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七年级 春季第三单元 —变量之间的关系（二）
一、学习目标、重难点
1.运用变量的关系式按要求计算对应值（重点）
2.由变量关系的图像推导出变化过程的具体情境（难点）
3.根据变化关系确定变量的图像（难点)
二、知识点导航及分析
★易错点：
1.如圆的周长C随半径R的变化而变化，C、R都是变量，圆周率π是常量.
2.通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。
三、专题突破
【专题一】表格、关系式与变量
【例1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间
有下面的关系：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
则所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为　 　cm．
【例2】设地面气温为20℃，如果每升高1km，气温下降6℃．如果高度用h（km）表示，
气温用t（℃）表示，那么t随h的变化而变化的关系式为 ．
【专题二】单一变化过程与图像
【例3】在全国开展献爱心、建母亲水窖的活动，如图是某母亲水窖的横断面示意图,如果这个母亲水窖以固定的流量注水，下面能大致表示水的深度h和时间t之间的关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【变式操练】
1.匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
【专题三】多种变化量的图像关系
【例4】如图所示，甲、乙两车在某时间段内速度随时间变化的图象．下列结论：
①甲的速度始终保持不变；
②乙车第12秒时的速度为32米/秒；
③乙车前4秒行驶的总路程为48米．
其中正确的是 ．（填序号）
【变式操练】
1.已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，
所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，
则下列说法中：
①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；
③甲比乙提前3分钟到达B地；
④当x=2或6时，甲乙两人相距100米．
正确的有 （在横线上填写正确的序号）．
2.端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）
与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象， 回答下列问题：
（1）这次龙舟赛的全程是 米， 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
【专题四】进出问题
【例5】某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资
（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的
关系如图所示，这批物资从开始调出到全部调出需要的时间是 小时．
【变式操练】
1.甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．
已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）
之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了30分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有320米
其中正确的结论有（　　）
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【专题五】动点与变量
【例6】如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．
设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则长方形MNPO的周长是（　　）
A．11
B．15
C．16
D．24
【变式操练】
1.如图①，在长方形ABCD中，动点E从点B出发，沿B→A→D→C方向运动至点C处停止，
设E的运动路程为x，△BCE面积为y，如果y关于x的图象关系如图②所示，
则当x＝7时，点E应运动到_ _.
如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到
点A处停止．设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，
那么长方形ABCD的面积为_ _.
四、课堂练习
1.水滴进如图所示的玻璃容器（水滴的速度是相同的），
那么水的高度随着时间变化的图象大致是（　　）
B.
D.
2.在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟；
（4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ；
（5）求第14分钟时无人机的飞行高度 米；
3.“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，
结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算
兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
五、巩固练习
1.放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．
小刚离家的距离s（单位m）和放学后的时间t（单位min）之间的关系如图所示，那么下列说法
错误的是（　　）
A．小刚边走边聊阶段的行走速度是125m/min
B．小刚家离学校的距离是1000m
C．小刚回到家时已放学10min
D．小刚从学校回到家的平均速度是100m/min
2. 如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中，　 　是自变量，　 　因变量；
（2）甲的速度是　 千米/时，乙的速度是　 　千米/时；
（3）9时甲在乙的　 　（前面、后面、相同位置）；
（4）6时表示　 　．
3.如图是小李骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．
（1）在这个变化过程中自变量 ，因变量是 ；
（2）小李 时到达离家最远的地方？此时离家 km；
（3）分别写出在1＜t＜2时和2＜t＜4时小李骑自行车的速度
为 km/h和 km/h．
（4）小李 时与家相距20km．
4.为了节约用水，某市自来水公司采用分段收费标准，某户居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间关系的图象如图所示，根据图象回答：
（1）若用水量不足5吨，则每吨收费多少元？若用水量超过5吨，超过部分每吨收费多少元？
（2）若某户居民每月用水3.5吨，应交水费多少元？若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？七年级 春季 第三单元 —变量之间的关系（二）答案版
三、专题突破
【专题一】表格、关系式与变量
【例1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
则所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为　 　cm．
解：y＝10+0.5x，
当x＝7时，y＝10+0.5×7＝13.5（cm）．
故答案为13.5．
【例2】设地面气温为20℃，如果每升高1km，气温下降6℃．如果高度用h（km）表示，气温用t（℃）表示，那么t随h的变化而变化的关系式为　 t＝﹣6h+20 　．
解：由地面气温为20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，
得t＝﹣6h+20，
故答案为：t＝﹣6h+20．
【专题二】单一变化过程与图像
【例3】在全国开展献爱心、建母亲水窖的活动，如图是某母亲水窖的横断面示意图,如果这个母亲水窖以固定的流量注水，下面能大致表示水的深度h和时间t之间的关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故选：C．
【变式操练】
1.匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　B　）
A． B．
C． D．
【专题三】多种变化量的图像关系
【例4】如图所示，甲、乙两车在某时间段内速度随时间变化的图象．下列结论：
①甲的速度始终保持不变；
②乙车第12秒时的速度为32米/秒；
③乙车前4秒行驶的总路程为48米．
其中正确的是 ②③ ．（填序号）
【变式操练】
1.已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，
所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，
则下列说法中：
①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；
③甲比乙提前3分钟到达B地；
④当x=2或6时，甲乙两人相距100米．
正确的有 ①②④ （在横线上填写正确的序号）．
【解答】解：由图象可得，
甲每分钟走：600÷6=100（米），故①正确；
两分钟后乙每分钟走：（500-300）÷（6-2）=200÷4=50（米），故②正确；
乙到达B地用的时间为：2+（600-300）÷50=2+300÷50=2+6=8（分钟），则甲比乙提前8-6=2分钟达到B地，故③错误；
当x=2时，甲乙相距300-100×2=300-200=100（米），当x=6时，甲乙相距600-500=100米，故④正确；
故答案为：①②④．
2.端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）
与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象， 回答下列问题：
（1）这次龙舟赛的全程是 米， 队先到达终点；
（2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
解：（1）由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米，
由横坐标看出，乙队先到达终点．
故答案为：1000，乙；
（2）由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后的路程是1000-400=600米，加速后的时间时3.8-2.2=1.6分钟，
乙与甲相遇时乙的速度600÷1.6=375米/分钟；
（3）①当1＜t≤1时，设行驶t分钟时，甲乙相距100米，
【专题四】进出问题
【例5】某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资
（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的
关系如图所示，这批物资从开始调出到全部调出需要的时间是 小时．
【解答】解：物资一共有60吨，调出速度为：（60-10）÷2=25（吨/h），
调出需要时间为：60÷25=2.4（时）．
故答案为：2.4．
【变式操练】
1.甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．
已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）
之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了30分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有320米
其中正确的结论有（　B　）
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【专题五】动点与变量
【例6】如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．
设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则长方形MNPO的周长是（　　）
A．11
B．15
C．16
D．24
解：∵x=3时，及R从N到达点P时，面积开始不变，
∴PN=3，
同理可得OP=5，
∴矩形的周长为2（3+5）=16．
故选：C．
【变式操练】
1.如图①，在长方形ABCD中，动点E从点B出发，沿B→A→D→C方向运动至点C处停止，
设E的运动路程为x，△BCE面积为y，如果y关于x的图象关系如图②所示，
则当x＝7时，点E应运动到_ D点 _.
解：当E在AB上运动时，△BCE的面积不断增大；
当E在AD上运动时，BC一定，高为AB不变，此时面积不变；
当E在DC上运动时，△BCE的面积不断减小．
∴当x＝7时，点E应运动到高不再变化时，即点D处．
如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到
点A处停止．设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，
那么长方形ABCD的面积为_ _.
【解答】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB=6，
当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4，
∴长方形ABCD的面积为：AB BC=6×4=24．
四、课堂练习
1.水滴进如图所示的玻璃容器（水滴的速度是相同的），
那么水的高度随着时间变化的图象大致是（　D　）
B.
D.
解：因为容器内容积的横截面先变大，再变小，而水滴的速度是相同的，
所以容器下面大，上升速度慢，上面较小，上升速度变快，
故选：D．
2.在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟；
（4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ；
（5）求第14分钟时无人机的飞行高度是 米？
3.“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，
结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算
兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻；
∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；
线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系；
由图象可知：赛跑的路程为1500米；
故答案为：兔子、乌龟、1500；
（2）结合图象得出：兔子在起初每分钟跑700米．
1500÷30=50（米）
乌龟每分钟爬50米．
（3）700÷50=14（分钟）
乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．
（4）∵48千米=48000米
∴48000÷60=800（米/分）
（1500-700）÷800=1（分钟）
30+0.5-1×2=28.5（分钟）
兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．
五、巩固练习
放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．
小刚离家的距离s（单位m）和放学后的时间t（单位min）之间的关系如图所示，那么下列说法
错误的是（　　）
A．小刚边走边聊阶段的行走速度是125m/min
B．小刚家离学校的距离是1000m
C．小刚回到家时已放学10min
D．小刚从学校回到家的平均速度是100m/min
解：A、小刚边走边聊阶段的行走速度是＝50（m/min），此选项错误；
B、当t＝0时，s＝1000，即小刚家离学校的距离是1000m，此选项正确；
C、当s＝0时，t＝10，即小刚回到家时已放学10min，此选项正确；
D、小刚从学校回到家的平均速度是＝100（m/min），此选项正确；
故选：A．
2. 如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）此变化过程中，　 　是自变量，　 　因变量；
（2）甲的速度是　 千米/时，乙的速度是　 　千米/时；
（3）9时甲在乙的　 　（前面、后面、相同位置）；
（4）6时表示　 　．
解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象，则t是自变量，s为因变量；
故答案为：时间；路程．
（2）甲的速度＝千米/小时，乙的速度＝＝千米/小时，
（3）9时甲在乙的后面．
（4）6时表示他们相遇，即乙追赶上了甲．
故答案为：（1）时间；路程；（2）；；（3）后面；（4）乙追上甲．
3.如图是小李骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．
（1）在这个变化过程中自变量 ，因变量是 ；
（2）小李 时到达离家最远的地方？此时离家 km；
（3）分别写出在1＜t＜2时和2＜t＜4时小李骑自行车的速度
为 km/h和 km/h．
（4）小李 时与家相距20km．
4.为了节约用水，某市自来水公司采用分段收费标准，某户居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间关系的图象如图所示，根据图象回答：
(1)若用水量不足5吨，则每吨收费多少元？若用水量超过5吨，超过部分每吨收费多少元？
(2)若某户居民每月用水3.5吨，应交水费多少元？若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？
解：（1）每户使用不足5吨时，每吨收费：10÷5＝2（元），
超过5吨时，每吨收费：（20.5﹣10）÷（8﹣5）＝3.5（元）
（2）当0＜x≤5时，y＝2x，
当x＞5时，y＝10+3.5（x﹣5），即y＝3.5x﹣7.5．
∴y与x之间的函数关系式为y＝
（3）当x＝3.5时，y＝2x＝3.5×2＝7（元）
当y＝17时，3.5x﹣7.5＝17，解得：x＝7．
答：某户居民每月用水3.5吨，应交水费7元；若某月交水费17元，该户居民用水7吨．

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