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专题4 三角形的内角和
1、三角形的内角和是180°。
2、三角形内角和的应用：在一个三角形中，已知两个角的度数，可以根据“三角形的内角和是180°”求出第三个角的度数。
3、四边形的内角和是360°。
4、多边形的内角和=(边数-2)×180°。
考点一：三角形的内角和
方法总结：1、运用剪、拼的方法将三角形的3个内角拼在一起时,注意每个内角一定要先标上记号,按顺序拼在一起,不能用错了角。
2、三角形的内角和与三角形的形状、大小无关，任意一个三角形的内角和都是180°。
3、已知直角三角形中一个锐角的度数,求另一个锐角的度数,可直接用90°减去这个锐角的度数。
4、我们还可以运用转化法求出五边形、六边形的内角和,从五边形、六边形的一个顶点出发,把它们分成若干个三角形,用三角形的内角和180°乘以三角形的个数即可。
5、多边形所分成的三角形的个数总比多边形的边数少2。
【例一】小兔家的屋顶是一个等腰三角形（如图），请你算出顶角的度数。
【分析】用180°减去两个底角的度数，就可求出顶角的度数。
【详解】180°―30°―30°
＝150°―30°
＝120°
【分析】考查学生对三角形内角和和等腰三角形特征的掌握。
【例二】下图是等腰三角形，已知∠2＝40°，求∠1的度数。
【分析】一个等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°，用180°减去2个40°就是顶角的度数，即∠1的度数。
【详解】∠1＝180°－40°×2
＝180°－80°
＝100°
【专题专练一】算一算．
已知∠1=30°，∠2=60°，∠3=45°，求∠4，∠5，∠6．
【详解】∠4=180°－30°－45°=105°
∠5=180°－105°=75°
∠6=180°－60°－75°=45°
【专题专练二】计算角的度数。
（1）（2）
【分析】（1）用180°减去两个已知角的度数即为所求角的度数。
（2）用180°－65°－40°求得最大三角形另一个角的度数，再减去30°即为所求角的度数。
【详解】（1）180°－25°－27°
＝155°－27°
＝128°
（2）180°－65°－40°－30°
＝115°－40°－30°
＝75°－30°
＝45°
【分析】本题主要考查学生对三角形内角和知识的掌握及灵活运用。
一、计算题
1．求出下列三角形中打？角的度数。
2．求下面各个三角形中∠A的度数。
3．下面被小兔子遮住的角各是多少度？
4．求出下图中∠1的度数。
5．算出下面各个未知角的度数。
6．求下图中∠1的度数。
7．求下面各角的度数。
（1） （2）
8．求下列图形中∠1，∠2，∠3度数。
（1）（2）
9．求角的度数。
10．求下列图形中，，度数。（写出简要计算过程）
（1） （2）
11．求和的度数。
12．已知∠1＝30°，∠2＝86°，∠3＝90°，求∠4的度数。
13．求、的度数。
14．算出每个三角形中未知角的度数。
15．如图，已知∠1＝127°，求∠2和∠3的度数。
16．算出下面和的度数。
17．计算下面各未知角的度数。
（1） （2）（3）
18．求∠A的度数。
（1）（2）（3）
19．如图，∠1＝38°，∠2＝41°，∠3 ＝？
20．求∠1的度数。
参考答案
1．135°；60°
【分析】根据三角形的内角和等于180°进行计算即可。
【详解】图一：
180°－25°－20°
＝155°－20°
＝135°
图二：
180°－90°－30°
＝90°－30°
＝60°
2．30°；25°
【分析】三角形的内角和是180°。左边三角形中∠B是直角，∠B＝90°，用180°－90°－60°即可求出∠A的度数；右边三角形中，用180°－135°－20°即可求出∠A的度数。
【详解】∠A＝180°－90°－60°
＝90°－60°
＝30°
∠A＝180°－135°－20°
＝45°－20°
＝25°
3．（1）40°（2）40°（3）35°
【分析】根据三角形内角和等于180度，已知两个角的度数，用180度减去两个角的度数，即是第三个角的度数，由此解答。
【详解】（1）180°－60°－80°
＝120°－80°
＝40°
（2）180°－115°－25°
＝65°－25°
＝40°
（3）180°－90°－55°
＝90°－55°
＝35°
4．158°
【分析】观察图形，四边形有4个内角，其中有一个直角标志，说明这个角是90°，也就是题目中有3个角的度数都是已知的。利用多边形内角和公式求出这个四边形的内角和，然后用减法即可求出第四个角∠1的度数，据此解答。
【详解】如下图，把四边形分成两个三角形，则四边形的内角和就是两个三角形内角和相加，所以四边形的内角和是：
180°×2＝360°
则∠1的度数是：
360°－（90°＋40°＋72°）
＝360°－202°
＝158°
5．69°；120°
【分析】（1）三角形的一个角与一个134°的角组成平角，据此即可求出三角形这个角的度数，然后再根据三角形内角和定理即可求出这个三角形另外一个角的度数。
（2）根据多边形内角和定理可知，四边形的内角和是360°，用内角和度数减掉已知三个角的度数，就是第四个角的度数。
【详解】180°－134°＝46°
180°－46°－65°
＝134°－65°
＝69°
360°－104°－46°－90°
＝256°－46°－90°
＝210°－90°
＝120°
6．24°
【分析】54°与∠2构成一个平角，一个平角为180°，因此先用180°减去54°计算出∠2的度数，然后用180°分别减去∠2的度数和30°即可。
【详解】180°－54°＝126°
180°－126°－30°
＝54°－30°
＝24°
7．（1）∠1＝45°；∠2＝100°；（2）∠1＝36°
【分析】一个平角＝180°，三角形的内角和是180°，一个直角是90°，此题依此进行计算即可。
【详解】（1）∠2＝180°－80°＝100°
∠1＝180°－35°－100°
＝145°－100°
＝45°
答：∠1＝45°，∠2＝100°
（2）∠1＝180°－90°－54°
＝90°－54°
＝36°
答：∠1＝36°
【分析】熟练掌握三角形的内角和是解答本题的关键。
8．（1）∠1＝55°
（2）∠2＝50°；∠3＝80°
【分析】（1）根据直角三角形两锐角之和等于90°，用90°减去已知的锐角度数，据此解答即可；
（2）根据100°和∠3的度数之和是一个平角，先求出∠3的度数，再根据三角形的内角和等于180°，用180°减去已知的两个角求出∠2的度数，解答即可。
【详解】（1）∠1＝90°－35°＝55°
（2）∠3＝180°－100°＝80°
∠2＝180°－50°－80°＝50°
9．108°
【分析】图中梯形是两个三角形组成的，根据三角形内角和可求出梯形的内角和；已知梯形的两个角是直角，一个是40°，还有一个角是32°与未知角的和；用梯形是内角和减去已知角的度数即可解题。
【详解】梯形内角和：180°×2＝360°
未知角的度数：360°－90°－90°－40°－32°
＝270°－90°－40°－32°
＝180°－40°－32°
＝140°－32°
＝108°
10．（1）∠1＝55°；计算过程见详解
（2）∠3＝80°；∠2＝50°；计算过程见详解
【分析】（1）三角形的内角和是180°，让180°减去90°再减去35°即可解答∠1。
（2）∠3和100°角组成一个平角是180°，让180°减去100°等于∠3，再根据三角形的内角和是180°，让180°减去50°再减去∠3即可解答∠2。
【详解】（1）180°－90°－35°
＝90°－35°
＝55°
∠1＝55°
（2）180°－100°＝80°
∠3＝80°
180°－50°－80°
＝130°－80°
＝50°
∠2＝50°
11．∠1＝40°；∠2＝45°
【分析】如图，∠2和75°的角、60°的角是三角形的三个内角，三角形的内角和是180°，用180°减去75°再减去60°即是∠2的度数；∠3和60°的角拼成平角，平角＝180°，用180°减去60°即可算出∠3度数，∠1、∠3和20°的角是三角形三个内角，三角形的内角和是180°，用180°减去∠3度数再减去20°即是∠1的度数。
【详解】∠2＝180°－75°－60°
＝105°－60°
＝45°
180°－60°＝120°
∠1＝180°－120°－20°
＝60°－20°
＝40°
12．26°
【分析】根据三角形内角和180°以及平角180°，求出∠4的度数。
【详解】180°－90°－（180°－30°－86°）
＝180°－90°－（150°－86°）
＝180°－90°－64°
＝90°－64°
＝26°
答：∠4的度数是26°。
13．∠1＝20°；∠2＝145°
【分析】如图：
∠2与35°的角组成平角，平角＝180°，180°减去35°即是∠2的度数；165°的角与∠3也组成平角，180°减去165°即是∠3的度数；三角形内角和是180°，用180°减去∠3和∠2的度数即可求出∠1的度数。
【详解】∠2＝180°－35°
＝145°
∠3＝180°－165°
＝15°
∠1＝180°－∠2－∠3
＝180°－145°－15°
＝35°－15°
＝20°
14．55°；110°；75°
【分析】根据三角形的内角和为180°，用三角形的内角和依次减去已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数。
【详解】180°－90°－35°＝55°
180°－42°－28°＝110°
180°－65°－40°＝75°
则未知角的度数依次是55°、110°、75°。
15．∠2＝37°；∠3＝53°
【分析】如下图，∠4等于180°减∠1，∠2和∠4是直角三角形中的两个锐角，所以∠2等于90°减∠4，∠3和∠2也是直角三角形的两个锐角，所以∠3等于90°减∠2，据此即可解答。
【详解】∠4＝180°－127°＝53°
∠2＝90°－∠4
＝90°－53°
＝37°
∠3＝90°－∠2
＝90°－37°
＝53°
16．∠A＝42°；∠D＝115°
【分析】（1）∠ACB等于180°减80°，∠A等于180°减去∠B和∠ACB，据此即可解答；
（2）四边形内角和等于360°，用360°减90°，再减∠A和∠C，即等于∠D的度数，据此即可解答。
【详解】（1）∠ACB＝180°－80°＝100°
∠A＝180°－∠B－∠ACB
＝180°－38°－100°
＝142°－100°
＝42°
（2）∠D ＝360°－90°－∠A－∠C
＝270°－40°－115°
＝230°－115°
＝115°
17．（1）96°；（2）25°；（3）34°
【分析】三角形的内角和是180°，直角三角形中有一个角是直角等于90°，用180°减去三角形中已知两个角的度数，即可求出第三个角的度数。据此列式解答。
【详解】（1）180°－35°－49°
＝145°－49°
＝96°
（2）180°－90°－65°
＝90°－65°
＝25°
（3）180°－101°－45°
＝79°－45°
＝34°
18．（1）22°
（2）38°
（3）95°
【分析】根据三角形的内角和是180°：（1）∠A＝180°－130°－28°。（2）∠A＝180°－52°－90°。（3）180°－135°＝45°，∠A＝180°－45°－40°。
【详解】（1）∠A＝180°－130°－28°＝22°
（2）∠A＝180°－52°－90°＝38°
（3）180°－135°＝55°，∠A＝180°－45°－40°＝95°
19．79°
【分析】利用三角形内角和及图形中平角即可解决问题。
【详解】180°－38°－41°＝101°
180°－101°＝79°
答：∠3等于79°。
【分析】本题主要考查学生的观察和分析问题的能力。
20．71°
【分析】根据题意可知：∠2＋130°＝180°，因此∠2＝180°－130°；
三角形的内角和为180°，因此∠1＝180°－∠2－59°；依此计算。
【详解】∠2＝180°－130°＝50°
180°－50°－59°
＝130°－59°
＝71°

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