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鸽巢问题
一、游戏导入
师：同学们喜欢做游戏吗？
生：喜欢。
师：我们来做石头剪刀布的游戏，谁愿意参加？
师选择4位同学。
师：先听老师说游戏规则，当我说石头剪刀布，你们出手势举给同学们看，听明白了吗？
生：听明白了。
师：好，准备石头剪刀布。
师：同学们，仔细观察他们的手势，你发现了什么？
生：他们中有两个出的都是石头。
师：都一样是吗？
生：是。
师：手放上来，我们再来一次。石头剪刀布。
师：大家再来观察，你又发现了什么？
生：都有2个布的手势，还有2个剪刀的手势。
师：又出现了手势一样的情况，这是巧合吗？再来一轮，石头剪刀布。谁来说说你的发现？
生：这回他们还是有两个人手势一样，都是石头。
师：每次都有手势出了一样的情况，这里到底隐藏着什么数学秘密呢？接下来我们就一起来研究这个问题。 （板书：问题）
二、探究新知
师：老师这里有 3 个杯子，和1支笔，找一位同学把它放到任意一个杯子里，我不看。如果老师猜对了，请同学们给予掌声。
师在黑板上贴3个杯子图片。
生上台摆。
师：摆好了吗？
生：摆好了。
师：我猜总有1个杯子里有1支笔。
生鼓掌。
师：我猜对了。
师：“总有”是什么意思？（板书：总有）
生1：“总有”是一定有的意思。
生2：“总有”还可以是必须有的意思。
生3：“总有”还是肯定有的意思。
生4：“总有”应该也是有一定的意思。
师：“总有”是一定有，肯定有，无论任何情况下都有。如果是2支笔，还请同学把它们放到杯子里，谁愿意来摆一摆？
生上台摆。（2支笔分别放在2个杯子里）
师：摆好了吗？
生：摆好了。
师：我再猜：不管怎么放，总有1个杯子里至少有1支笔。
生鼓掌。
师：我又猜对了。
师：除了这种摆法以外，还有哪种摆法也能证明我的猜测是正确的？
生上台摆。（有2支笔放在同一个杯子里）
师：我有一个疑问，刚才老师猜;不管怎么放，总有1个杯子里至少有1支笔,现在杯子里有2支笔，符合要求吗？
生：符合。
师：我想问问为什么？
生1：是因为你说1个杯子里至少有1支笔，而这个杯子有2支笔，所以你是对生2：:因为刚才老师说的所说这句话里面有一个至少二字，至少的意思表示最少有1支笔，此时我们的第1个杯子里面有2支笔， 2支比1支多，所以放到2个杯子里也是符合要求。
师：那“至少”的意思是？（板书：至少）
生：最少。
师：也可能比1支要多，或者是2支、3支、4支……甚至更多。
师：那如果是3支笔呢？还请同学把它们摆到杯子里，谁愿意来摆一摆？
生上台摆。（3支笔分别放在3个杯子里）
师：你能具体说说你是怎么摆的吗？
生：我是把3支笔分别放在3个杯子里。
师：谁还有不同的摆法？
生上台摆。（1个杯子里放1支笔，1个杯子里放2支笔，另1个杯子里1支笔都不放）
师：你也来说说你的摆法？
生：我是把1个杯子里放1支笔，1个杯子里放2支笔，另1个杯子里1支笔都不放。
师：还有不同的摆法吗？
生上台摆。（把3支笔的放在1个杯子里）
生：我是把3支笔的放在1个杯子里，其余2个杯子是空的。
师：下面我们借助电脑来展示一下大家的摆放。（课件出示3支笔摆在3个杯子中的3种情况）请看屏幕，请同学们仔细观察铅笔和杯子的数量，你发现了什么？生：铅笔和杯子的数量是相等的。
师：请同学们再来观察这3种摆法。第一种，杯子里最多有几支笔？
生：3支。
师：第二种摆法，1个杯子里最多有几支笔？
生：2 支。
师：最后一种，1个杯子里最多有几支笔？
生：1支。
师：有没有比1支笔再少的情况？
生：没有。
师：那么我们就可以说，不管怎么放，总有一个杯子里至少有？
生：1支笔。
（课件出示＋板书：不管怎么放，总有一个杯子里至少有（1）支笔）
师： 刚才我们研究的是铅笔和杯子数量相等的情况，如果铅笔比杯子的数量多1，情况又怎样呢？
师：请同学们看屏幕，谁来读题？（课件出示习题）
生：把4支铅笔放进3个杯子里，总有一个杯子里至少有几支笔？
师：其实，无论情况怎样，我们都需要实验探究。下面请同学们以小组为单位，按照操作建议摆一摆，写一写，想一想，把你们的发现记录下来。限时 3 分钟。听明白了吗？（课件出示操作建议）
生：听明白了。
师：哪一组愿意派一个代表到前面，展示一下你们操作的结果？
生上台展示。
师：你们通过探究一共有几种摆法？
生： 我们通过探究一共发现了4种摆法。
师：你能具体说说吗？
生：首先，我们第一种摆法是把4支铅笔放到同1个杯子里，剩下2个杯子是空着的；第二种摆法是把3支铅笔放到1个杯子里，第2个杯子里放1支铅笔，第3个是空着的；第三种摆法，我们是把2支铅笔放到第1个杯子里，2个剩下来的铅笔放到另1个杯子里，第三个杯子也是空着的；第四个摆法，我们是把2支铅笔放到第1个杯子里，剩下2支铅笔平均放到另外2个杯子里。我们一共有4种摆法。
师：你们得到的结论是什么？
生：我们得到的结论是把4支铅笔放进3个杯子里，不管怎么放，总有1个杯子里至少有2支笔。
师：老师有一个疑问，比2支笔多可以吗？
生：比2支笔多也可以，因为我们刚才说的是至少有2支笔，至少表示的是最少，也可以比2支多，可以是3支，可以是4支，所以这 4 种情况都是可以。
师：大家同意他的意见吗？
生：同意。
师：谁和这位同学的记录方法一样？举手。
生举手。
师：手放下来，我们数学上把这种先画图再分析的方法叫做图示法。谁还有不同的记录方法？
生上台展示。
师：你们探究了几种摆法？
生：我们探究了四种摆法。
师：你也来具体说说吧。
生：我们第一种摆法是第1个杯子是4支铅笔，第2个杯子和第3个杯子都是0；第二种摆法第1个杯子里放3根铅笔，第2个杯子里放1根铅笔，第3个杯子里师空着的；第三种摆法是先把2支放进第1个杯子里，把另外2支放进第二杯子里，剩下1个是空着的；第四个摆法是把2支放进第1个杯子里，其余2支平均放在2个杯子里。
师：那你们得到的结论是什么？
生：我们得到的结论是把4支铅笔放进3个杯子里，不管怎么放，总共有1个杯子里至少有2支笔。
师：哪些同学和他的记录方法一样？
生举手。
师：我们数学上把一个数分成多个数的方法叫做分解法。下面我们借助屏幕来展示一下大家的摆法。（课件出示4种摆法）
师：请同学们仔细观察铅笔和杯子的数量，你发现了什么？
生：我发现铅笔的支数比杯子的数量要多1。
师：我们再来观察这4种摆法，第一种摆法，杯子里最多有几支笔？
生：4支。
师：第二种摆法，杯子里最多有几支笔？
生：3支。
师：后两种摆法，一个杯子里最多有几支笔？
生：2支。
师：有没有比2支笔再少的情况？
生：没有。
师：那么我们就可以说不管怎么放，总有一个杯子里，至少有？
生：2支笔。
（课件出示：不管怎么放，总有一个杯子里至少有（2）支笔。）
师：同学们，其实还有一种方法能够更快地找到答案，大家想知道吗？
生：想。
师：假如我们采用最不利的分法，也就是平均放。平均放的目的是让每个杯子里的铅笔尽量少，也就是不过于集中，要分散放，一起来看屏幕演示。
（课件出示演示过程）
师：把 4 个铅笔平均放到 3 个杯子里，每个杯子里放几支笔？
生：1支。
师：剩下的这支笔，不管我把它放到哪一个杯子里，都能保证总有一个杯子里至少有？
生：2支笔。
师：这种方法叫做假设法，它的依据是平均分。
师：刚才我们分的是4支笔，如果分5支，10支，100支，1000支，10000支，数字变大了，再采用这种方法麻烦吗？
生：麻烦。
师：我们就需要列算式。我们仍然以这道题为例，算式怎么表示？
生：4÷3=1（支）……1（支）1+1=2（支）
师：大家同意他的意见吗？
生：同意。
师：请同学们仔细观察算式中的商1、余数1和2表示什么含义？
生1：商1表示的是每个杯子在第一次平均分的时候，每1个杯子里边至少有1支铅笔。
生2：余数1表示的是余下的那1支铅笔。
生3：2表示每个杯子中至少有2支笔。
师：同意吗？
生：同意。
师：同学们，如果把5支笔放到4个杯子里，算式又怎么表示呢？
生：5÷4=1（支）……1（支）1+1=2（支）
师：这句话怎么说？谁能说一下？好？
生：这句话可以说把5支铅笔放进4个杯子里，不管怎么放，总有一个杯子至少有2支铅笔。
师：如果把6支铅笔放进5个杯子里，又怎么列式呢？
生：6÷5=1（支）……1（支）1+1=2（支）
师：你能用一句话来概括一下吗？
生：把6支铅笔放进5个杯子里，不管怎么放，总有1个杯子里至少有2支铅笔。
师：数字又变大了，把10支铅笔放进9个杯子里，算式又怎样表示呢？
生：10÷9=1（支）……1（支）1+1=2（支）
师：怎么概括这句话呢？
生：把10支铅笔放进9个杯子里，不管怎么放，总有一个杯子里至少有2支铅笔。
师：把100支铅笔放到99个杯子里，你还会列式吗？
生：100÷99=1（支）……1（支）1+1=2（支）
师：那这句话怎么说？
生：把100支笔放进99个杯子里，不管怎么放，总有1个杯子里至少有2支铅笔。
师：如果没有具体的数字，换成字母了，大家还会认识吗？（课件出示：把n+1支笔放进n个杯子里）
生：会。
师：谁能说一说？
生：(n+1)÷n=1……1 1+1=2
师：你能用一句话来概括下吗？
生：把n+1支笔放进n个杯子里，每个杯子里至少2支笔。
师：请同学们仔细观察这组算式，第一竖列，表示的含义是什么？（课件出示刚才列的全部算式）
生：第一竖列表示是一共有多少支笔？
师：第二竖列又表示什么？
生：杯子的数量。
师：我们来仔细观察铅笔和杯子的数量，你又发现了什么？
生：铅笔比杯子的数量要多1。
师：当铅笔比杯子的数量多1时，我们得到的结论是：不管怎么放，总有1个杯子里至少有？
生：2支笔。
师：同学们，刚才我们研究的是把笔放到杯子里的问题，得到了这个结论。如果把书放到抽屉里，又有什么规律？一起看屏幕，谁来读题？（课件出示题目）
生：把11本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放几本书？为什么？
师：请同学们讨论一下，把你的算式记录在作业本上，开始。
师：谁愿意站起来汇报一下你的答案？
生：11÷3=3（本）……2（本） 3+2=5（本） 因为还有剩下的两本书，我们可以把它合并在一起，放在同一个抽屉里，这样每个抽屉里至少能放5本书。
师：还有不同的答案吗？
生：我也算是 11÷3=3（本）……2（本），然后是 3＋1=4（本），因为我们知道有商3本书表示我们先把11本平均分到3个抽屉里，每个抽屉能分3本。余下来两本，我认为要再次把它平均分，这样才能使每个抽屉书的数量尽量少。
师：他们都各自有各自的理由。同学们，你们同意谁的答案？
生：4本。
师：为什么同意他的答案谁来说一说？
生：因为这个问题问的是至少有多少本书，所以如果把2本书全部放在1个抽屉里，保证的就不是最少的了。
师：也要把两本书再次？
生：平均分。
师：我们通过电脑来进一步验证。就像同学们刚才所说的一样，把11本书平均放到3个抽屉，每个抽屉里放几本书？（课件动态演示分的过程）
生：3本。
师：为了保证至少，我们要把余下的2本书进行第二次平均分，这样总会有1个抽屉再加上？
生：1本书。
师：加的1就表示再次放到抽屉里的那1本书。所以我们得到的结论是不管怎么放，总有一个抽屉里至少放？
师：同学们，刚才我们是把书放到抽屉里，得到了这个规律。现在小亮家的鸽子要回巢了，又有什么规律呢？请看题目。谁来做题？（课件出示：20只鸽子飞回7个鸽巢，总有1个鸽巢至少有（）只鸽子？）
生：20只鸽子飞回7个鸽巢，总有1个鸽巢至少有几只鸽子？
师：请同学们笔算，把算式记录在作业本上，开始。
师：谁愿意汇报一下你的答案？
生：20÷7=2（只）……6（只） 2+1=3（只）
师：那老师有一个疑问，这道题的余数是6，可是为什么大家仍然要加1呢？
生：为了使每个鸽巢里的鸽子尽量少，要把剩下的鸽子平均分，这样总有一个鸽巢里至少有3只鸽子。
师：谁还能学着他的样子再来说一下？
生：为了保证至少我们把剩下的鸽子再次平均分到剩下的6个鸽巢里面，这样就可以保证总有一个鸽巢里至少有3只鸽子。
师：大家的发现和数学家都一样，真是了不起，老师给大家点个赞。我们得到的结论是：不管怎么飞，总有一个鸽巢里至少有？
生：3只鸽子。
师：请同学们仔细观察这些算式，刚才我们研究的余数是1的情况，现在余数不再是1，而是2，是6或者是其他数，可是为什么我们仍然还要加1？（课件出示算式）
生：为了使每个东西里面它的物体尽量少，我们就要把它再次平均分。
师：这样才能保证“至少”的结论是这个意思吗？
生：是。
师：谁还能再来说一下？比他说的还要好。
生：为了使每个物品的东西尽量少，我们要把剩下的东西继续平均分，这样才能保证至少的结论。
师：谁还能再来说一下？
生：为了保证每个容器里面的东西都是至少的，所以我们要把剩下的物体再次平均分，这样才能保证至少的原理。
师：刚才我们举的例子，像笔、书和鸽子，我们都可以把它看作一个物体，放这些物体的容器，我们可以把它看作鸽巢。当物体的个数大于鸽巢的个数的时候，我们都是用物体的个数除以鸽巢的个数，得到商余余数。（板书：物体个数÷鸽巢个数=商……余数）
师：无论余数是几，至少数都是？
生：商＋1。
（板书：至少数=商＋1）
师：请同学们一起来读一下这句话。不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有商＋1个物体。（板书：不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有商＋1个物体。）
生齐读。
师：同学们，其实刚才我们探究的这个原理，早在19世纪德国数学家狄利克雷就已经发现了，请大家一起来了解一下这个人。（播放视频）
师：同学们，这就是今天我们学习的鸽巢问题。（板书：鸽巢）
师：大家还记得刚开始上课时4个人做的石头剪刀布的游戏吗？谁能用鸽巢原理来解释一下？
生1：不管4个孩子手势怎么出，总会有2个或是3个或者是四个人的手势是一样的。
生2：4个人玩游戏，这个游戏 3个手势，不管怎么出，总有2个人的手势是一样的。
三、巩固练习
师：其实生活中还有很多数学问题等着我们来探索，我们一起来看大屏幕，5个人抢4把椅子，至少有几个人坐在同一把椅子上？（课件出示题目）
生：5÷4=1（个）……1（个） 1+1=2（个）
师：得到结论是？
生：5个人抢4把椅子，至少有2个人坐在同1把椅子上。
师：同意他意见吗？
生：同意。
师：我国是多民族国家，共有 56 个民族，如果找58人，则至少有几人是同一民族呢？（课件出示题目）
生：列式为58÷56=1（人）……2（人） 1+1=2（人）
师：你的结论是什么？
生： 至少有两人是同一民族。
师：听明白了吗？
生：听明白了。
师：我们来看 有13 个人过生日，至少有几人出生在同一个月？（课件出示题目）
生：13÷12=1（人）……1（人） 1+1=2（人）所以得出结论至少有2人出生在同一个月。
师：那你能具体说出吗？为什么有两个人出生在同一个月？
生：一年总共有12个月，而现在是有13个月，用咱们所得出来的原理，物体个数除以鸽巢个数等于商余余数。商＋1就是至少有多少个人是在同一个月过生日。
师：同意吗？
生：同意。
师：谁再来说一下？
生：我们知道一年里有12个月，现在有13个人。列式为13÷12=1（人）……1（人） 1+1=2（人）至少数是商＋1，用1+1等于2人，所以至少有两个人出生在同一个人。
四、课堂小结
师：同学们，今天我们用了多种方法探究了鸽巢问题，并运用了这个原理解决了很多生活中的问题。下课以后，请同学们搜集这道题的相关信息，并解答这道题。（课件出示习题）
板书设计
鸽巢问题
总有：一定有
至少 ：最少
物体个数÷鸽巢个数=商……余数
至少数=商+1
不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有（商＋1）个物体。

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