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专题4 复数
【必备知识】
知识点一　复数的概念：z＝a＋bi（a，b∈R）
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集.
知识点二　复数的分类
1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
知识点三　复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.
【必备技能】
1.求解复数分类问题的关键
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）为实数的充要条件是b＝0．
（3）复数z＝a＋bi（a，b∈R）为虚数的充要条件是b≠0．
注意：依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数取值，再结合以上结论求解．
2.复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解.
3.虚数之间不能比较大小，实数与虚数之间也不能比较大小.
【考向总览】
考向一：数系的扩充和复数的概念（★）
考向二：复数的分类（★★）
考向三：复数相等（★★）
【考向归类】
考向一：数系的扩充和复数的概念
【典例1-1】（23-24高二下·北京·期中考试）已知复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数的定义以及复数的减法运算即可求解.
【详解】设，则，由可得，所以，
故z的虚部为，
故选：B
【典例1-2】（23-24高二·南通中学期中考试）已知，且复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A．50 B． C．32 D．
【答案】B
【分析】先由乘法法则化简复数，结合题目列等式求得，进而可求模长.
【详解】由题意得：，
复数的实部为，虚部为，
由于实部与虚部互为相反数，则，得，
所以，得：．
故选：B.
【备考提醒】
复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.
（3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小.
【举一反三】
（2024·河南信阳·期中）
1．若，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
（23-24高二上·辽宁朝阳·期中）
2．已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
（2023·江苏苏州·期中）
3．设（为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则或
B．复数模长的平方值等于复数的平方值
C．若的模长为，则的最大值为
D．若，则
考向二：复数的分类
【典例2-1】（23-24高三上·江苏南京·期中）若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可.
【详解】由，
根据题意可知.
故选：B
【典例2-2】（22-23高一下·陕西咸阳·期中）设复数．
（1）若是实数，求；
（2）若是纯虚数，求．
【答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得.
（2）利用复数除法及复数的分类求出即得.
【详解】（1）由，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
【备考提醒】
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
（1）利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解.
（2）要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.
【举一反三】
（2024·甘肃陇南·期中）
4．已知a为实数,复数为纯虚数,则
A． B．1 C． D．2
（23-24高三上·辽宁·期中）
5．已知复数z为纯虚数，且满足，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
（2024·安徽黄山·期中）
6．若复数为纯虚数，则实数的值为 ．
考向三：复数相等
【典例3-1】（22-23高一下·河南·期中）已知复数满足（为虚数单位），则对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】设，根据复数相等求出的值，根据复数的几何意义，即可求得答案.
【详解】设，
由得，
即，
即对应的点为，在第二象限，
故选：B
【典例3-2】（2024·四川成都·期中）已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由结合复数相等求出的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，且，则，解得，
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【备考提醒】
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
【举一反三】
（2024·江西赣州·期中）
7．已知为虚数单位.，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
（23-24高三上·浙江绍兴·期末）
8．若（，为虚数单位），则（ ）
A．2 B． C．3 D．
（23-24高二下·江苏南通·期末）
9．设，为虚数单位．若集合，且，则 ．
【必备知识】
知识点一　复平面
1.因为任何一个复数z＝a＋bi（a，b∈R）都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi可以用点Z（a，b）表示.
2.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
3.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
知识点二　复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi（a，b∈R） 复平面内的点Z（a，b）.
2.复数z＝a＋bi（a，b∈R） 平面向量.
知识点三　复数的模
1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值.
2.记法：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模记为|z|或|a＋bi|.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）.
如果b＝0，那么z＝a＋bi（a，b∈R）是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）.
知识点四　共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi（a，b∈R），那么＝a－bi.
【必备技能】
1.复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系．每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
2.根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的平面向量．
3.解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为依据，实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化
4.计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
【考向总览】
考向一：复数与复平面内的点的对应关系（★）
考向二：复数与向量的对应关系（★★）
考向三：复数的模（★★）
【考向归类】
考向一：复数与复平面内的点的对应关系
【典例1-1】（23-24高三上·宁夏石嘴山·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合题意列出方程组，即可求解.
【详解】由复数，
因为复数在复平面内对应的点的坐标为，可得且，
解得.
故选：B.
【典例1-2】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期中考试）已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由等式先解出复数，然后再求出共轭复数，从而确定对应的点所在象限.
【详解】∵，
∴，
∴，在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D．
【备考提醒】
利用复数与复平面内的点的对应关系解题的步骤
（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的依据.
（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.
【举一反三】
（2024·云南昆明·期中）
10．复数满足，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（23-24高二上·云南玉溪·期中）
11．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2024·河南南阳·期中）
12．已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考向二：复数与向量的对应关系
【典例2-1】（2024·云南曲靖·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数与向量坐标关系及向量减法求对应点，即可得对应复数.
【详解】由题设，则，
所以向量对应的复数为.
故选：D
【典例2-2】（20-21高一下·江苏苏州·期中）复数与分别表示向量、，则表示向量的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先求出向量的复数对应的复数，然后判断向量的复数在复平面内对应的点的位置.
【详解】因为复数与分别表示向量、，
所以复数与在复平面内对应的点分别为、，
所以，所以对应的复数为，
所以表示向量的复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
【备考提醒】
根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
【举一反三】
（23-24高二上·河南安阳·期中）
13．已知平面直角坐标系中O是原点，向量对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是（ ）
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
（23-24高二上·湖南长沙·期末）
14．在复平面内,是原点,向量对应的复数是,若点关于实轴的对称点为,则向量对应的复数是 .
（23-24高一下·山东青岛·期中）
15．在复平面内，O是原点，向量对应的复数，.
(1)若点A位于第四象限，求m的取值范围；
(2)若点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(3)若，且，求的取值范围.
考向三：复数的模
【典例3-1】（22-23高一下·新疆喀什·期中）复数，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据复数的模的公式计算即得.
【详解】因，则.
故选：C.
【典例3-2】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知复数和满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义结合向量运算求解.
【详解】题设等价为向量满足，求，
因为
又，所以，
故选：B
【备考提醒】
1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模为|z|＝
2.复数模的几何意义可以延伸为|z－z1|表示复数z对应的点Z与复数z1对应的点Z1间的距离，从而可以数形结合解决有关问题.
【举一反三】
（23-24高二下·江苏镇江·期中）
16．已知复数满足，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
（2024高二下·河南·期中）
17．若复数满足，则的取值范围是 ．
（23-24高二下·江苏苏州·期末）
18．写出一个同时满足①；②的复数 .
【必备知识】
知识点一　复数加法与减法的运算法则
1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则
（1）z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i；
（2）z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i.
2.对任意z1，z2，z3∈C，有
（1）z1＋z2＝z2＋z1；
（2）（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.
知识点二　复数加、减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应.
【必备技能】
1.解决复数加、减运算的思路：
两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）
2.复数加、减运算时的注意点：
（1）向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据．
（2）利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．
（3）注意向量对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）．
【考向总览】
考向一：复数的加、减运算（★★★）
考向二：复数加、减法的几何意义（★）
考向三：复数模的综合问题（★★）
【考向归类】
考向一：复数的加、减运算
【典例1-1】（23-24高二上·江苏无锡·期中）设复数，则的虚部是（ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】直接利用复数的加法运算结合共轭复数的定义求解.
【详解】依题意：，
则，所以其虚部为.
故选：A.
【典例1-2】（23-24高二下·山东·期中考试）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.
【详解】，故，
所以，解得.
故选：B
【备考提醒】
复数加、减运算的方法技巧
（1）可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行.
（2）当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错.
【举一反三】
（23-24高二下·山西晋城·期中考试）
19．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
（23-24高二上·安徽池州·期末）
20．已知，则（ ）
A． B． C． D．2
（23-24高二上·浙江杭州·期末）
21．已知复数z满足，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
考向二：复数加、减法的几何意义
【典例2-1】（23-24高一下·浙江台州·期末）已知复数满足，且，则
【答案】7
【分析】根据复数的几何意义与加减法的平行四边形法则，结合余弦定理得出的关系，从而得出结论．
【详解】如图，设，，作平行四边形，则，，
由已知，，，
在平行四边形中，
，
，
又，，即，
所以，
所以，，
故答案为：7.
【典例2-2】（23-24高一下·江苏·期中）关于复数 （ 为虚数单位），有下列四个命题：① ；②；③z·=4；④z+=||；且上述四个命题中只有一个是假命题．
（1）请问假命题是哪一个，并求出复数z；
（2）设复数z1、z2满足 ，求 ．
【答案】（1）命题②③④皆成立，；
（2）2
【分析】（1）根据复数的模长公式以及复数的四则运算即可分别假设4个命题分别为假命题时，验证是否符合题意即可求解.
（2）利用向量的几何意义，由向量的模长公式即可求解.
【详解】（1）由③得， ，即 ；由④得；
若①是假命题，则，，且，所以 ，即 ，所以；符合要求，
若②是假命题，则需满足，，且，无解，故不符合要求，
若③是假命题，则需满足，，，不符合要求，
若④是假命题，则需满足，，，显然不符合要求，
所以假命题为①，即②③④皆成立，所以 ，即 ，所以；
（2）由（1）得，；设复数 在复平面内分别对应向量，，
则||=||=2，|+|=2，所以2+2·+2=4，即2·=-4；
又|-|2=2-2·+2=12，则|-|=2，即|z1-z2|=2.
【备考提醒】
复数与向量是一一对应的，复数加、减法的几何意义就是向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则.
【举一反三】
（23-24高三·黑龙江牡丹江·期中）
22．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（ ）．
A． B． C． D．
（23-24高二·江西上饶·期中）
23．复数z =(i是虚数单位)在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（23-24高三上·上海奉贤·期中）
24．若，则（ ）
A． B． C． D．
考向三：复数模的综合问题
【典例3-1】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知复数满足，当的虚部取最大值时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，令，由条件可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，，则，，∴，∴，，∴，
故选：B.
【典例3-2】（23-24高三上·江西萍乡·期中）若复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由，可得，
则.
故选：B.
【备考提醒】
两个复数差的模的几何意义
（1）|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.
（2）|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
【举一反三】
（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）
25．若．则（ ）
A．5 B．4 C． D．2
（23-24高二上·广东茂名·期中）
26．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
（23-24高二下·重庆渝中·期中）
27．已知复数满足，则的模为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
【必备知识】
知识点一　复数乘、除法及乘法运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.
2.复数的除法法则
（a＋bi）÷（c＋di）＝＝
（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）.
3.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
（1）交换律：z1z2＝z2z1；
（2）结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）；
（3）分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.
知识点二　复数范围内一元二次方程的解法
1.在复数范围内，任何实系数一元二次方程都是有根的，当实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ<0时，其求根公式为
2.若复系数方程有实数根，通常将这个实数根设出，代入方程，利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.
【必备技能】
1.解决复数的乘、除运算问题的思路
（1）复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a＋bi）2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，（a＋bi）3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋（3a2b－b3）i．
（2）复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．　　
2.实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi（a，b∈R，b≠0）是实系数一元二次方程的一根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根．　
3.涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性质：如z＋等于z的实部的两倍，z·＝|z|2等，另外注意复数问题实数化及方程思想的应用.
【考向总览】
考向一：复数的乘、除运算（★★★）
考向二：复数的乘方运算（★★）
考向三：在复数范围内解方程（★）
【考向归类】
考向一：复数的乘、除运算
【典例1-1】（2024·北京延庆·期中）若复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果.
【详解】由可得.
故选：C
【典例1-2】（23-24高三上·江苏徐州·期中）若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为 .
【答案】/
【分析】利用复数的除法运算得，即可求解.
【详解】则的虚部为.
故答案为：.
【备考提醒】
复数的运算顺序与实数的运算顺序是相同的，先进行高级运算（乘方、开方），再进行次级运算（乘、除），最后进行低级运算（加、减）.如有i的幂运算，先利用i的幂的周期性将其次数降低，然后再进行四则运算.
【举一反三】
（23-24高二上·浙江杭州·期中）
28．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）
29．已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
（23-24高三上·辽宁沈阳·期中）
30．已知满足，则（ ）
A．
B．复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的实部与虚部之积为
考向二：复数的乘方运算
【典例2-1】（23-24高三上·山东青岛·期中）若复数为纯虚数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算，再结合纯虚数的意义求解即得.
【详解】依题意，，
于是，解得，
所以.
故选：C
【典例2-2】（23-24高二上·山东威海·期末）已知集合，则的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.
【详解】当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3.
故选：C
【备考提醒】
1.虚数单位i的周期性
（1）i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＝1（n∈N）.n也可以推广到整数集.
（2）in＋in+1＋in+2＋in+3＝0（n∈N）.
2.常用结论
（1）（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i；
（2）＝－i，＝i.
【举一反三】
（2024·山东菏泽·期中）
31．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
（2024·四川成都·期中）
32．若，则（ ）
A． B． C． D．
（22-23高一下·陕西西安·期中）
33．复数的实部与虚部的和为 ．
考向三：在复数范围内解方程
【典例3-1】（22-23高一下·新疆喀什·期中）设虚数和是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实系数的一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数，得，设虚数，且，利用复数相等求得，再利用根与系数的关系，即可求出结果．
【详解】因为方程的两根互为共轭复数，
设虚数，且，
所以．
所以，所以，
所以方程的两根为，
所以，
所以．
故选：D．
【典例3-2】（23-24高一·河南·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
（1）求的值;
（2）记复数，求复数的模.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）将代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都为0，即可求解；
（2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解.
【详解】（1）由题意得:，即，
所以，所以，，
解得：，.
（2），，，
所以.
【备考提醒】
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法
（1）求根公式法
①当Δ≥0时，；
②当Δ<0时，.
（2）利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解.
【举一反三】
（22-23高二下·四川雅安·期中）
34．已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2024·山东临沂·期末）
35．若虚数单位是关于的方程的一个根，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
（23-24高二·云南楚雄·期末）
36．在复数范围内，方程的解集为（ ）
A． B．
C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
先将等式变形为，利用复数的除法运算求解即可.
【详解】
依题意，得，
，
则复数z的虚部为：，
故选：C．
2．B
【分析】
先由等式，反解出，再利用复数的除法运算法则，求出复数z即可.
【详解】
由已知，得，
所以z的虚部为1.
故选：B.
3．C
【分析】
利用复数的概念可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数模的三角不等式可判断C选项；设，利用复数的模长公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，若是纯虚数，则且，A错；
对于B选项，取，则，，则，B错；
对于C选项，因为，则，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C对；
对于D选项，因为，设，则，
所以，，D错.
故选：C.
4．C
【分析】由复数的运算与纯虚数的概念求解即可.
【详解】由为纯虚数，
，.
故选：C.
5．A
【分析】
结合复数运算公式化简求，根据纯虚数定义列方程求.
【详解】
由题意得，，
因为复数z为纯虚数，
所以，解得，
故选：A.
6．
【分析】
利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.
【详解】因为为纯虚数，则，解得.
故答案为：.
7．B
【分析】
根据题意，由复数的运算以及复数相等的概念即可求得，再由复数的模长公式即可得到结果.
【详解】由可得，
则，解得，则.
故选：B
8．B
【分析】根据复数的运算和复数相等列式求出，利用复数模的运算求得最终结果.
【详解】由，得，
，
则.
故选：B.
9．
【分析】利用集合交集的结果，结合复数相等的性质列式，从而得解.
【详解】因为，，
所以，解得.
故答案为：.
10．B
【分析】
求出复数即可得答案.
【详解】由得，所以，
所以复数在复平面上对应的点位于第二象限.
故选：B
11．A
【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，即可求出结果.
【详解】因为，所以，其对应点坐标为，
所以对应的点位于第一象限，
故选：A.
12．C
【分析】
根据复数的运算、共轭复数的定义以及复数的几何意义判定选项即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选:C.
13．B
【分析】
根据向量的运算，结合复数的几何意义求解即可
【详解】
向量对应的复数分别记作，，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量，，
由向量减法的坐标运算可得向量，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
故选：B
14．
【分析】根据向量对应的复数求得的坐标.再根据题意求得点,即可得向量对应的复数.
【详解】因为平面内,是原点,向量对应的复数是
则
因为点关于实轴的对称点为
所以
所以向量对应的复数为
故答案为:
【点睛】本题考查了复数的几何意义,复平面内点的坐标表示方法,属于基础题.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据复数对应点确定实部、虚部的符号，列不等式组求解；
（2）根据对称确定点B对应的复数，再由向量对应复数即为两点对应复数之差得解；
（3）由复数相等列出方程组，消参数可得的表达式，利用正弦函数值域，配方求值域即可.
【详解】（1）由题意对应点A位于第四象限，
故，解得，
即m的取值范围.
（2）点A对应的复数为，则关于实轴的对称点B对应的复数为，
则对应的复数为，
（3），
，即，
由，可知，
故的取值范围为.
16．C
【分析】
由复数乘除法以及复数模的运算公式即可求解.
【详解】由题意，所以.
故选：C.
17．
【分析】
设，由复数的几何意义得，，进而利用的范围可得的取值范围.
【详解】
设，，则，，则
.
故答案为：．
18．（答案不唯一）
【分析】
设，根据条件化简可得的取值范围，即可得解.
【详解】设，
因为，
所以，则，
又因为，
所以，解得或
即只需满足或，复数都满足条件①②.
故答案为：（答案不唯一）
19．D
【分析】
根据对称性可求，故可求.
【详解】因为，故其对应的点为，该点关于直线对称的点为，
该点对应的复数为，故 ，
故选：D.
20．B
【分析】
根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，即可求解.
【详解】
由复数，可得，所以，
则．
故选：B.
21．C
【分析】
由条件求得，即可计算复数模.
【详解】∵，，∴，，
∴.
故选：C.
22．D
【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．
【详解】∵ ，
∴ 对应的复数为：，
∴点对应的复数为．
故选D．
【点睛】本题考查了复数的几何意义、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
23．A
【详解】试题分析：因复数，所以复数在复平面内对应的点在第一象限.
考点：复数的运算及几何意义.
24．BC
【分析】
复数的几何意义得出复数z所对应的点的轨迹，由共轭复数的定义及复数的运算可判断各选项.
【详解】
利用复数的几何意义知在复平面内，对应的点在对应线段的中垂线即y轴上，
所以不一定是实数，所以A错误；
因为与关于实轴对称，且在y轴上，所以B，C正确；
取，则，所以D错误．
故选：BC.
25．C
【分析】
由复数相等待定，再由求模.
【详解】因为，，
所以，则.
故选：C.
26．C
【分析】
利用复数的四则运算与模的计算公式，结合共轭复数的定义即可得解.
【详解】因为复数满足，
所以，
所以，，则.
故选：C.
27．D
【分析】先化简求出,再根据共轭复数定义求出,最后根据模长公式求解即可.
【详解】
,
,
.
故选:D.
28．C
【分析】
根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C
29．A
【分析】
根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，从而求出其共轭复数.
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故选：A.
30．ACD
【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数，逐一判断各选项是否正确.
【详解】
设，
则由已知得，即，
所以解得
所以，则，故A项正确，B项错误；
，的实部为，虚部为1，
所以的实部与虚部之积为，故C，D项正确.
故选：ACD
31．A
【分析】
由，结合复数的化简式和除法公式可直接求解.
【详解】由得，
故复数的虚部为.
故选：A
32．A
【分析】
根据复数四则运算和乘方运算以及共轭复数的定义即可.
【详解】，，
，
故选：A.
33．
【分析】
求出复数代数形式即可.
【详解】，
所以其实部为，虚部为，
实部与虚部的和为.
故答案为：.
34．D
【分析】
利用复数相等可求参数的值.
【详解】因为是关于的实系数一元二次方程的一个根，
所以，整理得到: 即，
故选：D.
35．C
【分析】
根据复数相等的充要条件得到方程组，即可求出、的值，再求出其模.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以，即，即，
则，解得，所以.
故选：C
36．D
【分析】
根据题意，由复数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由，得，因为，所以.
故选：D
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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