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教学设计
课题名称 5.2.3　简单复合函数的导数
课时计划： 课时 第 课时 授课日期：
教学目标 1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
重点难点 熟悉导数公式和导数运算法则，掌握复合函数的求导法则。
教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导
科组模式
板书设计
作业布置
课后反思
教 学 过 程 设 计
教学环节 教师活动(可附带学生活动)
【导入新课】 问题1 同学们，我们现在有两个函数f（x）和g（x），那么我们该如何得到f(g(x))函数呢？这个函数叫什么函数呢？ 学生 引发思考，对复合函数有个初步认识 （设计意图：引发同学们思考，吸引同学们的注意力，同时，提高他们对数学的探究兴趣。） 【讲授新课】 一、复合函数的概念 问题2　同学们，你们有谁知道函数y＝sin(2x－1)是如何构成的呢？ 提示　y＝sin(2x－1)，其中的2x－1“占据”了正弦函数y＝sin x中x的位置，f(x)＝sin x，而f(2x－1)＝sin(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝sin(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为正弦函数复合而成，是复合函数，而函数y＝(2x－1)sin x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思． 知识梳理 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 注意点：内、外层函数通常为基本初等函数． 例1　(多选)下列哪些函数是复合函数（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 根据复合函数的定义判断即可. 【详解】根据复合函数的定义可知选项A不是复合函数，BCD都是复合函数. 故选：BCD. （设计意图：通过本例，让同学们对复合函数的概念有个初步认识，提高对复合函数概念的理解） 方法总结　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． 跟踪训练1　(多选)下列所给函数为复合函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 根据题意，结合复合函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，函数是由函数和符合而成，所以A符合题意； 对于B中，函数，不符合复合函数的定义，所以B不符合题意； 对于C中，函数，不符合复合函数的定义，所以C不符合题意； 对于D中，函数是由函数和符合而成，所以D符合题意. 故选：AD. 二、复合函数的导数 问题3　同学们，我们知道了复合函数的概念后，那又该如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示　y＝sin 2x＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′x＝2cos2x－2sin2x＝ 2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′u＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′x＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 知识梳理 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 例2　写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据复合函数的求导法则求解； （2）根据复合函数的求导法则求解； （3）根据复合函数的求导法则求解； （4）根据复合函数的求导法则求解． 【详解】（1）令，因为， ；. （2）令，因为， ； （3）令，因为， ； （4）令，因为， ． （设计意图：认识和理解复合函数的求导法则，引导学生们如何进行相应计算） 方法总结　(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 跟踪训练2　指出下列函数的复合关系． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)，， 【分析】根据复合函数定义直接求解； 【详解】（1）对于， 可分解为，. （2）对于， 可分解为，，. （3）对于， 可分解为，. （4）对于， 可分解为，，. 三、复合函数的导数的应用 例3　某港口在一天内潮水的高度（单位：）随时间（单位：；）的变化近似满足关系式，则17点时潮水起落的速度是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解． 【详解】解：由题意， 当时，速度 故选：B 【点睛】本题以实际问题为依托，考查导数的应用，关键是利用导数的物理意义，从而得解． （设计意图：让学生们进一步认识复合函数求导在实际问题中的应用，理解导数的实际意义） 方法总结　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． 跟踪训练3　我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设，则曲线在点处的切线方程为 ，用此结论近似计算的值为 （结果用分数表示）． 【答案】 / 【分析】求出导函数得切线斜率，由点斜式得切线方程，设，则，利用切线方程求得即可． 【详解】由已知，，所以切线方程为， 设，则， 由切线方程，，， 所以． 故答案为：；． 课堂小结 1.知识梳理： (1)复合函数的概念． (2)复合函数的求导法则． (3)复合函数的导数的应用． 2.数学方法：转化法． 3.易错点：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化． 布置作业

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