲地出发，如果中途不休息，下午( )时可以到达乙地。
7．一幅图上，用4cm表示实际距离40km，这幅图的比例尺是( )。
8．一个减法算式，被减数、减数、差三数的和是60，减数与差的比是3∶2，被减数是( )，差是( )。
9．2021年是中国共产党成立100周年，小明打算国庆节和父母一起到北京。他在一幅比例尺为1∶20000000的地图上量得成都到北京的距离约为9厘米，成都到北京的实际距离大约是( )千米。
10．一种零件长6毫米，把它画在比例尺是10∶1的图纸上，应画( )厘米。
11．学校要修建一个长方体水池，在比例尺是1∶200的设计图上，水池的长为12cm、宽为10cm、深为2cm。这个水池的占地面积是( )平方米。
12．工程师在图纸上绘制一种精密零件。零件长4毫米，在图纸上长3.2厘米，这个零件宽2.8毫米，在图纸上宽为( )厘米。
13．如果将一个3cm，宽2cm的长方形放大按2:1的比例尺做图．图上长方形的长是( )cm，宽是( )cm,面积是( ) ．
14．在一幅中国地图上，用5厘米的线段表示实际距离75千米，这幅地图的比例尺是( )。在这幅地图上量得小刚的家乡到北京的距离是8厘米，小刚的家乡到北京的实际距离是( )千米。
三、判断题
15．由2.5×4＝5×2可以写出比例2.5∶2＝4∶5。( )
16．正方形的边长按1∶2的比缩小，那么它的周长和面积也按1∶2的比缩小。( )
17．一种昆虫的实际长度是4mm，用4∶1的比例尺把它画在图纸上，应画1mm。( )
18．小圆周长与半径的比和大圆周长与半径的比不可以组成比例。( )
19．一个机器零件长4毫米，画在图纸上长8厘米，这幅图的比例尺是2∶1。( )
四、作图题
20．根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。
（1）文化宫在博物馆的北偏西50°方向1千米处。
（2）体育场在博物馆的南偏东45°方向1500米处。
五、解答题
21．下面是校园中一小片正方形空地的示意图。学校打算利用这小片空地开发出一个尽可能大的圆形种植园，圆形种植园外的部分种植凤尾竹。
①完成种植园示意图，并在图上标清比例尺。
②计算出种植凤尾竹的面积。
22．一艘战舰的模型，是按照与真实战舰1：50的比制作的，这艘战舰的模型长850 mm，求真实战舰长多少米。
23．你知道吗？儿童体内水分和体重的比约是7∶10，淘气的体重为45千克，他体内的水分大约是多少千克？（用比例的方法解答）
24．一辆客车和一辆货车同时从相距600千米的甲、乙两地相对开出，4时后相遇。已知客车和货车的速度比是3∶2，客车和货车的速度分别是多少？
25．调制两杯甜度一样的糖水，第一杯用了25克糖和200克的水，第二杯水重300克，第二杯应加糖多少克？
26．把一个长3cm，宽1cm的长方形按4：1扩大后的图形的周长和面积各发生什么变化？
27．北京到广州的实际距离大约是1920 km，在一幅地图上量得这两地间的距离是40 cm。这幅地图的比例尺是多少？
28．下面B、C、D中哪个图是由图A按照2∶1放大得到的？请你找一找，并说明理由。
29．一种微量元素营养液，是用1：1500的比例配制的，现有540千克的纯净水，要配制这样的营养液，需要微量元素多少千克？
参考答案：
1．A
【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式，计算出上面、左右、前面、后面的面积，然后进行计算即可。
【详解】前面的面积＝后面的面积＝a×b＝ab；
左面的面积＝b×c＝bc；
上面的面积＝a×c＝ac；
前面的面积∶左面的面积为
ab∶bc
＝（ab÷b）∶（bc÷b）
＝ a∶c
上面的面积∶左面的面积为
ac∶bc
＝（ac÷c）∶（bc÷c）
＝ a∶b
观察图，上面的面积∶左面的面积＝a∶b。
故答案为：A
【分析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方形面积公式的灵活运用。
2．B
【分析】根据蜂蜜水的甜度不变，即蜂蜜与水的比值一定，据此列比例解答即可。
【详解】解：设需要加入x毫升水。
5∶100＝10∶x
5x＝100×10
5x＝1000
x＝200
故答案为：B
【分析】本题主要考查比例的实际应用，答题的关键是明确蜂蜜水的浓度不变，也就是蜂蜜与水的比值一定。
3．D
【解析】把全程看作是单位“1”，求出m千米对应的分率，要用60%+80%﹣1＝，所以全程为m÷=；根据甲车行了全程的60%，乙车行了全程的80%可以求出两车的速度比为60%：80%＝3：4，根据全程为，相遇时间为6小时，可以求出两车的速度和，结合按比例分配问题可以求出甲车的速度，再利用时间＝路程除以速度可求出甲车行驶全程需要的时间。
【详解】60%+80%﹣1＝，
m÷＝（千米），
甲乙两车的速度比为60%：80%＝3：4，
甲乙两车的速度和：÷6＝（千米/小时），
甲车的速度：×=（千米/小时），
甲车的时间：÷=14（小时）
故选：D。
【分析】本题考查行程问题，需要熟练掌握速度、路程和时间三者之间的关系。
4．A
【详解】60÷2=30（千米），120÷30=4(厘米)
所以选择A．
5．C
【分析】根据比例尺的意义，令甲乙两圆的图上直径为2d，3d，根据比例尺可得实际圆的直径分别是20d，30d，由此利用比例尺进行计算，即可选择正确答案。
【详解】令甲乙两圆的图上直径为2d，3d；
根据比例尺可得实际甲乙两圆的直径分别是20d，30d；
20d∶30d＝2∶3
故答案为：C
【分析】此题考查了利用比例尺解决实际问题的方法。
6．4
【分析】根据实际距离、图上距离和比例尺的关系，计算出甲、乙两地的实际距离，再根据时间＝距离÷速度，代入数据，求出到达乙地的时间，即可解答。
【详解】40×12÷80
＝480÷60
＝6（时）
上午10时＝10时
10时＋6时＝16时
16时＝下午4时
【分析】本题考查比例尺的应用，以及时间、速度和距离三者的关系，注意普通计时法和24时计时法的换算。
7．1∶1000000
【分析】图上距离÷实际距离＝比例尺，据此解答。需要先统一单位再解答。
【详解】40千米＝4000000厘米
4∶4000000＝1∶1000000
【分析】根据比例尺的意义即可解答。
8． 30 12
【分析】被减数=减数+差，所以60是被减数的2倍，用60÷2=30即是被减数，减数+差=30，再按照3∶2求出差即可。
【详解】被减数：60÷2=30
30÷（3+2）=6，6×2=12，即差是12。
故答案为：30 12
【分析】此题重点考查已知两数的和以及两数的比，进而求出这两个数。
9．1800
【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用9÷即可求出9厘米的实际距离，再把单位换算成千米。
【详解】9÷
＝9×20000000
＝180000000（厘米）
180000000厘米＝1800千米
成都到北京的实际距离大约是1800千米。
10．6
【分析】图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据，即可解答。
【详解】6毫米＝0.6厘米
0.6×＝6（厘米）
一种零件长6毫米，把它画在比例尺是10∶1的图纸上，应画6厘米。
【分析】本题考查图上距离和实际距离的换算，注意单位名数的统一。
11．480
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出这个游泳池的长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式S＝ab，即可求出其占地面积。
【详解】12÷＝2400（厘米）
2400厘米＝24米
10÷＝200（厘米）
2000厘米＝20米
24×20＝480（平方米）
【分析】解答此题的关键是：利用图上距离、实际距离和比例尺的关系，先求出这个水池的长和宽的实际值，进而求其面积。
12．2.24
【分析】结合零件的实际长度、图上长度，求得这幅图纸的比例尺；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，来求得在图纸上宽应画为几厘米。
【详解】3.2厘米＝32毫米
32∶4＝8∶1
2.8×8＝22.4（毫米）＝2.24（厘米）
【分析】本题的计算围绕图上距离、实际距离以及比例尺展开，不仅要熟悉其中转换的规律，还要注意单位的换算。
13． 6 4 24
【详解】根据比例尺=图上距离：实际距离．假设长方形零件的图上距离为x,可列出方程x:3=2:1,解得长方形的长为6cm．同样的方法可计算出宽是4cm ．则再根据面积公式计算出面积是24平方厘米．
14． 1∶1500000 120
【分析】（1）根据比例尺的含义，图上距离∶实际距离＝比例尺，解答即可。
（2）要求小刚的家乡到北京的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计算即可。
【详解】（1）75千米＝7500000厘米
5∶7500000＝1∶1500000
（2）8÷＝12000000（厘米）
12000000厘米＝120千米
【分析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。
15．×
【分析】根据比例的性质，两内项积等于两外项积，转化成比例即可。
【详解】因为2.5×4＝5×2，如果2.5是外项，则4也是外项，5和2是内项，则组成的比例是2.5∶5＝2∶4或2.5∶2＝5∶4，原题说法错误。
故答案为：×
【分析】此题考查了比例的基本性质，要学会灵活运用。
16．×
【分析】如果一个正方形的边长按1∶2的比缩小，可以假设原来边长为a，则缩小后的边长为a，利用正方形面积公式：正方形面积＝边长×边长，正方形周长公式：正方形周长＝4×边长，将数值代入公式即可。
【详解】由分析可得：
假设正方形原来边长为a，则缩小后的边长为a，
原来的周长为：4×a＝4a，缩小后的周长为：4×a＝2a，
4a÷2a＝2，则周长按1∶2的比缩小；
原来的面积为：a×a＝a2，缩小后的面积为：a×a＝a2
a2÷a2＝4，则面积按1∶4的比缩小；
故答案为：×
【分析】本题考查了图形的放大和缩小，需要熟练掌握正方形的特征以及其周长和面积公式。
17．×
【分析】这道题是已知比例尺、实际距离，求图上距离，根据图上距离＝实际距离×比例尺，解答即可。
【详解】4×＝16（mm）
故答案为：×。
【分析】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。
18．×
【详解】略
19．×
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，把数代入并化简即可（要注意先统一单位）。
【详解】8厘米＝80毫米
比例尺＝80毫米∶4毫米＝20∶1
故答案为：×。
【分析】本题主要考查比例尺的意义，熟练掌握比例尺的意义并灵活运用。
20．（1）（2）见详解
【分析】（1）根据图上距离＝实际距离÷比例尺，求出博物馆到文化宫的图上距离；再根据地图上方向规定：上北下南，左西右东，以博物馆为观测点，确定文化宫的位置；
（2）求出博物馆到体育场的图上距离，再以博物馆为观测点，确定体育场的位置。
【详解】（1）1千米＝1000米
1000÷500＝2（厘米）
见下图；
（2）1500÷500＝3（厘米）
见下图；
【分析】本题考查根据方向、角度和距离确定物体位置以及图上距离与实际距离之间的换算。
21．①见详解；②344平方米。
【分析】①首先求出这幅图的比例尺，实际距离已知，量出图上距离，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”即可求出这幅图的比例尺。正方形内最大的圆的直径等于正方形边长，以正方形对角线的交点O为圆心，以正方形边长的为半径即可画出种植园示意图，并标上比例尺。
②种植凤尾竹的面积等于边长为10米的正方形面积减半径为米的圆面积。根据正方形面积计算公式、圆计算公式即可解答。
【详解】①量得图中正方形的边长是5厘米
40米＝4000厘米
5厘米∶4000厘米＝1∶800
完成种植园示意图，并在图上标清比例尺（下图）：
②402﹣3.14×（）2
＝402﹣3.14×202
＝1600﹣3.14×400
＝1600﹣1256
＝344（平方米）
答：种植凤尾竹的面积是344平方米。
【分析】此题考查的知识有：比例尺的意义及求法、正方形面积的计算、圆面积的计算等。
22．42.5 m
【详解】850÷=42500(mm)=42.5(m)
答：真实战舰长42.5 m。
23．31.5千克
【分析】已知儿童体内水分和体重的比约是7∶10，设淘气体内的水分大约是x千克，列出比例式7∶10＝x∶45，由此解比例即可。
【详解】解：设淘气体内的水分大约是x千克。
7∶10＝x∶45
10x＝7×45
10x＝315
x＝31.5
答：他体内的水分大约是31.5千克。
【分析】儿童体内水分和体重的比值是一定的，根据比例的意义即可列出比例。
24．客车：90千米/时；货车：60千米/时
【分析】根据速度＝距离÷时间，用600÷4，求出客车和货车的速度和，再根据按比例分配，用客车和货车的速度和×，求出客车速度；再用客车和货车速度和×，求出货车速度，即可解答。
【详解】600÷4＝150（千米）
150×
＝150×
＝90（千米/时）
150×
＝150×
＝60（千米/时）
答：客车的速度90千米/时；货车的速度是60千米/时。
【分析】本题考查速度、时间和距离三者关系，以及按比例分配问题。
25．37.5克
【分析】两杯甜度一样的糖水，糖和水的质量比相等，据此设第二杯应加糖x克，列出比例：，根据比例的基本性质解出比例即可。
【详解】解：设第二杯应加糖x克。
200x＝25×300
200x＝7500
x＝37.5
答：第二杯应加糖37.5克。
【分析】本题考查比例的应用。明确糖和水的质量比相等，根据比例的意义列出方程是解题的关键。
26．周长扩大4倍 ，面积扩大16倍。
【解析】略
27．1：4800000
【详解】4.1920 km=192000000 cm
40:192000000=1:4800000
答：这幅地图的比例尺是1：4800000。
28．D图；因为该图长和宽都是图A的2倍。
【分析】通过对图A的观察，该图是一个长方形，长为3格，宽为2格，按照2∶1放大，即把该长方形的长和宽分别乘2，求出放大后的图片的长和宽的格子数量，对比选项即可。
【详解】由分析可得：
3×2＝6（格）
2×2＝4（格）
放大后的图片也是长方形，长为6格，宽为4格，所以是D。
答：D图是由图A按照2∶1放大得到的；理由：因为该图长和宽都是图A的2倍。
【分析】本题考查了比的意义，按照2∶1放大也就是扩大到原来图片的2倍。
29．0.36千克
【分析】营养液是按照1：1500的比例配制的，其中水已经有540千克，再除以营养的比例就可以求出微量元素的质量。
【详解】540× = 0.36（千克）
答：需要微量元素0.36千克。
【分析】本题主要查考比例在实际应用题中的运用。注意本题中的1：1500的比中前项代表微量元素的质量，后项代表水的质量。

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