资源简介

第五单元 数学广角——鸽巢问题
【知识点归纳】
鸽巢原理又称为抽屉原则：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体．
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体．
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时．
②k个物体：当n能被m整除时．
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数．
例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2；
关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算．
1．一个水缸里有四种花色的金鱼，每种花色10条，从中任意捉鱼，至少捉多少条鱼，才能保证有4条相同花色的金鱼？
2．有黑、红、蓝三种颜色的手套各10只混在了一起，这些手套只要两只颜色相同，即可配成一双。
（1）把眼睛蒙上，至少要拿出几只才能保证能配成1双？
（2）至少要拿出几只，才能保证能配成2双？
（3）至少要拿出几只，才能保证有2双是相同颜色的？
3．某班同学为地震灾区小朋友捐献图书，所捐图书共分为故事书、科技树和教辅资料书三类，捐书的情况是：有捐一本的，有捐两本的，还有捐三本的。问至少要有几位同学来捐书才能保证一定有两位同学所捐书的类型相同？（每种类型的书最多捐一本）
4．学校体育器材室有足够多足球、篮球和排球．体育老师让六(1)班52名同学去器材室拿球，规定：每人至少拿1个球，至多拿2个球，至少有几名同学所拿的球是相同的？
5．六（3）班同学分成5个组进行跳绳比赛，不管怎么分，总有一个组至少有10人。六（3）班至少有学生多少人？
6．一个布袋里有红色、白色、蓝色的袜子各8只．每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中有2双颜色不同的袜子？（袜子不分左右）
7．红领巾小学今年入学的一年级新生中有370人是在同一年出生的。试说明：他们中一定有两个人是在同一天出生的。（全年按365天算）
8．7个小朋友相约去看电影，共有《哈利·波特》、《驯龙高手》、《功夫熊猫》三部电影可选择，每个小朋友可选一个电影组合（不重复的两部电影）观看，至少有几个小朋友选的电影组合相同？
9．7个小朋友乘6只小船游玩，至少要有多少个小朋友坐在同一只小船里，为什么？
10．求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得是105的倍数。
11．数学竞赛，填空题8道，答对1道，得4分，未答对。得0分；问答题6道。答对1道。得7分，未答对，得0分。参赛人数400人。至少有多少人的总分相同？
12．体育老师把35个毽子分给4个班，总有一个班至少分到多少个毽子？
13．把13只鸡放进4个笼子里，总有一个笼子里至少有4只鸡。为什么？
14．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌．
（1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？
（2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？
（3）至少取多少张牌，保证有2张红桃？
15．一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
16．口袋里有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个。小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球。他至少要摸出多少个球才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？
17．六（1）班有52名同学，他们都订阅《故事会》、《小学生作文》和《中国少年报》中的一种或几种，那么，其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同？
18．作文比赛中，六年级共有7名选手获奖，已知六年级有6个班，你能不能肯定选手至少有2名来自同一个班？为什么？
19．把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
20．从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数。
21．14本书借给4位小朋友，借书最多的一位小朋友最少可以借到多少本书？
22．前进小学六年级共有370名学生，其中六（2）班有49名学生。请问下面两人说的对吗？为什么？
生1：“六年级里一定有两人的生日是同一天。”
生2：“六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。”
23．班上有名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
24．口袋里装有42个红球、15个黄球、20个绿球、14个白球和9个黑球。至少要摸出多少个球，才能保证其中有15个球的颜色是相同的？
25．15个足球要分给7个班，不管怎么分，总有一个班至少要分多少个足球？
26．把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17。
27．六（2）班有46名同学，其中至少有多少名同学在同一个月过生日？为什么？
28．一个盒子里装有黑白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？
29．37名同学每人答2道题，规定答对一道题得2分，不答得1分，答错得0分，至少有几名同学的成绩相同？
30．10封信投入3个信箱里，至少有4封信投入同一个信箱里，为什么？
31．52名同学答2道题，规定答对一道得3分，不答得1分，答错得0分，至少有几名同学的成绩相同？
32．光明小学有名年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？
33．某班学生去买有关语文、数学、英语三种类型的课外书，根据自己的喜好有买一本的，两本的，也有买三本的。至少要去几名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书？
34．圣诞节时圣诞老人给表现最好的10个小朋友送礼物，其中收到最多礼物的小朋友至少收到3件礼物，那么圣诞老人至少要准备多少件礼物？
35．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？
36．一副扑克牌(大、小王除外)，有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，至少要抽几张，才能保证有四张牌是同一花色的？
37．一个盒子里有大小、质地都相同的4个红球，5个白球，要想摸出的球一定有2个颜色不同，至少要摸出几个球？
38．篮子里有苹果、梨、桃子和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，问至少有多少个小朋友才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样？
39．有5名同学参加科技比赛，团体总分为426分，则总有一名同学的得分不低于多少分？（得分为整数）
40．一个鱼缸里有4种鱼，每种鱼都有很多条。至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？
41．一个纸袋中有红、黄、蓝3种颜色的纸各若干张．每个同学可以从纸袋中任意抽取1张或2张,那么至少要几个同学抽过之后,才能保证至少有2人抽到的彩纸颜色相同
42．为了迎接外宾，同学们拿着红色、黄色、绿色的小旗列队欢迎，每位同学左右手各拿一面彩旗．至少要有多少位同学参加，才能保证其中至少有2个人不但所拿小旗颜色一样，而且左右顺序也相同？
43．扑克牌里学数学：一副扑克牌（取出两张王牌）。
（1）在剩下的52张牌中任意抽出9张，至少有多少张是同花色的？
（2）扑克牌一共有4种花色，每种花色都有13张牌，问至少要抽出几张牌才能保证有一张是红桃？
（3）至少要抽出多少张才能保证有5张牌是同一花色的？
44．从自然数10—20里，至少取多少个数，才能保证其中一定有一个数是6的倍数？
45．11封信投入3个邮箱里，至少有4封信投入同一个信箱里，为什么？
46．操场上有20名同学在跳绳，这些同学是六年级3个班的，至少有多少名同学是同一个班的？
47．把黑、白、蓝、灰4种颜色的袜子各12只混在一起，如果蒙上眼睛让你拿，那么至少拿多少只，才能保证有两双同色的袜子？至少拿多少只，才能保证有三双同色的袜子呢？
48．分别写着3、5、8的数字卡片各12张。如果从中任选两张组成一个两位数，至少组合成几次一定会出现两个相同的两位数？
49．6只鸽子飞进了5个鸽笼，总有一只鸽笼至少飞进2只鸽子。同意吗？为什么？
参考答案：
1．3×4+1=13（条）
【详解】略
2．（1） 4只；（2） 6只；（3） 10只
【详解】（1）先拿出3只是三种颜色的手套，再拿出1只，不管这只是什么颜色，都能和前面3只中的一只配成1双，所以至少要拿出4只才能保证配成1双。
（2）至少要拿出4只才能保证配成1双，如果再拿1只还与这1双颜色相同，还不能配成2双，再拿第6只，不管这只是什么颜色，都能和前面3只单的手套只中的一只配成1双，所以至少要拿出6只才能保证配成2双。
（3）假设9只是每种颜色的都有1双另外加1只，再加1只，不管这只是什么颜色，它都可以和3只单的手套中的1只再配成1双，这样就有2双颜色一样的，所以至少拿出10只才能保证有2双是相同颜色的。
3．8位
【详解】7＋1＝8（位）
答：至少要有8位同学来捐书才能保证一定有两位同学所捐书的类型相同。
4．6名
【详解】每人至少拿1个球，至多拿2个球，共有9种拿法．
52÷9＝5……7　5＋1＝6(名)
答：至少有6名同学所拿的球是相同的．
5．46人
【分析】根据抽屉原理，至少数＝平均数＋1（在有余数的情况下）。因为每组至少有10人，10－1＝9（人），总人数分成了5组，每组9人，总人数就是9×5＋1＝46（人）
【详解】（10－1）×5＋1
＝9×5＋1
＝45＋1
＝46（人）
答：六（3）班至少有学生46人。
【分析】此题考查的是对抽屉原理的问题的理解。
6．8＋1＋2＝11（只）
7．全年有365天，370人的生日分到365天，按平均分的方法，365天里每天都有1人生日在这一天，还剩下5人，这5人无论在哪一天出生，都满足至少有2个人是同一天出生的。
【分析】这是一道简单的抽屉问题，把这个问题转化成抽屉问题解答即可。
【详解】全年有365天，370人的生日分到365天，按平均分的方法，365天里每天都有1人生日在这一天，还剩下5人，这5人无论在哪一天出生，都满足至少有2个人是同一天出生的，用算式表达为：370÷365＝1……5，1＋1＝2（人）。
答：他们中一定有两个人是在同一天出生的。
【分析】本题考查抽屉问题，具体是把多于kn（k是正整数）个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体。解决本题的关键是理解“平均分”的思路，利用公式a÷n＝b……c，总有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体（a是物体个数，n是抽屉个数）来解决。
8．3个
【分析】先列出所有可能的两组电影组合，再用抽屉原理将7个小朋友分配。
【详解】每个小朋友的观影方式有3种：《哈利·波特》和《驯龙高手》、《哈利·波特》和《功夫熊猫》、《驯龙高手》和《功夫熊猫》，相当于3个抽屉。
将7个小朋友看成苹果，根据平均分配的思想：7÷3＝2（个）……1（个），根据抽屉原理：2＋1＝3（个）。
答：至少有3个小朋友选的电影组合相同。
【分析】本题考查抽屉原理。
9．2个
【分析】把6只船看做6个抽屉，考虑最差情况：7个小朋友，最差情况是：每只船上分的人相等，7÷6＝1（人）……1（人）；那剩下1人，随便分给哪一只船，都会使得一只船分得1＋1＝2人，据此解答。
【详解】7÷6＝1（人）……1（人）；
1＋1＝2（人）；
答：至少要2个小朋友坐在同一只小船里。
【分析】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商）；然后根据：至少数＝商＋1（在有余数的情况下）求解。
10．见详解
【分析】105分解质因数，可以写成，如果可以从这8个数中取出6个数，且有两个数的差是3的倍数，两个数的差是5的倍数，两个数的差是7的倍数，就可以得到105的倍数。
【详解】证明：
，对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；
在剩下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；
在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数；
所以一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得 是105的倍数。
【分析】本题不仅考查了抽屉原理，而且考查了同余的性质，若a、b除以c的余数相等，那么a、b的差是c的倍数。
11．8人
【分析】假设填空题对的是x道，问答题对的是y道，总分应为4x＋7y，0≤x≤8，0≤y≤6，且x，y为整数，y＝0，1，2，3，总分分别有9种不同情况，y＝4，5，6，总分有7种情况（要与之前不同，即x≠0，1），即共有4×9＋3×7＝57种情况，所以一共有57种分值，即57个抽屉，据此解答即可。
【详解】400÷57＝7（人）……1（人）
7＋1＝8（人）
答：至少有8人的总分相同。
【分析】此题考查了抽屉原理的基本解决方法，关键是找到抽屉的数量。
12．9个
【分析】本着尽量平均分配的原则是本题的关键思路。
【详解】35÷4＝8（个）……3（个）
8＋1＝9（个）
答：总有一个班至少分到9个毽子。
【分析】此类“至少”题型只要进行除法计算，再将商加上1就可以得到结果。
13．13÷4＝3……1（只）
如果每个笼子平均放，最多放3只鸡，剩下1只，所以总有一个笼子里至少有4只。．
【详解】略
14．1． 14(张) 2． 5(张) 3． 41(张)
【详解】1．13＋1＝14(张)
答：至少取14张牌，保证有2张牌的点数相同．
2．4＋1＝5(张)
答：至少取5张牌，保证有2张牌的点数不同．
3．13×3＋2＝41(张)
答：至少取41张牌，保证有2张红桃．
15．136人
【分析】按这种记分方法，最高可得，最低是倒扣，共有40+10+1＝51（种）不同分数。由于每错一题少得：1+4＝5分，有一道题不答，至多扣4分，所以最高分是40分，第二高分是：40﹣5＝35分或40﹣4＝36分，这样，40分～35分之间的数39、38、37分就不可能得到；同理，34，33，29分也不能得到，因此39，38，37，34，33，29这六个分数是得不到的。故实际有51﹣6＝45（种）不同分数。为了保证至少有4人得分相同，那么参加考试的学生至少有45×3+1＝136（人），据此解答。
【详解】因为最高可得4×10＝40（分），最低是倒扣：1×10＝10（分），共有40+10+1＝51（种）不同分数。
但其中有39，38，37，34，33，29这六个分数是得不到的。
故实际有51﹣6＝45（种）不同分数，
为了保证至少有4人得分相同，那么参加考试的学生至少有：45×3+1＝136（人）。
答：参加考试的学生至少有136人。
16．16个
【分析】要保证摸出的球每种颜色都有，则考虑最不利的情况，即拿出了其中3种颜色的全部球，在这种情况下，再拿一个球必能出现全部颜色的球。
【详解】3×5＝15（个）
15＋ 1＝16（个）
答：至少要摸出16个球。
【分析】本题考查的是最不利原则，首先要找到不符合要求的最大数量，然后加上1，得到符合要求的最低数量。
17．8名
【分析】每人都订阅一种或几种共有1＋2＋3＝7种订法，则共有7个抽屉，52名同学是52个元素，根据抽屉原理解答即可。
【详解】按平均分的方法：52÷7＝7……3
每个抽屉都有7人，还剩下3人，这3人无论在哪个抽屉，都满足至少有8名同学所订阅的报刊种类完全相同。
答：至少有8名同学所订阅的报刊种类完全相同。
【分析】本题考查抽屉问题，具体是把多于kn（k是正整数）个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体。解决本题的关键是理解“平均分”的思路，利用公式a÷n＝b……c，总有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体（a是物体个数，n是抽屉个数）来解决。
18．可以肯定，理由见解析
【分析】把6个班看做6个抽屉，7人看做7个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答．
【详解】7÷6＝1（名）…1（名）
1+1＝2（名）
答：肯定有选手至少有2名来自同一个班．
19．41人
【分析】这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由125÷（4﹣1）＝41……2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。
【详解】根据题干分析可得：125÷（4﹣1）＝41……2，即125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。
也就是说这个班最多有41人。
答：这个班最多有41人。
【分析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。
20．见详解
【分析】把满足倍数关系的数分成一组，那么从每一组中各取1个数，是不能满足其中一个数是另一个数的倍数的。
【详解】构造抽屉：
（1，2，4，8，16），（3，6，12），（5，10，20），（7，14），（9，18），（11），（13），（15），（17），（19）；
前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系，从这10个抽屉中各取1个数，不能满足其中一个数是另一个数的倍数；
但如果再取一个数，不论从哪一组中取，一定可以保证其中一个数是另一个数的倍数。
【分析】本题考查的是抽屉原理，求解问题的关键是合理地构造出抽屉，然后按照最不利原则求解问题。
21．4本
【分析】根据题意，先把14本书平均分给4位小朋友，每位小朋友分得3本，还剩下2本，这2本书无论分给谁，都有一位小朋友至少借到了4本书。
【详解】14÷4＝3（本）……2（本）
3＋1＝4（本）
答：借书最多的一位小朋友最少可以借到4本书。
【分析】本题考查鸽巣问题，用最不利原则来解题。
22．两人说法都对
【分析】生1：把六年级学生的总人数看作被分放物体，一年的最多天数看作抽屉数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1；
生2：把六（2）班学生的总人数看作被分放物体，一年的总月份看作抽屉数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】生1：一年最多有366天。
370÷366＝1（人）……4（人）
1＋1＝2（人）
所以，六年级里一定有两人的生日是同一天。
生2：一年共有12个月。
49÷12＝4（人）……1（人）
4＋1＝5（人）
所以，六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。
答：两人的说法都正确。
【分析】本题主要考查抽屉原理，确定被分放物体数和抽屉数是解答题目的关键。
23．本
【分析】要保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书，可以给每个小朋友都先分1本书，现在是不符合要求的，但只要再拿一本书分给任意一个小朋友，就可以保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书。
【详解】（本）
（本）
答：老师至少拿29本书。
【分析】本题考查的是最不利原则，可以先找出不符合要求的最大数量，加上1即为符合要求的最小数量。
24．66个
【分析】红球、黄球、绿球数目都超过了15个，白球和黑球数目没超过15个，考虑最不利的情况，先把9个黑球、14个白球全部摸出，再把红球、黄球、绿球各摸出14个，红球、黄球、绿球还有剩余，只要在它们中再摸出1个，就能保证其中有15个球的颜色是相同的。
【详解】考虑最不利的情况，先把9个黑球全部摸出，14个白球全部摸出 ，此时仍然没有15个球的颜色是相同的，继续摸出14个黄球，14个绿球，14个红球，此时已摸出65个球，只要在剩余的红球、黄球、绿球中任意摸出1个，就能保证其中有15个球的颜色是相同的，则至少摸出：9＋14＋14＋14＋14＋1＝66（个）
答：至少要摸出66个球，才能保证其中有15个球的颜色是相同的。
【分析】本题考查抽屉问题，解答本题的关键是理解考虑最不利的情况，当把白球、黑球全部摸出后，再把红球、黄球、绿球各摸出14个，此时只要在剩余的红球、黄球、绿球中任意摸出1个，就能保证其中有15个球的颜色是相同的。
25．3个
【分析】把7个班看作7个抽屉；15个足球看作15个元素，最差情况是：等分的话，15÷7＝2（个）……1（个），每个班会分得2个，还剩1个，不管怎么分，总有一个班至少分到2＋1＝3个；据此解答。
【详解】15÷7＝2（个）……1（个）
2＋1＝3（个）
答：总有一个班至少分3个足球。
【分析】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商）；然后根据：至少数＝商＋1（在有余数的情况下）。
26．见详解
【分析】十个数按任意顺序排成一圈，如果以相邻的三个数为一组，那么总共可以找出10组数，这10组数的总和相当于把1~10的每一个数加了3次，总共是165，165是苹果数，10是抽屉数。
【详解】证明：
把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 a1 、 a2 、 a3 、…、 a10 ；
相邻的三个数为一组，有 a1a2a3 、 a2a3a4 、 a3a4a5 、…、 a9a10a1 、 a10a1a2 共10组；
这十组三个数之和的总和为：；
根据抽屉原理：
所以一定有相邻的三个数之和不小于17。
【分析】本题考查的也是抽屉问题，合理构造抽屉是求解问题的关键。
27．4名；因为46÷12＝3……10，一年12个月，平均最少3个同学在同一个月，剩下的不管在哪个月，都最少有4个，所以有4名。
【分析】将12个月份看成是12个抽屉，根据鸽巢原理（二）：不能整除时至少数＝商＋1，能整除时至少数＝商，进行解答即可
【详解】由分析可得：46÷12＝3……10
3＋1＝4
所以至少有4名同学在同一个月过生日。
【分析】本题主要考查了鸽巢原理的应用，关键是要认真分析题意，建立正确的抽屉，熟练地运用适当的鸽巢原理进行解答。
28．3枚 5枚
【分析】把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：2+1=3（枚）；
把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：4+1=5（枚）；据此解答．
【详解】2+1=3（枚），
2×2+1=5（枚）；
答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同，从中至少摸出5枚，才能保证有3枚颜色相同．
29．8名
【分析】先确定得分种类，根据题意，算出答2道题可得的分数为0分，1分，2分，3分，4分．这5种分数可以看成5个鸽巢．37名同学相当于鸽子．37÷5=7……2 平均每种得分有7名同学，还剩2名．剩余的2名无论是哪种得分，都能保证至少有8名同学的成绩相同．
【详解】答2道题可能的得分是0分，1分，2分，3分，4分共5种情况．37÷5=7……2，所以至少有8名同学的成绩相同．
30．因为平均每个邮箱放3封，还余1封，这1封无论怎么放，都至少有4封信投入同一个信箱里．
【详解】10÷3＝3（封）…1（封）
3+1＝4（封）
答：至少有4封信投入同一个信箱里；因为平均每个邮箱放3封，还余1封，这1封无论怎么放，都至少有4封信投入同一个信箱里．
31．9名
【详解】得分情况有0分、1分、2分、3分、4分和6分共6种。
52÷6＝8（名）……4（名）　
8＋1＝9（名）
答：至少有9名同学的成绩相同。
32．有生日相同的学生
【分析】2000年是闰年，共366天，假设前366人的生日各不相同，但是最后人的生日一定与前面的某一人相同，所以至少有2人的生日相同。
【详解】2000年是闰年，共366天；
（人）
答：有生日相同的学生，至少有2人的生日相同。
【分析】本题考查的是抽屉原理，首先要准确找出抽屉数是多少，这里将全年的天数看成是抽屉数。
33．20名
【分析】如果买一本的有3种买法，如果买两本的有6种买法，如果买三本的有10种买法，共有3＋6＋10＝19（种）买法，看作19个抽屉，每个抽屉里有1个人，共需要19人，那么再有1个人，就能满足一定有两名同学买到相同的书。
【详解】3＋6＋10＝19（种）
19＋1＝20（名）
答：至少要去20名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书。
【分析】此题考查了利用排列组合和抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定抽屉数，再从最差情况考虑即可。
34．21件
【分析】此题中求至少要准备多少件礼物，即为“最不利原则”问题。最坏的情况就是每个小朋友都先拿2件礼物，此时，只需要再分发1件礼物，就一定会有人分到3件礼物。
【详解】2×10＋1
＝20＋1
＝21（件）
答：那么圣诞老人至少要准备21件礼物。
【分析】本题考查抽屉原理。
35．10只
【分析】假设运气最差的情况，先取的5只袜子颜色都不一样，再取出1只就能配成一双；再从纸箱中取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；继续从纸箱续取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；这样就配成了3双袜子。
【详解】5＋1＋1＋1＋1＋1＝10（只）
答：从纸箱中至少取出10只，能保证有3双袜子。
【分析】本题是鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。
36．13张
【详解】3×4＋1＝13(张)
37．6个
【详解】略
38．11个
【分析】拿二个水果情况有如下10种情况（作为10个抽屉）：（苹果、苹果），（梨，梨），（桃子，桃子），（桔子，桔子），（苹果，梨）（苹果，桃子），（苹果，桔子），（梨，桃子），（梨，桔子），（桃子，桔子）；根据抽屉原理即可得出答案。
【详解】拿二个水果情况有如下10种情况（作为10个抽屉），假设有10人，分别拿了其中的一种，那么再多1人，拿的只能是这10种中一种情况，即：10＋1＝11（人）；
答：至少有11个小朋友才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样。
【分析】此题属于抽屉原理，解答此题的关键是要明确：把n＋1个物体放进n个抽屉中，每个抽屉至少放进2个物体。
39．86
【分析】本着尽量平均分配的原则是本题的关键思路。
【详解】426÷5＝85（分）……1（分）
85＋1＝86（分）
答：总有一名同学的得分不低于86分。
【分析】此类“至少”题型只要进行除法计算，再将商加上1就可以得到结果。
40．17条
【分析】把4个品种看作四个抽屉，从最极端的情况进行分析：因为考虑到最坏的情况即捞了16条出现每种4条，捞了第17条一定出现一种鱼有5条。
【详解】4×4＋1
＝16＋1
＝17（条）
答：至少要捞出17条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼。
【分析】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此题的关键是从最极端的情况进行分析，根据抽屉原理，进行解答即可。
41．10个同学．
【详解】略
42．由题意可知，每人共有9种不同的持旗方式，至少要有10位同学参加，才能保证其中至少有2个人不但拿小旗颜色一样，而且左右顺序也相同．
【详解】略
43．（1）3张
（2）40张
（3）17张
【详解】（1）9÷4＝2（张）……1 （张）
2＋1＝3（张）
答：至少有3张是同花色的。
（2）13×3＋1
＝39＋1
＝40（张）
答：至少要抽出40张牌才能保证有一张是红桃。
（3）4×4＋1
＝16＋1
＝17（张）
答：至少要抽出17张才能保证有5张牌是同一花色的。
44．10个
【分析】自然数10—20里，6的倍数有2个，不是6的倍数有：11－2＝9个，根据最不利原则考虑即可。
【详解】自然数10—20里，6的倍数有2个，不是6的倍数有：11－2＝9（个）
考虑最差的情况，取了9个数都不是6的倍数，再多取1个数，就满足至少有一个数是6的倍数，则至少取：9＋1＝10（个）。
答：至少取10个数，才能保证其中一定有一个数是6的倍数。
【分析】本题考查抽屉问题，解答本题的关键是理解自然数10—20里共有11个数，其中6的倍数有2个，不是6的倍数有9个。
45．因为平均每个邮箱放3封，还余2封，这2封无论怎么放，都至少有4封信投入同一个信箱里．
【分析】11封信投入3个邮箱里，11÷3=3（封）…2（封），即平均每个邮箱放3封，还余2封，根据抽屉原理可知，总有一个信箱里至少放3+1=4封；据此解答．
【详解】11÷3=3（封）…2（封）
3+1=4（封）
答：至少有4封信投入同一个信箱里；因为平均每个邮箱放3封，还余2封，这2封无论怎么放，都至少有4封信投入同一个信箱里．
46．7名
【分析】把3个班看作3个抽屉；20名同学看作20个元素，最差情况是：等分的话，20÷3＝6（名）……2（名），每个班会分得6名，还剩2名，不管怎么分，总有一个班至少分到6＋1＝7名；据此解答。
【详解】20÷3＝6（名）……2（名）
6＋1＝7（名）
答：至少有7名同学是同一个班的。
【分析】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商）；然后根据：至少数＝商＋1（在有余数的情况下）。
47．13只 21只
【详解】两双：4×3＋1＝13（只） 三双：4×5＋1＝21（只）
48．10次
【分析】3、5、8进行组合会有9组不同的两位数，假设前9次出现的都是不同的两位数，那么第10次组成的数字一定和前9次的数字中的一个相等。
【详解】因为可以组成的数字为：35、38、53、58、85、83、33、55、88共9组两位数，假设前9次抽到的数字都不相同，那么至少组合10次一定会出现两个相同的两位数。
【分析】解决这类有多种可能的题目，需要先根据题意把所有可能按顺序列出，再解答问题。
49．同意；理由见详解
【分析】把5个鸽笼看作5个抽屉，把6只鸽子看作6个元素，那么每个抽屉需要放6÷5＝1（只） 1（只），所以每个抽屉需要放1只，剩下的1只不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：1＋1＝2（只），所以，至少有一个鸽笼要飞进2只鸽子，据此解答。
【详解】6÷5＝1（只） 1（只）
1＋1＝2（只）
答：同意总有一只鸽笼至少飞进2只鸽子。
【分析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。

展开更多......

收起↑