资源简介

6.2排列和组合
第4课时 组合数
教学内容
组合数的定义、公式及应用.
教学目标
（1）能类比排列数的学习过程，在组合概念的基础上给出组合数的定义和表示，能区分组合与组合数.
（2）能利用组合与排列的关系推导出组合数公式，并能用于解决简单的组合问题.
教学重点与难点
（1）教学重点：组合数公式.
（2）教学难点：组合数公式的推导与应用.
教学过程设计
环节一 类比学习，得到定义
引导语 在上一节课我们通过列举法得到组合问题中的数目，但是随着元素个数的增加，操作会越来越繁琐，能否像排列数公式那样也能找到计算所有组合个数的公式呢？
问题1 回顾排列数的学习过程，思考下列问题：
（1）排列数的定义是什么？排列数如何表示的？
（2）类比排列数的定义和表示，我们应该如何定义和表示组合数？
（3）组合与组合数的区别是什么？
师生活动 学生自主学习，教师抽取学生展示交流，并适时评价.
（1）从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
（2）类似地，从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.可以借用字母和数字表示组合数.
教师总结并规范板书定义.
组合数定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.其中C是组合的英文combination（组合）的第一个字母.
（3）组合是指从个不同元素中取出个元素作为一组，是取法，它不是数；组合数是指从个不同元素中取出个元素的所有不同的取法种数.
追问 你能用符号表达上一节课问题1和例5中的组合数吗？
师生活动 学生用符号表示从3个同学中选2个同学参加活动的选法数；用表示从平面内4个点中任选两个点为端点构成的线段数.
设计意图 通过类比排列数定义和表示，让学生自主得出组合数的定义，并尝试用符号表达组合数，培养学生类比迁移的能力和符号化意识.
环节二 建立联系，探究公式
问题2 在上一节课例题中，我们以“元素相同”为标准分类，借助排列“先取后排”的思路，建立组合与排列之间的对应关系，得到.你能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？
师生活动 教师可根据实际情况，利用如下问题进行引导：
（1）设这4个元素为，你能列举出“从这4个元素中取出3个元素”的所有组合及每个组合对应的排列么？按照“元素相同”为分类标准，你能画出组合与排列对应图吗？
（2）根据“先取后排”的思路和乘法计数原理，排列数与组合数的关系是什么？你能由排列数来求组合数吗？
（3）你能归纳总结由排列数来求组合数的步骤与思路吗？
学生先分组讨论，然后在教师的引导下展评交流，得到：
（1）设这4个元素为，那么通过列举法从中取出3个元素的组合数是，从中取出3个元素的排列数，根据上一节课的经验，以“元素相同”为标准将这24个排列和4个组合对应起来，如图6.2-9所示.
（2）根据“先取后排”的思路和乘法计数原理，排列数与组合数的关系是，由此可得.
（3）先用“先取后排”的方式计算“从4个元素中取出3个元素的排列数”.
第一步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；
第二步，将取出的3个元素排成1列，共有种不同的排法.
于是，根据分步乘法计数原理有，然后根据此关系得到.
求解思路是：“从个不同元素中取出个元素排成一列”需要先“从个不同元素中取出个元素并成一组”，再“将这一组元素排成一列”，也就是说组合这件事可以看成是完成排列这件事情的第一个步骤.
设计意图 借助上一节课积累的经验，列出“从这4个元素中取出3个元素”的所有组合及对应排列，画出对应关系图，清晰呈现组合与排列的联系，利用乘法计数原理找到与关系，从而找到的计算方法，并通过步骤与思路的梳理为组合数公式的推导打下基础.
追问1 借用上面用来求的思路，如何由排列数来求组合数呢？
师生活动 学生独立思考，利用的方法解答，教师适时引导，得到求的步骤为：
第一步，从个不同元素中取出个不同元素作为一组，共有种不同的取法；
第二步，将取出的个不同元素做全排列，共有种不同的排法.
于是，根据分步乘法计数原理，有，即，所以有
（公式一）
这个公式叫做组合数公式
根据公式一，你认为与的大小如何？它们可以相等吗？
师生活动 学生思考，，所以，当，即1时取等号，也即，因为一个元素的排列只有一种，所以取出一个元素的组合和取出一个元素的排列相等.
追问3 结合和，还可以得到组合数公式的什么形式？
师生活动 学生独立思考并推导.因为排列数公式有两种形式，由可以得到组合数公式的另一种形式，即
（公式二）
由于规定，若允许，则可得.
设计意图 通过来求的思路，进一步推广得到，进而推导出组合数公式的两种形式，体会特殊到一般的数学思想，培养学生的逻辑推理能力.
追问4 上述组合数公式一和公式二有什么特点？
师生活动 学生独立思考，教师抽取学生回答并引导.
观察组合数公式的两种形式，发现这两个公式的特点都是分式的形式，实际上，组合数要求“从个元素中取出个元素不排序”，因此除式就是要把排列数中个元素排列的个数剔除掉.公式一是连乘积的形式，数字较小因数不多时，用公式一比较方便直接计算，公式二是阶乘的形式，比较简洁，可以减少繁琐的表达.
设计意图 通过辨析两个组合数公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解.
环节三 计算求解，发现规律
例6 计算：（1）； （2）； （3）； （4）.
师生活动 学生根据公式独立计算，然后相互订正，得到：
（1）；
（2）；
（3）;
（4）.
追问1 请观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？能证明和解释你的猜想吗？
师生活动 学生观察发现：，猜想.
证明：因为，
，
所以.
性质解释：从个不同元素中取出个元素后，必然剩下个元素，这种对应关系使得“从个不同元素中取出个元素的组合数”等于“从个不同元素中取出个元素的组合数”.
根据，就可以得到，道理也一样，即从个不同元素中取出个或者0个元素作为一组，只有1种取法.
追问2 根据（1）（2）计算过程和猜想的证明过程，你对公式的选择有什么想法？
师生活动 数字较小因数不多时，用公式一直接计算比较方便；当运算中因数多数字大，用公式二可以减少繁琐的表达，运用时宜先观察能否化简，然后再计算，减少计算量，也可以利用信息技术手段计算；在含有字母的组合数证明中，用公式二化简或推理比较方便.
设计意图 通过例6，让学生熟悉组合数公式的结构特征；利用追问1，加深对公式的理解，自然得到组合数的重要性质，促进学生养成善于观察、思考、推理的习惯；最后以追问2，体会合理选择组合公式避免繁琐、简洁计算的必要性.
练习1 计算（1）； （2）； （3）； （4）; （5）.
师生活动 学生独立计算并订正，得到
（1）;（2）; （3）; （4）;（5）.
设计意图 强化学生应用组合数公式一的计算技能：
追问 观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明和解释你的猜想？
师生活动 学生观察发现，猜想.
证明：因为，
所以
性质解释：因为“从个不同元素中取出个元素作为一组”可以分为两类：若没有选元素甲，则只需从剩下的个元素中选个，即有种选法；若选了元素甲，则只需从剩下的个元素中选个，即有种选法.最后由分类加法计数原理得到结论.
设计意图 强化学生的观察、发现、推理习惯和运用公式二推理的技能，得出组合的另一个重要性质.
环节四 例题练习，总结方法
例7 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
师生活动 学生独立思考解答，教师引导学生，得到如下结果.
（1）从100件产品中任意抽出3件，不需要考虑顺序，因此这是一个组合问题，抽法种数为.也可以利用信息技术手段来计算，尤其是数字比较大时.
（2）可以先从2件次品中抽取1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题，抽法种数为.
（3）从100件产品抽出的3件中至少有1件次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题，抽法总数为;还可以使用间接法，用从100件产品中抽取3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即.
追问 通过例7的解决，你认为解决组合问题的一般方法是什么？
师生活动 学生思考然后展示，教师引导，得到解决组合问题的一般方法：首先明确“完成一件什么事”，即确定是一个满足什么条件的组合问题；其次，进一步分析用什么方法完成，是否需要分步或分类完成；再次，对每类各个击破，对每步细致分析，并用组合数符号表达出来；最后，根据两个计数原理和组合数公式计算结果.这种方法可以迁移到本章的其他计数问题中去.
设计意图 通过对例7的分析与解决，引导学生得到解决组合问题的一般方法，意识到大部分排列与组合问题可以归结为分类和分步两类问题，最终解决问题的“根本大法”是两个计数原理，从而提高对排列与组合问题的认识.
练习2 从7名男生和4名女生中选取4人，分别求出符合下列条件的选法总数有多少种.
（1）甲、乙必须当选；
（2）甲、乙全不当选；
（3）甲、乙不全当选；
（4）至少有1名男生和一名女生当选.
师生活动 学生运用解决组合问题的一般思路，抓住问题中的关键条件进行思考解答，教师适当指导.
参考答案：（1）； （2）; （3）;
（4）方法一：；
方法二：分1男3女，2男2女，3男1女三种情况，共种选法.
设计意图 通过练习，进一步让学生熟悉解决组合问题的一般方法，提高学生分析和解决组合问题的能力.
环节五 反思总结，建立结构
问题3 回顾本节课所学内容，并回答下列问题：
（1）组合与组合数有何不同？
（2）组合数公式推导的关键是什么？你能利用这个关键来分析吗？
（3）应用组合数公式时要注意什么？组合数有哪些性质？
（4）你能绘制出本节课的学习路径吗？
师生活动 学生独立思考，然后小组交流，全班展示，教师及时点评补充完善.
（1）组合它不是一个数，而是具体要完成的一件事，而组合数是完成组合这件事的所有方法数.
（2）组合数公式推导的关键是，即利用排列数公式推导而得：从个不同元素中取出个不同元素的排列数，可以看成由以下两个步骤得到：第一步，从个不同元素中取出个不同元素作为一组，共有种不同的取法；第二步，将取出的个不同元素做全排列，共有种不同的排法.所以由分步乘法计数原理，得，即，就是把排列数中“从中取出个元素不排序”而重复排列的个数剔除，即是.
（3）应用组合数公式时要注意：首先判断问题中的元素有无顺序的要求；公式一往往在数字较小的计算中使用；公式二在一些化简或含字母的问题中较常用.
组合数性质：①；②；③；④；⑤.
（4）本节课的学习路径如图6.2-10所示.
追问 完成排列这件事可以分成几步完成？等式两边怎么理解？
师生活动 在学生回答的基础上，教师引导学生必须明确，组合数公式的推导关键是要利用排列与组合的联系，发现完成排列这件事可以分解为两步完成“先取元素，再做全排列”；对于等式，等式两边的式子反映了对同一个排列问题的两种不同的解决方法.
设计意图 通过问题小结，进一步明确组合与组合数的概念，回顾组合数公式的推导过程，加深对排列与组合关系的认识，深刻记忆组合数公式，形成解决排列与组合问题的一般观念，建构本节课的知识结构.
环节六 目标检测，检验效果
1.教科书第25~26页练习第1、2、3题.
2.教科书第2627页习题6.2第6、12、15题.
设计意图 练习第1、2题考查学生运用组合数公式计算和推理的情况；练习第3题考查学生运用组合数公式解决身边的应用问题的情况.习题6.2第6、12、15题则分别代表组合数知识与几何、代数、生产的关系，考查学生利用组合数知识灵活解决应用问题的情况.
环节七 布置作业，应用迁移
作业：教科书第26~28页习题6.2第2、10、13、14、16、18题.
设计意图 教科书习题第2题是考查学生运用公式的计算技能和信息技术的使用情况；第10、13、14题则考查学生利用组合知识解决身边的具体应用问题的能力，让学生意识到组合与生活紧密联系；第16、18题则是考查学生利用组合知识分析生活问题的能力，发现数学在生活中的作用.

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