资源简介

专题5 排列与组合
【必备知识】
知识点1　分类加法计数原理
（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝?m＋n种不同的方法．
（2）推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝?m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
知识点2　分步乘法计数原理
（1）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝?m×n种不同的方法．
（2）推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝?m1·m2·…·mn种不同的方法．
【必备技能】
在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．
【考向总览】
考向一：分类加法计数原理的应用（★）
考向二：分步乘法计数原理的应用（★★）
考向三：两个计数原理的简单应用（★★★）
【考向归类】
考向一：分类加法计数原理的应用
【典例1-1】
（23-24高三上·广东汕头·期中）
1．高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有 种.（用数字作答）
【典例1-2】
（22-23高二下·湖北襄阳·期中）
2．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　）
A．48 B．18 C．24 D．36
【备考提醒】
1．分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”．
2．利用分类加法计数原理计数时的解题流程．
【举一反三】
（22-23高二下·河南·期中）
3．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（　　）
A．4种 B．6种 C．7种 D．9种
（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）
4．完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．6种 B．10种 C．4种 D．60种
（22-23高二下·全国·课时练习）
5．已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示 条不同的直线．
考向二：分步乘法计数原理的应用
【典例2-1】
（22-23高二下·河南·期中）
6．有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这3名学生做作业的可能情况有 种．
【典例2-2】
（22-23高二下·河南·期中）
7．把3个不同的小球放入4个不同的盒子中，共有（ ）种方法.
A．81 B．64 C．12 D．7
【备考提醒】
利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路
（1）应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
（2）利用分步乘法计数原理解题的一般思路
①分步：将完成这件事的过程分成若干步；
②计数：求出每一步中的方法数；
③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
【举一反三】
（23-24高二上·江西南昌·期中）
8．用1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）
9．甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·河南·期中）
10．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中是奇数的个数是 ．
考向三：两个计数原理的简单应用
【典例3-1】
（22-23高二下·江苏宿迁·期中）
11．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
【典例3-2】
（23-24高三上·上海虹口·期中）
12．在由数字1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，小于50000的奇数有 个．
【备考提醒】
在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．
【举一反三】
（22-23高二下·江苏扬州·期中）
13．用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
（22-23高二下·陕西榆林·期中）
14．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（ ）

A．种 B．种 C．种 D．种
（21-22高二下·安徽安庆·期中）
15．如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）

A．120 B．96 C．72 D．48
【必备知识】
知识点1排列的概念
（1）排列的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照?一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
（2）相同排列
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全?相同，且元素的排列顺序也?相同.
知识点2　排列数
（1）排列数：把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有?不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．
（2）全排列：把n个不同的元素?全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用符号A表示．
（3）n的阶乘：正整数1到n的连乘积，叫做n的?阶乘，用符号n！表示．
知识点3　排列数公式
（1）(n，m∈N*，m≤n)，
阶乘式：(n，m∈N*，m≤n).
（2）特别地：，规定：
【必备技能】
1．掌握两种方法：
（1）利用“树状图”法或列举法写出简单的排列问题．
（2）借助两个计数原理求出简单排列问题的种数．
2．排列数公式的应用，恰当选择排列数公式两种不同的表示形式：
（1）乘积形式主要用于排列数的计算；
（2）阶乘形式常用于化简、证明或方程(不等式)的求解．
3． 求解有限制条件排列问题的方法．
（1）特殊元素(位置)优先原则，常用直接法或间接法(正难则反)．
（2）几种问题的特殊解法：捆绑法、插空法、定序问题除法．
【考向总览】
考向一：排列的概念（★）
考向二：排列数公式（★★）
考向三：排列的简单应用（★★★）
【考向归类】
考向一：排列的概念
【典例1-1】
（22-23高二下·山东菏泽·期中）
16．将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（ ）
A．240 B．120 C．60 D．40
【典例1-2】
（22-23高二下·安徽安庆·期中）
17．从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程中的系数，，则所得直线有 条．
【备考提醒】
1.判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：
（1）“取”，检验取出的m个元素是否重复；
（2）“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
2.利用“树状图”法解决简单排列问题
（1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．
（2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
【举一反三】
（22-23高二下·上海浦东新·期中）
18．从4本不同的书中选出2本排成一列，则一共有 种排法．
（22-23高二下·山西太原·期中）
19．某班有25名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（ ）
A．50 B．100 C．300 D．600
（23-24高一上·北京西城·期中）
20．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
考向二：排列数公式
【典例2-1】
（22-23高二下·福建·期末）
21．可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【典例2-2】
（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）
22．5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（ ）
A． B． C．84 D．
【备考提醒】
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行．
2．应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
3.排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题．具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
【举一反三】
（23-24高二上·湖北武汉·期中）
23．为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（ ）
A．12 B．45 C．60 D．90
（22-23高二上·海南·期中）
24．设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
（21-22高二下·江苏苏州·期中）
25．下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考向三：排列的简单应用
【典例3-1】
（22-23高二下·广东深圳·期中）
26．开学初，学校将新转学来的A、B等五名同学分配到甲、乙、丙、丁四个不同的班级，每个班至少分一人，则A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．144种
【典例3-2】
（23-24高三上·吉林白城·期中）
27．某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有 种．
【备考提醒】
1．数字排列的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置上不排某个元素．
2．处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
3．三种思维方法：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数．
4.有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序，主要有两种解法：
（1）整体法，若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，在A种排法中只有一个排列是我们需要的，因此共有种．
（2）插空法，若m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
【举一反三】
（23-24高三上·浙江·期中）
28．今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A．18 B．24 C．32 D．64
（23-24高三上·湖南邵阳·期中）
29．某班派遣五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有 种.
（22-23高二下·河南·期中）
30．有4名男生，4名女生，全排成一行，求下列情形的排法种数．
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间．
【必备知识】
知识点1　组合的概念
（1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素?作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
（2）两个组合只要?元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．
知识点2　组合数
（1）组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的?所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．
（2）组合数公式
(n，m∈N*，且m≤n)．
规定.
（3）组合数的性质
性质1：.
性质2：.
性质3：
【必备技能】
1．思想方法：分类讨论、方程思想、正难则反．
2．解分组分配问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是非均匀分组；分配是定向分配还是不定向分配．
【考向总览】
考向一：组合的概念（★）
考向二：组合数公式与性质的应用（★★）
考向三：简单的组合问题（★★★）
【考向归类】
考向一：组合的概念
【典例1-1】
（22-23高二下·山西运城·阶段练习）
31．从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排有（ ）种
A． B． C． D．
【典例1-2】
（22-23高二下·山西晋中·期中）
32．下列问题中不是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
【备考提醒】
1．组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可，与顺序无关．
2．判断是否与元素的顺序有关．把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，则无顺序，是组合问题．
【举一反三】
（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）
33．下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作
B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长
（22-23高二上·上海静安·期中）
34．从30名儿童中选3名扮演三种小动物，则不同的编排方法有（ ）种
A． B． C． D．
（22-23高二下·河北石家庄·期中）
35．下列问题是排列问题的是（ ）
A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B．从7本不同的书中取出5本给某个同学
C．10个人相互发一微信，共发几次微信
D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话
考向二：组合数公式与性质的应用
【典例2-1】
（22-23高二下·江苏南京·期中）
36．若，则正整数的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】
（22-23高二下·安徽安庆·期中）
37．若,则的值是 .（用数字作答）
【备考提醒】
1．组合数公式的乘积形式主要用于计算，阶乘形式的公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明，要善于用组合数的性质化简．
2．要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*.
【举一反三】
（23-24高三上·上海嘉定·期中）
38．若，则 .
（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）
39．已知，则可能取值为（ ）
A． B． C．或 D．或
（22-23高二下·江苏南通·期中）
40．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
考向三：简单的组合问题
【典例3-1】
（23-24高二上·河北衡水·期中）
41．杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭，每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位志愿者有200种以上不同选择，则餐厅至少还需要准备 种不同的素菜
【典例3-2】
（22-23高二下·河南·期中）
42．2025年河南省实行新高考，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地 理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有 种．
【备考提醒】
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
2.有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
3.解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
4.求解排列与组合问题，首先把握问题的实质，元素是否有序，再结合两个计数原理，按元素的性质确定分类标准，按事情发生的过程确定分步的顺序．
【举一反三】
（23-24高三上·上海闵行·期中）
43．四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 （用数字作答）
（23-24高三上·重庆永川·期中）
44．北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛发展．现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（ ）
A．72 B．108 C．180 D．216
【必备技能】
求解排列应用问题方法汇总
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.
间接法 正难则反、等价转化的方法
分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 （1）对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A (n为均分的组数)，避免重复计数． （2）对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种．解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题 （1） 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为（2） 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可．
【考向总览】
考向一：元素（位置）有限制的问题（★★）
考向二：相邻，不相邻问题（★★）
考向三：分组分配问题（★★）
【考向归类】
考向一：元素（位置）有限制的问题
【典例1-1】
（2023春·山西朔州·高二期中）
45．5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【典例1-2】
（2023上·陕西汉中·高二西乡县第一中学期中）
46．电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【备考提醒】
优先安排特殊元素或特殊位置是原则．
【举一反三】
（23-24高二上·福建厦门·期中）
47．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
（22-23高二下·河南·期中）
48．某地区为发展，，，，五个村的经济，引入了“林果、茶园、养殖、旅游、农业特色深加工”五个项目，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目．由于条件限制，村无法实施“农业特色深加工”项目，村无法实施“养殖”项目，，，三个村可以实施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有（ ）
A．60种 B．72种 C．78种 D．120种
（23-24高二上·北京·期中）
49．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
考向二：相邻，不相邻问题
【典例2-1】
（2023上·黑龙江鸡西·高二期末）
50．2023年杭州亚运会期间，甲 乙 丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
【典例2-2】
（23-24高二·湖南·期中）
51．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）
A．36 B．72 C．81 D．144
【备考提醒】
1.捆绑法：解决“相邻”问题用“捆绑法”，就是将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同的排法种数的步骤：①先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；②把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种排法；③然后“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；④根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
2.插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共个排成一排，其排列方法有种；②然后将要求两两不相邻的k个元素插入个空隙中，相当于从个空隙中选出k个，分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有：种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．
【举一反三】
（2023下·贵州毕节·高二期末）
52．高二年级组在一次考试后，年级总分排名前6名的同学站成一排照相，若排名为第一名与第二名的同学不站两端，第三名与第四名同学要站在一起，则不同站队方法的种数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
（2023下·四川宜宾·高二统考期末）
53．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
（2023·贵州铜仁·期中）
54．2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种．
A．144 B．72 C．36 D．24
考向三：分组分配问题
【典例3-1】
（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学期末考试）
55．将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（ ）
A．240种 B．360种 C．450种 D．540种
【典例3-2】
（2023·河南安阳·高二期中）
56．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（ ）
A．180 B．240 C．320 D．360
【备考提醒】
1．对不同元素的分配问题
（1）对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A (n为均分的组数)，避免重复计数．
（2）对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2.分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成堆（组）必须除以；如果有堆（组）元素个数相同，必须除以.
【举一反三】
（2023春·湖南长沙·高二长沙一中期中考试）
57．某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织 信息录入 采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
（22-23高二上·江西赣州·期末）
58．2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
（23-24高二上·辽宁·期中）
59．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种
A．25 B．60 C．90 D．150
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．9
【分析】
根据选取的必修类课本数量分类即可.
【详解】第一类，只选取一册必修类课本的选法有种；
第二类，两册必修类课本都选的选法有种.
综上，满足条件的选法共有种.
故答案为：9
2．D
【分析】
根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.
【详解】
正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，
不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，
所以正方体中“正交线面对”共有（个）.
故选：D
3．A
【分析】
分为买两本和买三本两种情况求解即可.
【详解】买两本，有种方案；买三本，有1种方案；
因此共有方案(种)．
故选：A.
4．B
【分析】
根据分类加法计数原理求解即可.
【详解】根据分类加法计数原理，6+4=10.
故选：B.
5．22
【分析】
根据分类加法计数原理，分情况计算可得答案.
【详解】
当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；
当时，A有5种选法，B有4种选法，可表示条不同的直线．
由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线．
故答案为：22
6．64
【分析】
根据分步乘法，每个学生做作业的情况都是4，相乘即可.
【详解】
因为4科老师布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有4种可能，
所以3名学生都做作业的可能情况种．
故答案为:64.
7．B
【分析】
分析每一个小球的放法，根据分步计数原理求解.
【详解】对于第一个小球有4种不同的放法，
第二个小球也有4种不同的放法，
第三个小球也有4种不同的放法，
即每个小球都有4种可能的放法，
根据分步计数原理知不同放法共有（种）.
故选：B.
8．B
【分析】
根据分步乘法计数原理进行计算即可.
【详解】先从4个数中选1个排在百位，有4种；
然后从剩下的3个数中选1个排在十位，有3种；
最后从剩下的2个数中选1个排在个位，有2种；
根据分步乘法计数原理可得组成无重复数字的三位数的个数为.
故选：B.
9．B
【分析】
分析可知，每个人都有三种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，
每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为种.
故选：B.
10．50
【分析】
设三位数的回文数为ABA，先分析A的可能取值，再分析B的取值，然后由分步乘法计数原理求解即可
【详解】设三位数的回文数为ABA，A有1到9，共9种可能，即1B1、2B2、3B3、9B9.
其中奇数共5种可能，即1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；
B有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A.
所以符合题意的有5×10=50个.
故答案为：50
11．C
【分析】
先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.
【详解】将区域标号，如下图所示：

因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
12．
【分析】小于50000的奇数万位只能是1，2，3，4，分万位为和，分别求出其方法总数，由分类加法计数原理求解即可.
【详解】小于50000的奇数万位只能是1，2，3，4，个位只能为1，3，5，
①万位为或，则万位有种方法，个位有种方法，
其余各位为种方法，则种方法；
②万位为或，则万位有种方法，个位有种方法，
其余各位为种方法，则种方法；
共有：种方法.
故答案为：.
13．D
【分析】
根据特殊位置优先安排的原则，结合乘法计数原理即可求解.
【详解】先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由种选择，
根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数，
故选：D
14．B
【分析】
分水闸关闭，水闸打开时，同时关闭，水闸打开时，同时关闭，三种情况，去掉重复的情况，得到答案.
【详解】①水闸关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，
②若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，
③若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，
上面②③两种情况有重复的1种情况，就是水闸打开，同时关闭的情况，
故共有种情况.
故选：B
15．C
【分析】
分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案.
【详解】由题意知，与任意一点均不同色.
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.
故选：C.
16．B
【分析】由排列的定义即可求解.
【详解】解：因为将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，
所以不同分法的种数为，
故选：B.
17．30
【分析】
根据题意利用排列原理求解即可.
【详解】从集合中任取2个数作为，两数顺序不同，表示的直线也不同，
所以所得直线有条.
故答案为：30.
18．12
【分析】
运用排列数计算即可.
【详解】由题意知，从4本不同的书中选出2本排成一列共有种排法.
故答案为：12.
19．D
【分析】
利用排列及排列数公式即可求解.
【详解】由题意可知，他们发出的微信总数是.
故选：D.
20．C
【分析】根据题意，由5个1分布的列数不同情形进行讨论，即可确定的最大值.
【详解】解：依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，
故,故；
(3)若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，
故，故；
(4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，；
另一方面，如下表的例子说明可以取到10.
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5
2 2 2 4 5
3 3 2 4 5
3 3 3 4 5
故选：C.
21．B
【分析】
根据排列数的定义可得出答案．
【详解】
，
故选：B.
22．AB
【分析】
利用不相邻问题插空法，或用全排列减去甲乙相邻的排法.
【详解】
先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排，共种不同的排法，
再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共种不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，不同的排法种数是；
5人并排站成一行有种不同的排法，
若甲、乙两个人相邻，利用捆绑法，有种不同的排法，
所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是.
故选：AB．
23．C
【分析】
根据题意得，从5个人中选出3人进行排列，即可求出值班当天不同的排班种类.
【详解】5名志愿者参加文明监督岗工作，每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，
则不同的排班种类为：.
故选：C.
24．C
【分析】任取2个数作为A，B共有种，去掉重复的直线条数即可得解．
【详解】[详解]
∵从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有种结果，
在这些直线中有重复的直线，
当和时，结果相同；
当和时，结果相同，
∴所得不同直线的条数是，
故选：C．
25．ACD
【分析】利用阶乘、排列组合数公式作转化判断各选项正误.
【详解】A：，正确；
B：，错误；
C：，正确；
D：，正确；
故选：ACD
26．C
【分析】利用捆绑法，首先将剩余3名学生分成2组，再将4组学生分配到4个不同的班级，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】因为A、B两人被各自单独分往一个班级，
首先将剩余3名学生分成2组，有种分组方法，
再将4组学生分配到4个不同的班级有种，
所以A、B两人被各自单独分往一个班级的不同分配方法种数有种.
故选：C.
27．84
【分析】
考虑前2个节目都是语言类节目和前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类两种情况，根据分步乘法原理以及分类加法原理，即可求得答案.
【详解】
若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况；
若前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，
剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况．
综上，有种不同的排法，
故答案为：84
28．A
【分析】
根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种，
若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，
则安排的方法有种，
所以总的方法数有种.
故选：A
29．18
【分析】
先安排，再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，求出答案.
【详解】由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1，
由于两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排，有种，
再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有
故不同的派遣方法有种.
故答案为：18
30．(1)
(2)
【分析】
（1）先排甲、乙，再排其余6人，根据分步乘法计数原理，即可求得答案；
（2）先排男生，再将女生插空，即可求得答案.
【详解】（1）
先排甲、乙，有种排法，再排其余6人，所以共有（种）排法.
（2）
先排4名男生有种方法，男生之间包括两端共有5个空，
由于要男女相间，故再将4名女生插空，空出男生最左侧或最右侧的位置，
有种方法，故共有（种）排法.
31．B
【分析】
判断从5名学生中选出3名学生值日，是一个组合问题，即可得答案.
【详解】由于从5名学生中选出3名学生值日，即选出3人值日即可，
是一个组合问题，故不同的安排有种，
故选：B
32．D
【分析】
根据组合的性质逐一判断即可.
【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；
因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；
因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；
因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，
故选：D
33．C
【分析】
根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，
将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，
选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，
与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，
与顺序无关，这个问题为组合问题；
对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，
将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.
故选：C.
34．A
【分析】
利用排列组合的意义逐一检查选项即可.
【详解】对于A，从30名儿童中选3名扮演三种小动物，相当于从30个元素中挑选出3个元素进行排列，是一个排列问题，故不同的编排方法为，故A正确；
对于B，表示的意思是从相当于从30个元素中挑选出3个元素，没有排列，故B错误；
对于C，，，由A选项可知其错误，故C错误；
对于D，，由B选项可知其错误，故D错误.
故选：A.
35．AC
【分析】
根据排列、组合的定义逐项判断.
【详解】对于A，学生与书都不相同，故与顺序有关，是排列问题，A正确；
对于B，取出5本书后，即确定了取法，与顺序无关，故是组合问题，故B错误；
对于C，因为是相互发一微信，因此与顺序有关，故是排列问题，C正确；
对于D，因为是互相通一次电话，与顺序无关，故是组合问题，D错误.
故选：AC.
36．AC
【分析】
由组合数的性质得到，列出方程，求出答案.
【详解】因为，所以，即或，
解得或3，经检验均满足要求.
故选：AC
37．
【分析】
先根据求出的值,再利用和逐个相加求解即可.
【详解】因为,且,根据,
得,解得,
又,,
则
.
故答案为:.
38．
【分析】
根据排列数、组合数公式计算可得.
【详解】因为，即，所以，
因为，所以.
故答案为：
39．D
【分析】
利用组合数的性质可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为，则或，解得或.
故选：D.
40．ABD
【分析】
根据排列数和组合数公式判断各选项即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，因为，，
且，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
41．7
【分析】
根据保证每位顾客有200种以上不同选择，可得，由此可得结论．
【详解】设还需准备种不同的素菜，
由题意得，解得或，
又因，所以的最小值为，
所以餐厅至少还需要准备种不同的素菜.
故答案为：.
42．16
【分析】
根据题意，可分为三类：（1）若物理和历史同时不选；（2）若选物理，不选历史；（3）若不选物理选历史，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，且物理和历史不能同时选择，可分为三类：
（1）若物理和历史同时不选，共有种选法；
（2）若选物理，不选历史，共有种选法；
（3）若不选物理，选历史，共有种选法；
由分类计数原理，可得不同的选科情况共有种.
故答案为：16.
43．
【分析】
先分组，再分配，先将四名志愿者分为、、三组，再安排到个小区.
【详解】将四名志愿者分为、、三组，再安排到个小区，则有种安排方法.
故答案为：
44．C
【分析】
根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数原理可得．
【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团.
首先分析甲，甲不参加“生物研启社”， 则有3种情况，
再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有（种）情况；
若甲是单独1个人参加一个社团，则有（种）情况．
则除甲外的4人有（种）参加方法．
故不同的参加方法的种数为
故选：C
45．A
【分析】由分步乘法计数原理及插空法即求.
【详解】先排大人，有种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有种排法，由分步乘法计数原理可知，有种不同的排法.
故选：A．
46．(1)576
(2)144
(3)960
【分析】
（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法.
47．B
【分析】根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论，求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算即可.
【详解】解：根据题意，按甲班位置分3 种情况讨论：
（1）甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班全排列，安排到剩下的3个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；
由加法计数原理可知共有种方案，
故选：B
【点睛】此题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题.
48．C
【分析】分村实施“农业特色深加工”项目与村不实施“农业特色深加工”项目两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.
【详解】解：依题意，①若村实施“农业特色深加工”项目，则其余个村庄无限制，则有种安排方法；
②若村不实施“农业特色深加工”项目，则从剩下的个村庄选一个实施“农业特色深加工”项目，有种方法，
再从除村以外的个村庄选择一个实施“养殖”项目，有种方法，
剩下个村庄与项目全排列即可，有种方法，
按照分步计数原理可得有种方法，
综上可得一共有种方法；
故选：C
49．C
【详解】试题分析：若丙排月日，共有，若丁排月日，共有，若丙排日且丁排日共有，若不考虑丙，丁的条件限制，共有，∴共有(种）．
考点：1、分步计数原理；2、排列组合．
50．B
【分析】
根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解.
【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，
先排除去丙的5个元素，共有种排法，
再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，
所以甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有种.
故选：B.
51．D
【分析】
先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.
【详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法，
将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，
故共有种不同的排法，
故选：D
52．D
【分析】
利用捆绑，先安排第一名与第二名，然后安排其他同学，由此计算出正确答案.
【详解】第三名与第四名同学要站在一起，将人捆绑，
相当于个人，中间有个位置，安排第一名与第二名，
所以不同站队方法的种数为.
故选：D
53．C
【分析】
将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果.
【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，
然后要求在的左边，在的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.
故选：C.
54．A
【分析】
利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法求解即可.
【详解】
先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种.
故选：A.
55．D
【分析】
根据不均匀分组，部分均匀分组，均匀分组问题，结合先分组再分配原则解决即可.
【详解】
由题知，
6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3；1，1，4；2，2，2，
共有种分法，
再分配给3所学校，可得种.
故选：D.
56．D
【分析】
将6支救援队按1，1，4、1，2，3或2，2，2分成3组，分别求出其不同的安排方法种数，再由分类加法计算原理即可得出答案.
【详解】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是·=30，
若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是=240，
若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是·=90，
故不同的安排方法种数是360.
故选：D.
57．A
【分析】根据题意，分两种情况考虑：第一种：人数为的三组，第二种：人数为的三组求解.
【详解】6名志愿者分成三组，每组至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：人数为的三组，共有种；
第二种：人数为的三组，共有种.
所以不同的安排方法共有种，
故选：.
58．D
【分析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，最后根据分步乘法原理求解即可.
【详解】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有种不同的选派方案，
再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，
有种不同的选派方案，
所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.
故选：.
59．D
【分析】
按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果.
【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，
第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；
第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法，
再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种，
所以不同的选派方法共有种.
故选：D
答案第1页，共2页
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